专题06手拉手模型(原卷版+解析)

专题06手拉手模型基本模型：例题精讲例1．（等腰三角形）【阅读材科】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．【延伸应用】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．例2.（等边三角形）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．例3.（正方形）综合与实践特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__；直线与直线之间的位置关系是_；拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．课后训练1.如图，在中，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则的度数为（）A． B． C． D．2.如图，为线段上一动点(不与点重合)，在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，恒成立的是______．3.如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．4.已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．4.已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．（1）以下结论正确的有；①AD=BE②∠EFD=60°③MC=NC④∠AMB=∠END（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示．①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；②连接FC，如图3所示，求证：FC平分∠BFD5.已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．6．已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．(1)如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；(2)如图2，当D点不在直线BC上时，BE、CD相交于M，①直接写出∠CME的度数；②求证：MA平分∠CME7．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．(1)当旋转至图1位置时，连接BE，DG，线段BE和DG是否相等且垂直？请说明理由；(2)在图1中，连接BD，BF，DF，请直接写出在旋转过程中的面积最大值；(3)在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段BE的长．专题06手拉手模型基本模型：例题精讲例1．（等腰三角形）【阅读材科】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．【延伸应用】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．例2.（等边三角形）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形，，，，，即，在和中，，，．例3.（正方形）综合与实践特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__；直线与直线之间的位置关系是_；拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【详解】解：，延长交于点G，∵四边形为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90º，由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），，∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º，，理由如下：如答图，延长交于点交于点，，四边形为矩形，，，，，矩形为正方形．，在和中，．．．．课后训练1.如图，在中，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图：AC与BD交于点H，∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，

在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE＝∠CDB，

∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，

∴∠AOB＝180°−∠AOH＝120°．故选：B.2.如图，为线段上一动点(不与点重合)，在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，恒成立的是______．【答案】①②③④【解析】解：①∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①正确；④②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=60°，∴∠PQC=60°=∠DCE∴PQ∥AE故②④正确；③∵△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=∠ACB=60°，故③正确.故答案为：①②③④.3.如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）BD＝AE，理由见解析；（2）成立，理由见解析【详解】解：（1）∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．在△BCD和△ACE中∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．（2）成立．∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．4.已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE=62°；（3）∠CBA=6°．【详解】解：（1）∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠CAD=∠DAB+∠CAD，即∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，∵∠EDA+∠MND+∠DMB=，∠CBA+∠ANB+∠DAB=，又∵∠MND=∠ANB，∴∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE=∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=，∴∠ACE=，（3）∠CBA=，如图所示，连接AM，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即,由(2)可得：,=,∠CAE=∠DAB==-=.4.已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．（1）以下结论正确的有；①AD=BE②∠EFD=60°③MC=NC④∠AMB=∠END（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示．①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；②连接FC，如图3所示，求证：FC平分∠BFD【答案】（1）①②③；（2）①①②；②见解析．【解析】解：（1）∵△ABC，△ECD是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACD=∠BCE=∠120°，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故①正确；∴∠FEN=∠NDC又∵∠ENF=∠CND，∴∠EFD=∠ECD=60°，故②正确；又∵∠ACE=∠NCD=60°，∠MEC=∠NDC，EC=CD∴△EMC≌△DNC，∴MC=NC，故③正确；又∵∠AMB=∠ACB+∠ECB=60°+∠ECB，∠END=∠ECD+∠NDC=60°+∠NDC而，∴，∴，∴，故④错误；故答案为：①②③；（2）∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCE=∠ACD又AC=BC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE,故①正确；，∴∠ADC=∠BEC又∠ENF=∠CND，∴∠EFD=∠ECD=60°，故②正确∵∠ACE≠60°=∠ECD，∴△EMC不全等于△DNC，∴MC≠NC，故③错误（3）于点G，H，如图，由(2)②知，∠CBG=∠CAH，AC=BC∠BGC=∠AHC=90°∴△BGC≌△AHC∴CG=CH又CF=CF，∠CGF=∠CHF=90°∴△CGF≌△CHF∴∠CFG=∠CFH∴FC平分∠BFD5.已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE=62°；（3）∠CBA=6°．【详解】解：（1）∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠CAD=∠DAB+∠CAD，即∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，∵∠EDA+∠MND+∠DMB=，∠CBA+∠ANB+∠DAB=，又∵∠MND=∠ANB，∴∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE=∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=，∴∠ACE=，（3）∠CBA=，如图所示，连接AM，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即,由(2)可得：,=,∠CAE=∠DAB==-=.6．已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．(1)如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；(2)如图2，当D点不在直线BC上时，BE、CD相交于M，①直接写出∠CME的度数；②求证：MA平分∠CME【答案】(1)见解析(2)①90°；②见解析【解析】(1)解：∵△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB=AC，AE=AD，∠DAE+∠DAB=∠CAB+∠DAB，∴∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，∴△CAD≌△BAE（SAS）