大跨度桥梁计算理论

校内《桥梁结构分析理论》课程包含内容桥梁结构中板的受力分析正交异性桥面板的理论分析结构剪力滞及其分析曲线梁桥的理论分析斜梁桥的理论分析超静定结构的施工内力及成桥状态分析组合结构桥的计算理论桥梁结构非线性计算理论缆索承重桥梁的计算理论本次课程介绍的内容1

大跨度桥梁分类及计算特点2

桥梁结构分析的模型化3

桥梁结构非线性及其影响4

大跨度桥梁的恒载状态计算5

索理论及悬索桥分析6

组合桥梁及其力学特性1

大跨度桥梁的分类及计算特点1.1

梁桥连续梁连续刚构以弯剪受力为大跨度超静定梁桥主的超静定结构连续梁与刚构组合材料上分有钢桥、混凝土桥和结合梁桥(混合梁桥)世界大跨度预应力混凝土梁桥序号桥名跨径(米)结构形式所在国家

建成年代86.5+3×138+138

钢-砼组合连续中国挪威20061998重庆长江大桥复线桥12+330+104.5刚构Stolmasundet桥94+301+72PC连续刚构34Raqftsunder桥

86+202+298+125PC连续刚构挪威19981979Asuncion桥270多跨带铰PCT构巴拉圭虎门大桥副航道桥567150+270+150138.7+268+138.7PC连续刚构PC连续刚构PC连续刚构中国中国中国199720082003苏通大桥副桥云南红河大桥58+182+265+194+708Gateway桥Varodd-2桥145+260+145260PC连续刚构澳大利亚19859PC连续刚构PC连续钢构挪威中国1994200310福建下白石大桥

145+2×260+145刚构桥部分构件为压弯受力，属于组合体系类。梁桥的刚度主要与截面惯性矩有关，增加梁高是提高刚度的主要手段。混凝土梁桥自重大，跨度达到一定程度时，自重所占比例非常高，钢、钢混混合（或组合）结构具有优势。重庆长江大桥复线桥施工示意超静定混凝土梁桥除少数的采用满堂支架施工外，其成桥过程一般都有体系转换问题，施工及成桥后一般还存在徐变与收缩等问题，因而存在如何保证成桥内力及变形与设计一致的问题。除非设计和施工完全采用无应力状态法（如悬臂拼装，采用控制措施和龙），成桥状态计算将与结构力学的一次成桥法结果有差异，因此恒载状态多数情况下与一次成桥不一致。大跨度梁式钢桥主要采用连续桁架桥或悬臂梁结构，施工适合于采用悬臂拼装、拖拉架设或顶推，容易保证结构杆件按无应力状态拼装，因此其成桥内力及线形状态可以实现一次落梁状态。对于超静定的梁桥，理论上可采用调整支座标高的方式调整结构恒载内力，但是对混凝土结构，由于徐变影响，调整的效果有限。1.2

拱桥上承式拱桥中承式拱桥大跨度拱桥(车行道位置)混凝土、钢、钢-混组合材料下承式拱桥上承式拱桥的桥面位置高，以立柱支撑桥面以吊杆（索）悬吊桥面，可通过设置系杆平衡或减小拱肋的推力重庆巫山长江大桥钢管、钢管混凝土、钢拱桥跨度可更大世界跨径最大的前十座拱桥（混凝土拱）主跨(m)建成年份1997排名所属国家中国桥名123万州长江大桥克尔克一桥420前南斯拉夫中国3903303121980贵州江界河大桥19954中国广西邕宁邕江大桥199656澳大利亚巴西格拉德斯威尔桥友谊桥3052901964196478南非葡萄牙瑞典博劳克兰斯桥阿拉达桥27227026426119831963194319909桑多桥10法国里斯河大桥世界跨径最大的前十座拱桥（钢箱或钢桁拱）排名1所属国家中国桥名主跨(m)552建成年份2009200819771931193220092007200719731964重庆朝天门大桥上海卢浦大桥新河谷桥2中国5503美国5184美国贝永纳桥5045澳大利亚中国悉尼港桥5036宁波甬江大桥广州新光大桥重庆菜园坝大桥Fermont桥Port

Maun桥4507中国4288中国4209美国38310加拿大366世界跨径最大的前十座拱桥（钢管砼拱桥）主跨(m)建成年份2004排名所属国家中国桥名123重庆巫山长江大桥恩施支井河大桥广东丫髻沙大桥460中国4283603382008中国20004中国南宁永和大桥200256中国中国浙江淳安南浦大桥武汉江汉三桥3082802002200178中国中国中国中国广西三岸邕江大桥湖北秭归青甘河桥浙江三门健跳大桥武汉江汉五桥2702562452401998200020032000910拱肋结构以受压为主，设计时恒载下拱肋是设计成基本无弯矩的，对这种恒载状态，各种施工方法都比较容易实现。中小跨度拱桥，多采用满堂支架法施工拱肋，这与一次落架法是一致的；大跨度拱桥，则采用转体施工、斜拉扣挂、斜拉悬臂施工，施工过程中的内力和变形应根据施工步骤分阶段计算，但不管施工过程如何变化，只要保证构件无应力状态与设计一致，则最终的内力与变形是一样的。1.3

斜拉桥与悬索桥1.3.1

周念先教授对桥梁的分类周念先教授在《桥梁方案比选》中提出的新分类:

按跨越能力分墩支桥梁式桥、上承式拱桥、斜腿式刚架等特点是：桥墩支点间的距离不能太大；适用于中小跨度桥梁杆吊桥用一定间距的吊杆或斜索将一座大跨度桥梁分成许多个小跨弹性支承连续梁，这类结构包括：

悬索桥、斜拉桥、系杆拱桥等。这种分类方法比较准确地描述了承受车辆活载的梁的受力特点，仅从活载下梁的受力来讲，杆吊桥活载内力大小与结构整体跨度关系不大。认识到这一点，就能理解斜拉桥、悬索桥跨度为何可达千米以上跨度。对于按跨度划分的桥梁,

周教授的标准是:超大桥：跨度1000m以上特大桥：跨度500～1000m大

桥：

跨度300～500m中

桥：

跨度100～300m小

桥：

跨度100m以下桥梁适用范围：斜拉桥：可达1000m左右悬索桥：1000m以上系杆拱桥：跨度可达500～600m墩支桥：小跨度桥梁世界前10名已建成大跨度斜拉桥塔型与(m)序号建成年桥名国家中国中国跨径组成(m)加劲梁形式钢箱梁份塔高2×100+300+1088+3

倒Ｙ形(砼)300.412苏通长江大桥200800+2×100柱形(砼)香港昂船洲大桥3×70+80+1018+80+3×7020092010钢箱梁298湖北鄂东长江大桥3×67.5+72.5+926+72.5+3×67.5钢箱梁(钢混结合面设在主跨距塔12.5m处)3中国242.5倒Y型(钢)钢箱梁，两端62.5m砼梁，混合式105.5、45多多罗桥诺曼底桥日本法国中国中国中国中国中国1999199520102010201020052001270+890+320220倒Y型(砼)主跨钢箱梁624m，其547.8+856+737.5202.7余砼梁，混合式湖北荆岳长江大桥100+298+816+80+2钢箱梁(仅较小边跨用6×75265.5砼箱梁）人字形塔208.72m7上海长江大桥上海闵浦大桥南京长江三桥92+258+730+258+92钢箱梁钢桁梁钢箱梁钢箱梁H型塔181m84×63+708+4×6363+257+648+257+63横弯钢塔921558.5+246.5+628+246.5+58.5倒Y型(砼)南京长江二桥南汊桥10195.4世界大跨度悬索桥代表（前10名）排名桥名所属国

主跨跨建成年份结构特色家径(m)19911650162414901410138513771234567明石海峡大桥舟山西堠门大桥大海带桥日本中国丹麦中国英国中国中国1998200919982005198119981997钢桁梁，三跨悬吊分体钢箱梁，两跨连续钢箱梁，三跨漂浮连续钢箱梁，单跨悬吊三跨钢箱梁润扬长江大桥亨伯大桥江阴长江大桥香港青马大桥钢箱梁，单跨悬吊钢桁梁，两跨悬吊，多跨连续89韦拉扎诺大桥金门大桥美国美国中国瑞典12981280128012101964193720071997钢桁梁，三跨悬吊钢桁梁，三跨悬吊钢箱梁，单跨悬吊钢箱梁，三跨悬吊9武汉阳逻长江大桥滨海高桥101.3.2

斜拉桥设计计算的关键是恒载状态，需要根据施工过程模拟施工状态。保证构件的无应力状态是实现设计成桥状态的关键。苏通长江大桥1.3.3

悬索桥恒载状态计算相对简单，活载计算必须考虑非线性。主缆施工控制的关键则是长度控制，先铰接后刚接的加劲梁施工由于是静定或理论上的机动结构，因此计算简单；对于刚接悬臂施工的桥梁，则计算相对复杂，需根据施工过程逐步计算。1.3.4

斜拉-悬吊协作体系桥采用斜拉桥与悬索桥的协作体系结构，可提高结构刚度，减小梁端纵向位移和转角。可采用钢-混凝土混合结构梁不同形式的协作体系：恒载状态可设计大跨度斜拉桥、悬索桥施工与成桥后的计算都需要考虑几何非线性的影响2

桥梁结构分析的模型化2.1

概述计算模型是对实际结构的构件、荷载和约束（边界）抽象化的结果梁、拱、索是桥梁结构的最基本的受力体系。简支梁与连续梁是梁受力体系的典型代表计算模型化的梁是理想的抽象的结构。是一维的线结构。连续刚构、斜腿刚构的部分构件是压弯受力城市立交（互通）—

弯、斜、坡桥，受弯、扭作用拱—以受压为主的构件拱梁组合索—以受拉为主的承重结构香港青马大桥梁-索

组合结构拱、索、梁组合拱、桁、梁组合桥梁结构由实体结构、空心截面、索等组成，对于一座实际的桥梁进行分析计算时，首先需要解决的问题就是把实际的结构模型化。材料力学、结构力学所讨论的计算模型，都是模型化后的计算结构。对于桥梁结构来说，作用于桥梁上的外荷载，必须通过一定的途径传递到地面上，这些传递途径可能是梁结构、板结构、柱结构或索结构，设计和施工时必须保证力的传递路径畅通、且这些传力结构具有足够的承载能力，以保证在荷载的传递中构件强度、刚度和稳定性满足要求。针对各构件的受力特性，可将构件简化为一维、二维及三维结构。构件的维数越少，传力途径越简单，分析也就越简单。梁、柱、桁架和框架结构的构件在多数情况下可简化为一维的，长条状的板式结构也可以简化为一维的。桥梁结构分析中有时先不考虑构件的空间特性（如剪力滞影响等），先简化为一维结构，计算分析后，计算应力等影响时，再去考虑其空间特性。2.2

计算结构的模型化结构模型化涉及到三个方面：（1）

组成构件的模型化

—

结构构件的模型化、连接模型化（2）

内外部作用的模型化

—

荷载模型化（3）

支承、约束的模型化

—

边界条件的模型化1）

构件的模型化组成承重结构桥梁的各部分，可模型化为不同维数的模型。一维模型：线模型。将构件简化为杆、梁处理，不管构件的具体形状，只关心截面特性。内外作用通过截面的形心、扭转中心等。这种模型的前提条件是截面可当成整体结构，截面的受力满足某种假定的变形规律。二维模型：宽度方向的影响不能忽略时，必须简化为二维模型，典型的如薄板结构，这时厚度只是一个参数，厚度方向的力学参数被认为是一致的。桥梁结构分析中，当需要计算如桥面板等的受力时，就需要采用板壳模型。模型中长、宽是需要占据模型的面积的，模型化时单元和单元之间这两个方向的空间是不能重叠的。厚度方向则只是参数。三维模型：长、宽、高方向的影响都必须考虑，如实体结构等。对构件模型化后，还需要对实际结构进行模型化。对于实际的结构，当关心的内容不同时，模型的简化是不一样的。一维构件组成的结构，可以采用平面和空间的结构进行分析。平面模型包括单一的构件（杆、梁、索）、平面桁架和平面刚架；空间模型包括空间桁架、空间框架等。2）

节点的模型化对于一维模型，当忽略截面的某些参数时，由这些一维构件组成的相交节点则有多种模型。a)

刚性节点b)

铰节点c)

刚、铰混合节点节点刚结、铰结及偏心连接构件简化为二维模型，结构可能是平面和空间。平面应力问题和平面应变问题就是典型的二维构件的平面模型；板、壳则组成空间模型；三维结构模型可以是由比较单一的一维、二维或三维构件模型组成，也可以是三种构件模型的混合体。2.3

荷载的模型化结构或构件的内部作用包括重力、徐变、蠕变、温度等，它们的简化往往需要根据结构模型进行确定；外部作用包括外荷载、环境影响等。对于外部荷载，典型的简化模型是集中荷载与分布荷载。理论的集中荷载在实际中是不存在的，因为任何的作用都有空间。对于一维构件，可以将外荷载简化为集中力和线荷载，对于二维及三维构件，则应采用面荷载方式来处理，否则会产生明显的局部效应，影响分析结果。对于温度等影响，同样需要根据分析的对象，进行模型化处理，包括体系温度与温度场。2.4

约束的模型化结构约束的简化目前一般采用的是纯理论的。典型的单一理想约束类型包括自由、铰和刚结（固定）自由：完全不受约束。实际摩擦等会产生影响铰：

约束线位移，自由转动固结：线位移与转动都完全约束，实际变形总是存在的

实际约束的放松有时对结构内力将产生比较明显的影响

弹性约束是实际结构分析中常用的一种形式

非理想约束往往带来非线性的问题

三维分析中边界条件对局部的影响非常显著，往往采用扩大分析范围来避开边界的影响典型的平面理想约束2.5

梁截面的空间应力特性—

剪力滞简介在材料力学中，对变形固体作了两个基本假定：a）连续均匀假设：材料力学研究的固体在整个体积内的物质是连续分布的，各处的力学性能是完全相同的；b）各向同性假设：在构件中各个方向的力学性能均相同。在材料力学的应力应变分析中，还有一个附加的平截面假设：杆件变形后，原为平面的横截面仍然保持为平面。桥梁结构中采用的薄璧梁、T梁等，变形后一般并不符合平截面假设。在整体结构分析中，我们将其模型化为一维结构，计算得到作用于构件上的内力，在进行应力分析时，则应考虑截面特点，分析剪力滞、截面翘曲、畸变的影响。1）剪力滞效应的概念和解释初等梁理论中,我们假定离中性轴同一距离的截面,在弯矩作用下沿宽度方向截面的正应力是相等的。实际的带翼缘板的T梁和箱形截面梁，在对称垂直力作用下，翼缘板上的正应力沿宽度方向呈不均匀的分布状态。这种由于腹板处剪力流向翼缘板中传递的滞后而导致翼缘板正应力沿宽度方向呈不均匀分布现象，称为“剪力滞效应”。如果靠近腹板处翼缘板中的正应力大于初等梁理论的正应力，称为“正剪力滞效应”，反之称为“负剪力滞效应”。正剪力滞负剪力滞在宽翼缘梁的设计分析中，如果忽视剪滞效应，将低估结构的实际应力大小，使其应力分布状态与实际不符，从而可能造成结构局部失稳或破坏。1969年11月至1971年11月，在奥地利、英国、澳大利亚和德国相继发生四起钢箱梁重大事故。事故发生后，通过桥梁专家的论证与分析，发现设计方法上存在严重缺陷，其重要问题就是在剪力滞问题上的考虑不周。国内的宁波招宝山斜拉桥在施工中发生严重事故，专家组研究的结论认为设计中没有考虑剪力滞的效应是主要因素。由于剪力滞的影响，宽翼缘的混凝土结构发生开裂、钢结构发生屈曲变形甚至失稳。计算分析表明，剪力滞效应对宽翼缘梁的应力不均匀性影响相当大。2）

常用的剪力滞的分析方法(1)

比拟杆法（2）

变分法3）不同参数对剪力滞系数的影响（1）

沿跨长的变化①

简支梁承受集中荷载分析表明，集中荷载越接近于支点，剪力滞系数越大。②简支梁承受均布荷载在支点处约1.2③

连续梁承受均布荷载讨论等截面两跨连续梁，在正弯矩区，靠支点和反弯点比较大，在反弯点趋于无穷。在中间支点为1.6左右。（2）L/2b与剪力滞系数的关系上缘顶板肋处剪力滞系数（3）IS/I与剪力滞系数的关系从上面的简单介绍可见，宽翼缘结构及箱梁等，其剪力滞的影响不容忽视。3

桥梁结构非线性及其影响3.1

桥梁结构的非线性及其特性早在19世纪末，就发现并开始了对非线性力学问题的研究。非线性微分方程的边值问题求解难，用解析法多数情况无能为力；60年代末，有限元法与计算机有机结合，使工程中的非线性问题得以逐步解决。目前的研究是更注重于提高精度、节省时间和寻求合理有效的本构模型，使复杂的问题简单化。线性理论的前提是微小变形、弹性本构关系和理想约束。微小变形弹性本构理想约束平衡方程是线性的；本构方程是线性的；运动方程与受力无关。1）材料非线性问题若被研究结构的材料本构方程是非线性的，从而导致基本控制方程的非线性，则称其为材料非线性问题。对于混凝土结构来说，其本构方程是非线性的，混凝土收缩、徐变等也是非线性的。在桥梁工程中，一般我们研究正常使用状态时，采用线性的方法来研究，但研究结构的极限承载力等，必须采用非线性的本构关系进行研究，也就是要考虑材料进入塑性阶段。不同材料的拉伸应力-应变曲线各种类型金属的应力-应变关系（a）

面心立方金属的0.2%残留变形的屈服应力定义；（b）某些材料呈现的上屈服点和下屈服点现象弹性与塑性载荷条件下的加载与卸载过程中应力-应变关系曲线2）几何非线性任何具有弹性的结构，在外部和（或）内部作用改变时，结构都将发生弹性变形。变形后结构达到新的位置，形成新的平衡条件。因此对结构建立平衡状态方程，应该按内部和（或）外部作用后的新位置来建立，也就是说建立平衡方程必须考虑结构的变形状态，这样一来所有的结构实际上都是几何非线性的。因此几何非线性问题的一个根本思想就是按变形后的结构状态来建立平衡方程。在结构力学中，由于一般是假定内外部作用后位移是微小的，结构变形引起的刚度变化，对计算结果不会产生不能接受的影响。但是对有些问题，采用不考虑变形影响来建立平衡方程，往往会得出与实际完全不符的结论。在上图所示的结构中，在外力作用前，A、B、C三点在一条直线上。如果按结构力学的微小位移理论，按变形前的状态来建立外力作用下的平衡方程，显然该结构是机动结构，因此无法计算得到结构中的内力和B点的挠度。但是我们知道，这种结构实际是可以承受荷载的，假定B点作用荷载后，该点的挠度为△，按变形后的状态建立平衡方程，就可以计算得到结构中的内力。不过，这样得到的内力显然是与变形量△有关的，根据变形协调条件，变形又与结构内力有关，因此是非线性的问题，需要通过叠代计算才能求解。3）

接触问题在工程中，常会遇到某些支座或约束只能受拉或受压，而结构在内外作用下，这些支座或约束的状态开始时并不能直接确定，需要通过试算才能确定。结构中一旦有某些支座退出或参与工作，那么结构可能发生体系上的变化，这样开始建立的平衡方程显然不再适用，因此这类问题也是非线性问题，比材料和几何非线性问题更特殊。单向拉压支座是接触问题的一种特殊情况。归纳起来，非线性问题的分类及其基本特点可以用下表来说明。随着大跨度桥梁结构的增多，结构相对越来越轻柔，非线性问题也越来越突出。在桥梁的正常工作状态，对大跨度桥梁，一般遇到的问题应该是小应变大变形的问题，这类问题是几何非线性分析中经常涉及的，分析这类问题的计算理论称为有限位移理论。如果结构在弹性范围内的变形大、应变也大，则称这类几何非线性问题为有限应变理论。桥梁中常用的是有限位移理论。对于大跨度桥梁结构的极限承载力的研究，则一般涉及到材料非线性和几何非线性，也可能涉及到接触非线性。对桥梁结构施工过程的分析，则更多的可能用到接触非线性或更广泛的“状态非线性”。2.2

影响结构几何非线性的因素影响桥梁结构几何非线性的因素主要有三个方面：1）

结构初内力的影响如果不考虑变形后的结构状态，初内力对结构的影响可以与新的内外部作用结果相迭加。但是考虑结构变形影响后，初内力将在新的位置与新增加的作用一起保持内外状态的平衡，因此结构初内力将在结构中产生影响。恒载的P-△效应也是其影响的一种形式。2）

大位移的影响前面已经介绍，结构的平衡状态按变形后的状态建立，变形后结构的几何参数发生了变化，这种变化大小与荷载大小有关，同时变形的大小又影响到结构中内力的分配。3）

索自重垂度带来的非线性在斜拉桥和悬索桥中，大量地用到索结构。当单元中的拉力变化时，由于自重作用，不同拉力下，相同增量的拉力引起的杆件长度变化不一样，表现出非线性的特征。在结构分析中，常用等效弹性模量的方法来解决这种模型处理带来的非线性。如果直接采用考虑几何非线性的索单元，这种非线性不直接表现出来，与大位移非线性是一样的。上面的分析说明，对于几何非线性分析，关键的问题就是按变形后的状态来建立平衡方程，将变形后结构上的所有内外作用（包括初始作用）考虑进去。由于要考虑变形的影响，就需要真实地描述变形与结构内力的关系。结构的变形可分为两类：一类变形是结构整体作刚体位移，结构质点间没有相对位移；另一类变形则是质点间有相对位移的变形。对弹性结构来说，刚体变形不会产生结构内力的变化，质点间的相对变形才会产生结构内力的变化。为了将结构的这种变形描述清楚，需要建立描述的方法。当前的学术文献中，描述变形状态的方式有总体拉格朗日法和修正拉格朗日法。主要的不同是变形后的新状态的参考坐标是最初的，还是变形前一荷载工况步平衡状态的。线性与几何非线性问题举例一般线性计算，采用微小变形理论，几何非线性计算采用有限位移理论利用非线性理论解决工程中的问题轨索运梁方案

利用了索结构的两个基本力学特性：（1）

有张力的索可以承受横向荷载;（2）

索结构不能传递剪力。由于索结构是柔性的，一旦受力，结构将发生比较明显的变形，通过这种变形来使荷载在索结构系统中分配。变形来源于两方面，一是几何形状的改变，二是由于力的变化引起的弹性伸缩。越柔性的结构，前一方面的影响越大。对于一长度为20m的索（EA=1.0E4MPa)，假定其初张力为400t，如果在跨中作用200t的集中力，不计自重，我们可以计算出其平衡时结构的状态。1）

两支点间距离不变达到平衡状态时，荷载作用点挠度为0.53967m，索中的张力为1855.6t。如果索的刚度提高10倍，平衡时作用点挠度为0.26167m，索中的张力为3822.9t。显然，刚度越大，挠度越小，索力越大。如果不计变形,索中的内力为无限大。理论上结构的平衡状态都应该建立在变形以后，都需要考虑变形协调条件才能计算，只是对于变形比较微小的结构，考虑不考虑变形差异不大，但对变形比较大的结构，如果不考虑变形的影响，可能会得到荒谬的结果2）

如果两支点间距发生变化如果荷载作用后两点间距离减小0.1

m，平衡时挠度为1.0524m，索力为950.7t，变形增大，索力明显减小。如果荷载作用后两点间距离减小0.3

m，平衡时挠度为1.7357m，索力为576.2t，变形增大，索力明显减小。显然，如果作用荷载后两点间的距离能进一步减小，则索力增量会更小。上述结果给我们的启示是：如果索的两端点是弹性约束，在有荷载作用时发生的弹性变形，将使索的受力减小。3）

如果EA=1.0E3MPa如果荷载作用后两点间距离不变，平衡时挠度为1.0529m，索力为955t，变形增大，索力明显减小。如果荷载作用后两点间距离减小0.1

m，平衡时挠度为1.3132m，索力为764.2t，变形有所增大，索力减小。如果荷载作用后两点间距离减小0.3

m，平衡时挠度为1.8117m，索力为552.8t，变形变化不大，索力基本无变化。通过上面分析可以看出，索的平衡主要与几何形状有关，通过几何形状的改变或弹性伸长，都能实现最终状态的平衡。如果靠弹性伸长来达到平衡，则结构的内力大。对于上图所示的双层轨索系统，当运梁车在两吊点之间时，运梁车所传递给轨索的横向力基本上是通过吊点间的距离的改变来平衡。因为当作用荷载跨的轨索力增大时，它将向两侧传递，使轨索变长，轨索长度超过1000m，因此只需要很小的增量，就将实现比较可观的纵向变形，从而达到通过几何变形获得最终的平衡的要求。以上的分析说明，几何非线性在工程中是经常遇到的。对于这类问题，我们需要明确的是结构实际的平衡状态应根据平衡后的几何关系建立，包括变形前后的荷载与内力。做到这一点，就考虑了几何非线性影响。2.3

非线性问题的求解方法用有限元法进行结构非线性分析，其控制方程最终是一组非线性代数方程组。非线性代数方程组的求解方法很多，方法的选择往往与物理问题的性质、特点、非线性程度、对计算结果的要求以及计算机的容量、计算速度等因素有关，这就要求研究者对非线性问题的求解过程以及程序设计有较全面的了解。以下介绍几种常用的求解方法。1)

直接求解法直接求解法是基于全量列式的求解过程，应用最多的是直接迭代法。直接应用虚功原理建立的平衡方程可以写为直接迭代法应用简单，运算速度一般也比较快，可应用于一般非线性比较轻微的结构。下图a)表示取[δ0]=0开始计算收敛的情形；图b)则表示计算发散的情形。2）

增量法增量形式的有限元列式方法具有一个共同的特点：将整个荷载变形过程划分为一连串增量段，每一增量段中结构的荷载反映被近似地线性化。简单增量法将每一级增量荷载下直接求得的状态变量视为结构平衡状态，计算相应的切线刚度矩阵，进而作下一级荷载计算，并不断累加其位移增量。简单增量法过程简单，计算速度也比较快，但由于每一级荷载作用前结构并未达到精确的平衡位置，所求得的解会随着增量过程的继续而越来越偏离真实的荷载-变形曲线。为了保证计算精度，常常将区间划分得相当小。同时为评价解的精度，一般要对同一问题进行几组不同步长的求解，比较其收敛性。一种改进的方法是将不平衡力作为一种修正并入下一级荷载增量，形成一阶自校正的增量法。该方法具有较高的求解速度，同时又比简单增量法的计算精度高。这一方法在求解塑性问题时得到了广泛的应用。简单增量法一阶自校正增量法3）Newton-Raphson

法对于一个单自由度的问题求非线性方程的根，可采用如下的公式进行迭代对上式求导，并注意到对于保守力系，荷载项与位移增量无关，有上式即为体系在对应位移处的切线刚度表达式，因此求位移的迭代公式可写为4）混合法混合法是把增量法与迭代法结合使用的一种方法。一方面它按增量法的要求把荷载分级，然后逐级施加；另一方面在每一级荷载增量步的计算中用迭代法计算，以提高解的精度。改进的N.

R法混合法5）收敛准则在非线性方程的迭代计算中，为了终止迭代过程，必须确定一个收敛准则。目前常用的有如下三种收敛准则：在现有的程序中，分别采用了各种形式的收敛准则。我们在应用程序时应对此加以注意。对于同样的非线性问题，采用不同的计算方法，计算的收敛速度和收敛精度差异比较大。采用分10级的简单增量法，节点位移和轴力误差24.32%和40.31%采用一阶自校正的增量法，节点位移和轴力误差5.32%和8.28%采用N.R.法，迭代六次，节点位移和轴力误差0.08%和0.12%4

大跨度桥梁的恒载状态计算总的原则：

一般静定结构，恒载与活载一样计算；常规超静定梁、拱等结构，根据施工形成过程计算；有拉索悬吊的结构，恒载状态是设计确定的。4.1

超静定梁结构的内力与施工过程相关桥梁结构的建造是一个复杂漫长的过程，对于大多数的超静定桥梁结构，都将经历从静定的建造过程开始，到最终形成设计的超静定结构，在这一过程中，将发生体系从静定到超静定的转化，这一过程就称为体系转换。经过若干体系转换和不同施工方法完成的桥梁，能否实现设计的恒载状态，以及如何才能实现设计状态，这是超静定结构桥梁需要解决的问题。超静定桥梁结构的最终内力和实际结构线形是与施工过程和具体的处理方法密切相关的。这在超静定桥梁结构设计施工中必须给予足够的重视。图(a)是一次落梁，隐含的条件是结构在支架上时无变形，处于无应力状态，拆除支架后荷载才作用于结构上，才产生变形和内力图(b)则是假定施工一开始结构就发生变形，梁施工完成后再安装支座，这时结构的变形和内力与图(a)相差很大。通过施工控制可以使A支座处的标高与图(a)一样，但这时的支座反力与图(a)不一样，因此即使线形一样两者的内力状态还是不一样的。假定上述结构的重量和结构的截面是可以分开的，我们在悬臂建造结构时没有荷载作用，结构建好安装上支座，再作用荷载，那么结构内力与变形显然是和在无变形的支架上施工是一样的。如果按上述过程施工完成梁而不安装支座，作用荷载后再施加一个上顶的力使结构左端点达到施加力之前的位置，显然结构内力与变形也与在无变形的支架上施工是一样的。也有其他方式：施加力矩使悬臂端发生转角和变形，达到支座安装位置后安装支座，拆去力矩；或者先使固端转动一个角度，达到悬臂端标高后安装竖向支座，再使固端回到设计位置。上述过程说明，同样荷载状态下，施工过程对结构最终状态的影响是与施工过程能否保持与设计成桥状态一样的连续曲线和支座位置（即无应力状态)有关的。大跨度桥梁的分段施工要经历结构体系、约束条件和荷载作用的多种变化过程，其施工过程和成桥状态与一般的结构力学计算不同。一般结构力学的计算是按一次落梁进行分析，不能真实反映施工过程对成桥状态的影响。对于大跨度分段施工的桥梁，既要保证施工过程的安全，又要保证桥梁结构几何线形实现成桥状态预期的目标，施工过程的分析相当重要。不同的施工方法形成的结构成桥状态与内力可能是不一样的，以下图所示的三跨连续梁结构为例来进行分析。（1）整体施工形成的结构内力整体施工成桥结构内力相当于一次落架形成的结构内力，其计算是结构力学的方法：将示例中的等截面均布荷载q直接作用于成桥结构上，无体系变化问题。这种情况很容易计算得到结构的内力。恒载弯矩图如下墩顶负弯矩为0.28ql2，中跨正弯矩为0.22ql2

，边跨正弯矩为0.02ql2在这个施工过程中，在支架上施工梁，梁的无应力状态就是支架上无变形、无应力时的状态。假定这样的施工是在制梁厂整体或分段完成，然后采用顶推或整体架设，最终实现的内力与线形是一样的。如果分段吊装，只要保证拼装时无外加的接缝调整量，结果仍一样。（2）悬臂施工形成的成桥状态内力当按悬臂施工法形成结构时，成桥状态的截面弯矩是通过逐个梁段的悬伸逐步形成的。由于所分析三跨连续梁的中跨跨径正好是边跨跨径的一倍，因此，可以假想一种最简单的施工工序，即从两个桥墩墩顶对称悬臂施工直至两边桥台和中跨跨中。采用这种方式形成的成桥状态截面弯矩在整个三跨连续结构上不会出现正弯矩，而墩顶的负弯矩达到0.5ql2。上述施工方法与一次落梁法相比存在两点不同：边支座处支反力不同；中跨合龙位置梁曲线转角不连续。如果施工时通过设置预拱度等方式，保证结构线形达到跨中转角连续，但结构的初曲率则与一次落梁不一样，也就是说与一次落梁相比，梁的无应力状态变化了。（3）逐跨施工形成的成桥状态内力当按逐跨施工法形成结构时，为了改善施工接缝断面处受力，一般总是将施工接缝设在按一次落梁计算的弯矩较小截面处，而最好的选择就是弯矩为零的截面。按这种方式施工形成的结构的恒载状态截面弯矩基本与一次落梁法结果相近；如果接缝偏离弯矩为零的截面，成桥内力与一次落梁有差异，但一般差异不大。这种施工使结构的转角在连接处连续，结构的内力与线形就与与一次落梁一致。（4）逐段施工形成的结构内力当按逐段施工法从左端桥台开始向右端形成结构时，结构体系发生了多次变化。在施工到左侧桥墩之前，必须将左侧桥台与台顶梁体临时固结直到梁体悬伸至左侧桥墩形成简支梁；然后按静定单悬臂梁方式向右侧桥墩悬伸直至形成两跨连续梁；最后按超静定单悬臂梁方式向右端桥台悬伸，直至最终形成两跨连续梁。采用这种施工方案形成的梁上恒载弯矩下图所示。与对称悬臂施工法相似，整个结构上不出现正弯矩，但由于是逐跨施工，结构的弯矩不对称，左侧墩顶的负弯矩由于中跨跨度大

而达到1.67ql24.2

分段施工的体系转换与结构内力演变分段施工法中结构体系会发生多次变化，同样以前面介绍的三跨连续梁为例说明。采用悬臂施工，将经历墩梁临时固结悬臂体系、边跨合龙、中间墩临时固结转铰结、中跨合龙变三跨连续梁等体系转换过程。（1）

0号块与桥墩临时锚固，悬臂施工形成静定的T形刚构；T构双悬臂施工0.8L,然后合龙边跨（2）边跨合龙，形成超静定的固端梁先悬臂合龙边跨，墩中将产生弯矩，边跨合龙后墩顶处梁上有弯矩差。（施工方式是支架法)（3）拆除0号块临时锚固，梁体结构由超静定的固端梁过渡到静定的单悬臂梁（4）

最终中跨合龙，形成最终的三跨连续梁混凝土浇筑阶段，中间段不存在刚度，相当与两个集中力作用在悬臂端；中间段混凝土与原悬臂结构形成整体，拆除施工辅助结构后的体系转换计算图中间梁段使结构从两端悬臂变为三跨连续体系转换引起的内力变化最终的成桥弯矩图一般意义上的结构分析是将荷载一次性地指定作用在结构上，这与超静定的结构按施工过程计算的结果差异可能很大，因此对于超静定的桥梁结构，恒载内力状态的计算是不同于常规的结构力学计算的，需要根据施工过程，按不同的作用效果，分阶段地进行分析。实现成桥状态与施工过程无关的最简单的方式就是保证施工的结构的各构件的无应力状态及边界条件与设计的完全一致。要实现这一点，对于不同的施工方案，合龙时需采取不同的措施。一般情况下，对于超静定结构必须根据施工实施方案按步骤计算成桥状态结构内力，如果按拟定的施工方案建成的结构在施工过程中或成桥后不能满足结构强度和稳定性要求，必须进行施工过程的调整或改变施工方法。对于混凝土桥梁，由于施工过程中要张拉预应力、混凝土本身又存在徐变和收缩等问题，因此计算过程更加复杂。桥梁的成桥线形应与设计基本保持一致，因此施工过程中要对结构的线形变化过程进行预测和预置抛高，线形的计算一般还需要考虑可能的参数误差等影响。这一部分的问题是施工控制要解决的问题。以上的介绍说明，超静定桥梁结构的成桥内力和线形必须按施工步骤进行计算，如果不能保证各施工梁段的无应力状态与一般按一次落梁计算时的一样，直接按一次落梁计算的结果可能与实际差异很大，在实际工作中和研究中应注意。4.3

斜拉桥等结构的恒载内力计算采用无应力状态法进行施工控制，可保证成桥结构的内力与线形达到设计状态，下面介绍索梁组合承重桥梁的恒载状态的设计。斜拉桥、自锚式悬索桥等结构的拉索在恒载下的受力特性与成桥结构不同，这就使这类结构的恒载计算有较大不同。斜拉桥是塔、梁、斜拉索三种基本构件组成的缆索承重结构体系，一般表现为柔性的受力特性。由于斜拉索是可张拉的结构，因此斜拉桥的力学计算模式在不同的阶段是不一样的。建成后的结构塔、梁和斜拉索构成一整体，是一多次超静定结构，因此在活载作用下各构件的内力按刚度分配；不考虑非线性影响时，与一般结构的计算一致；如果考虑几何非线性，则要将斜拉索作为索结构、同时考虑恒载内力状态、结构大位移的影响。对于斜拉桥来说，在恒载状态时，斜拉索可以看成是一种主动受力构件，可以通过设计斜拉索的索力来调整或改变结构的内力状态。

既然斜拉索有这样的力学行为，那么就提出了合理的恒载内力状态、以及如何实现最优的恒载状态等问题。实际上不只是斜拉桥有这样的问题，自锚式悬索桥、斜拉-悬吊组合体系桥以及系杆拱桥等这类内部超静定结构，都有如何确定合理或较优内力状态的问题。以下以斜拉桥为例说明恒载内力优化的思路和方法。1）

结构内力状态优化的概念斜拉桥成桥恒载内力分布的合理与否是衡量设计优劣的重要标准之一。恒载内力的优化过程实际是斜拉桥的设计过程。对于斜拉桥的恒载内力优化（或称设计），可用下面的简单例子给予说明。对于上图所示结构，如果我们按结构力学的方法来计算结构的赘余力，可以计算出中间拉索的轴力为5ql4

384EIN

l3

48EI

h

EA如果取EI/l3=1，EA/h=192，上式变成N

ql

/

2这一状态相当于中间有支点的两跨简支梁的恒载内力状态，这时对应的梁的弯矩图如下图所示。为了优化梁的受力，可以根据需要拟定一个目标函数。现以梁的弯矩平方和为例来加以说明。目标函数为：lf

M

2

(x)dx0梁中的弯矩可写为M

q(lx

x

)/2

Nx

22将弯矩表达式代入目标函数中，可计算得到使目标函数f最小的赘余力为N

5ql

/8对应的梁的弯矩如右图。从上面的分析我们可以看出，如果能对拉杆进行张拉，通过调整拉杆中的张力，就可以调整梁中的弯矩。设定不同的目标，可调整出不同的梁的弯矩状态。这就是斜拉桥恒载索力计算的出发点，即通过设计恒载索力使斜拉桥受力合理。2）

斜拉桥设计中索力优化主要方法斜拉桥设计中使用的索力优化理论比较多，目前主要有刚性支承连续梁法、零位移法、弯曲能量最小法、弯矩最小法、内力平衡法、用索量最小法和影响矩阵法等。下面介绍几种方法的概念：(1).刚性支承连续梁法刚性支承连续梁法是指选择合适的斜拉索张拉力，使结构在成桥时的恒载内力状态，与以拉索锚固点为主梁支点的刚性支承连续梁的内力一致。(2).零位移法该方法是通过索力调整，使成桥状态下主梁在恒载作用下索梁联结处的位移为零。对于采用满堂支架一次落架的斜拉桥体系，其结果与刚性支承连续梁法基本一致。(3).弯曲能量最小法和弯矩最小法弯曲能量最小法是以结构(塔、梁)弯曲应变能作为目标函数，从能量原理出发，设计合理索力保证成桥后结构弯曲能量最小。弯矩最小法则是以结构的弯矩平方和为目标函数，其结果与弯曲能量最小法接近。(4).内力平衡法内力平衡法是以结构内力为研究对象，按照“内力平衡”的原则得到合理的斜拉索索力。基本原理是设计恰当或合理的斜拉索张拉力，以使结构各控制截面在恒载和活载的共同作用下，上翼缘的最大应力和材料允许应力之比等于下翼缘的最大应力和材料容许应力之比，从而达到截面上、下缘材料均被充分利用，截面受力均匀。当截面为同一种材料且上、下对称时，预期的目标恒载弯矩就等于活载最大弯矩和最小弯矩的代数平均值，所以将活载弯矩包络图的上、下两条包络线的中心线反号作为优化目标恒载弯矩，最终优化结果会形成中心线基本为零的结构恒活载组合弯矩包络图。(5)

用索量最小法该法以斜拉索用量(索力乘以索长的累计值)为目标函数，以所关心截面的内力、位移期望值范围和索力均匀性为约束进行优化，用这种方法约束条件的选取至关重要，若选择不合理，则无法获得理想优化结果。将上述各种方法归结起来可分为三种:指定受力状态的索力优化、无约束的索力优化和有约束的索力优化。a

指定受力状态的索力优化法刚性支承连续梁法和零位移法是这类方法的代表。刚性支承连续梁法将斜拉桥主梁在恒载作用下弯曲内力呈刚性支承连续梁状态作为优化目标。将梁索交点处设为刚性支承点进行分析，计算出各支点反力，利用斜拉索的竖向分力与刚性支点反力相等的条件，就可容易地确定最优索力。指定受力状态的索力优化方法的优点是力学意义明确，计算简单，且成桥索力接近“稳定张拉力”，可减小徐变对成桥内力的影响。但是，要通过施工来实现这种内力状态是困难的，因为跨中无索区的弯矩与一次张拉力无关（不计徐变时），成桥后必须设法消除由中间合拢段及二期恒载引起的正弯矩效应。一般用反复调索来实现。此外，刚性支承连续梁法只顾及了梁的受力状态，而忽略了塔的受力状况，结构布置稍有不当，就会在塔内引起较大的恒载弯矩。零位移法以结构在恒载作用下梁的节点位移为零作为优化目标。对于支架上一次落梁的斜拉桥，其结果与刚性支承连续梁几乎一致（梁的EA→∞）。因此，也会遇到与刚性支承连续梁法相似的问题。对于悬拼结构或悬浇的结构，零位移法是没有意义的。因为施工时梁的位移包括了刚体位移和梁体变形两部分，前者可以通过拼装方式进行调整，只有后者才与索力有直接联系。b

斜拉索力的无约束优化法这类方法的典型例子是弯曲能量最小法和弯矩最小法。弯曲能量最小法是用结构的弯曲应变能作为目标函数，弯矩最小法是以弯矩平方和作为目标函数。有关文献中给出的这两种方法只适用于恒载索力优化，无法计入预应力的影响，且计算时要改变结构的计算模式。c

索力的有约束优化这类优化方法的典型例子主要有：用索量最小法和最大偏差最小法。用索量最小法以斜拉桥索的用量作为目标函数，以关心截面内力、位移期望值范围作为约束条件。使用这种方法，必须合理确定约束方程，否则容易得出错误结果。最大偏差最小法将可行域中参量与期望值的偏差作为目标函数，使最大偏差达到最小。这是一个隐约束优化问题，最后归结为一个线性规划问题。这种方法适用于成桥状态和施工中的索力优化。斜拉桥受力性能的好坏要根据实际结构来评价，并不能用单一的目标函数来统一表示。事实上，对于内部超静定的结构，都可以通过调整内部构件的无应力状态来调整结构的恒载内力与线形（或形状）；体内、体外后张预应力也是这种设计的一种类型。需要注意的是，对于混凝土结构，这种调整将可能产生徐变及徐变次内力的影响，计算分析时应考虑到其可能产生的影响。5

索计算理论及悬索桥计算5.1

单索结构的计算在实际工程中，我们经常遇到索结构的问题。如斜拉桥的斜拉索、悬索桥的主缆、施工缆索吊的承重索等。而混凝土结构中的预应力钢丝束实际也是索结构问题的一种。对于索结构我们可以采用一些简化的方法计算，但是我们也必须了解其理论的计算方法。1）

理想索平衡方程的建立两条基本假定①

索是理想柔性的，既不能受压，也不能抗弯。因为索的截面尺寸与索长相比十分微小，因而截面的抗弯刚度在计算中可不考虑。对于索的曲线有转折的地方，只要转折的曲率不过大，局部弯曲应力也可不计。②

索的材料符合虎克定律这表明虽然我们讨论的索结构变形可以很大，但结构中的应力与极限承载力相比还是比较小的，索仍然在弹性范围内工作。对于钢索（钢丝绳、平行钢丝束等），一般在初始受力状态时总是存在非弹性变形，这要求使用前进行预张拉，以消除弹性变形。在上述两条假定下,根据索上作用的荷载,取单元隔离体,可以建立平衡方程通过静力平衡条件推导方程dHqx

0dx

dx

0dxxdHdxq

0xddzqz

0(H

)dx

dx

0dx

dxzddzq(H

)

0dxdxzq

0

H

常量xd2dzx2qH

0z以上推导出了单索结构的平衡方程，以下分几种情况来计算索结构的解。（1）竖向荷载沿跨度均匀分布在这种荷载下，索的平衡方程很容易求解d

2

zdx2q

常量

q在此情形，

qz

HqZ

x2

c1x

c2积分两次2H这是一条抛物线，积分常数可由边界条件确定。最终求得的方程为qcz

x(l

x)

x2Hl在此抛物线中，索张力的水平分量H还是未知的，所以上述方程实际上代表一族抛物线。因为通过A、B两点可以有许多不同长度的索，它们在均布荷载q作用下形成一族不同垂度的抛物线，具有相应的不同H值，所以还须补充一个条件才能完全确定抛物线的形状。如给定曲线跨中的垂度f，即令lcx

z

f22将此条件代入索方程的解中，即可求出索内的水平张力H4

fx(l

x)

c

xql2z

H

8

fl2l这是由几何参数l、c、f完全确定的一条抛物线。与其相应的水平张力H也是确定的。(2)荷载沿索长均布设沿索长均布的荷载为q，则qds

qz

dx因此dsdxdz

q

1

(

)dxqz

q2代入平衡方程有d

2

zdx2dz

q

1

(

)2

0dxH满足边界条件的解为

2

x

l

sinh1(c

/l)qlH

z

cosh

cosh

q

zHsinh上面方程所代表的曲线是一族悬链线，与抛物线的情形相同，如果给定曲线上任一点的座标值，整条曲线即可完全确定。当二支座等高时，c=0qlHq

qx

H

z

cosh

cosh

2HHf

cosh

1设跨中垂度为f，由上式可得出f与H的关系式q悬链线与抛物线的比较0.10.20.3f

/l0.04%0.11%0.21%d

/

f（3）沿跨度分布的任意荷载对于沿跨度任意分布的竖向荷载，可用比拟的方法进行分析。将悬索的平衡方程与梁的方程作比较。由材料力学知d

M2

q22dx悬索的微分方程与上面梁的方程具有完全相同的形式，二者变量（Z与M）相互对应，仅相差一常数因子H。因此只要两种情形边界条件也相当，下述对等关系即成立M

(x)Hz(x)

M(x)z(x)H考查边界条件，对于两支座等高的悬索和不等高的悬索，其边界条件分别为：两支座等高：x=0

z=0;

x=l

z=0两支座不等高：x=0

z=0;

x=l

z=c那么与两支座等高有同等边界条件的弯矩图即为一般简支梁；与两支座不等高相对应的弯矩图为一般简支梁再在右端作用一集中弯矩。于是可根据简支梁的弯矩图按上式求得索曲线的形状。其实，如果将两支点的连线作为索曲线竖向座标的基线，则索曲线的形状与承受同样的荷载的简支梁弯矩图完全相似。（4）索长的计算索微分单元的长度为2

dz

dx

ds

dx2

dz2

1

dx整根索的长度可由上式积分求得

dz

2

dx

l

s

ds

1dx

02241

dz

65

dz

8

dz

1

dz

1

dz

1

1

dx

2

dx

8

dx

16

dx

128

dx

在实际计算中，根据索的垂度大小，可仅取两项或三项，即可达到必需的精度，这时索长的计算公式可简化成如下形式l1

dz

2s

1

dx2

dx

241

dz

1

dz

ls

1dx

0

2

dx

8

dx

0对于抛物线索，按前面的索曲线的方程因而有dz

4

f

c

8

fxdxll2可导得索的长度为fc28

f3l2c2c48

f3l232

f44c22s

l1s

l12l222l28l425l4l4如果将斜率的表达式直接代入弧长表达式进行积分，可导得计算抛物线悬索长度的精确公式。当二支座等高时，可得相应的近似公式为l16

f2l24

f16

f2s

1ln

12l28

fll2根据上面公式，我们可求得索长与跨度变化的近似关系8

f3l232

f48

f3l2s

l1s

l1425l216

f3lds

df3

lf

s或写成16

f索长的变化可能由各种因素引起，例如索的拉伸变形、索的温度变形、支座的位移或索在支座锚固处的滑移等。由上式可看出，当垂跨比不大时，较小的索长变化将引起较显著的垂度变化，如当f

/l

0.1

时，

f

1.875s前面介绍的是索在一种指定状态下的形状、长度、内力的计算方法。我们实际工作中常遇到的问题是已知一种状态，在这基础上再作用外荷载、温度变化和支座变化等后，求新的状态的变形(或形状)、内力等。下面我们介绍索的变形协调条件。5）

变形协调条件对于悬索，实际问题一般具有这样的形式：设给定索的一种“初始状态”（简称“始态”），在此状态中，索承受的初始荷载为q0，索的初始形状z

，相应的初始拉力H

均为已知。在此基础上，对索施加荷载增00q，即索所承受的荷载由q0变到

q

q；

此时索内力由H0q量0

H

，索产生相应的伸长（或缩短），而索的座标由Z0变到H

H0变到

z

z

w

，

（

w代表索的竖向变位）。0即索由初始状态转变为一个新的状态，可称为“最终状态”或“荷载状态”（简称“终态”）。索在“终态”时的内力H和位置Z是未知的，需q

q0

q已知的，z的形状也就已知。只要知要求解。应指出，由于道索曲线某一点的座标，整条曲线即随之确定。同样，索各点的内力也可由它们的水平分量H唯一确定。因此，需要求解的是两个未知常数。索的平衡方程只给出某一特定“状态”下q、z、H三者之间的关系（即平衡关系），而不能考虑“状态”的变化过程。所以仅有平衡方程无法解决上面提出的问题。从数学角度来看，要求解z（或）和HH（或）

两个未知量，只有一个平衡方程也不够。因此，必须在索由始态过渡到终态的过程中，考察索的变形和位移情况，建立索的变形协调方程。考察长为ds0的微分单元AB，它在变位后移到A′B′的位置，其长度变为ds，由几何关系知dz0dxds0

dx2

dz02

1

(2)

dx2222

du

dz

du

du

dz

1

2

dxdx

dx

dx

ds

(dx

du)2

dz2

1

dx

dx

dx

于是所考察的微分单元的伸长为22

dzdz0

duds

ds

1

2

1

dx0dx

dx

dx

如前所述，对于小垂度问题，可将上式的根号展开，并保留微量之第一项，于是可得：22du

1

dz

1

dz

ds

ds

dx2

dx

00dx

2

dx

整根索之总伸长为du

1

dz

2

1

dz

2s

ds

ds

l0

dx0dx

2

dx

2

dx

s0221

dz

dz

u

u

2

dx

dx

0

dxrll

z

z

wuu、

分别代表悬索支点右端和左端的水平位移。如果将rl0代入上式，可得2dz

dw

1

dwdx

dx

2

dx

s

u

u

0

dxrll

再从物理方面考察，索的伸长系由索内力增量和温度变化引起，即

T

EA

H

ds

dsls

t

ds

0

t

0

dx0

EA

dx

dxs02H

dsdsl0

dx

t0

dxEA

dx

Hdxl22dzdz

l1

0

dx

t

1

0

dxEA

dx

dx

l

因此我们可以推导出变形协调方程222H

H

dz0

1

dx

u

u

dx

dz1

dz

dz

2l0

0

dx

2

dx

dx

lrl

t

1

0

dxEAl

dx

5.2

单索理论在桥梁工程中的应用1)

预应力及等效荷载通过张拉钢丝、钢绞线等对构件施加预应力是工程中常采用的措施。对于预应力产生的影响，可采用等效荷载法进行分析。一般的结构分析通用程序都是采用位移法编制的，另外在桥梁结构设计计算中，

一般采用影响线进行计算，因此我们希望将预应力的作用转换为荷载，这样更方便计算。对于超静定结构，采用等效荷载能直接计算得到预加力的总效应。等效荷载法的基本原理是：将预应力筋及其锚固点对结构的作用替换为一种等效荷载，并把这种等效荷载如同外荷载一样施加到由混凝土和非预应力筋组成的结构上，用以计算预加力对结构产生的效应。预应力曲线产生的等效荷载可通过索的平衡条件计算出来。预加力等效荷载由两部分组成：由预应力筋线形改变在构件上产生的横向或扭转的集中或分布荷载，一般称为预应力筋线形等效荷载或等效荷载；由预应力筋锚固点产生的集中荷载，一般称为锚点等效荷载。在预加力的作用下，预应力筋和相应的混凝土构件（包括非预应力筋）是一个自平衡的受力体系，因此预加力的等效荷载也是一种自平衡力系。预加力的等效荷载是以弹性材料为基础的，在承载能力极限阶段等效荷载不成立，因此等效荷载的概念只能用于使用阶段的计算中。以下仅介绍预加力沿预应力筋长度为常量的等效荷载a

曲线预应力筋的等效荷载预应力受弯结构中，预应力筋曲线常采用圆曲线或二次抛物线。对于下图所示等截面梁，设预应力筋曲线为二次抛物线。f

e

e4

4f抛物线方程为：yp

(x)x2BAx

eAl2l根据材料力学，有分布荷载与结构中弯矩的关系：d2

Mq(x)

2dx根据上面的结构图，若预应力筋的预加力为Fp，可将预加力引起的梁上弯矩写为M

y

N

cos

ax

bppp于是由预加力引起的等效分布荷载可写为由于预加力的值等于预加内力，即F

=N

，如果预加力为常量，预pp加内力也为常量，一般由于预应力筋的曲线较平缓，近似取余弦值为1，将力筋曲线代入，就可计算得等效荷载。2

4

f

e

e8Fp

fd

4

fq

(x)

F(

xBA

x

e

)pp2A22l2dx

llFp为结构的预加内力。一般曲率较小的圆曲线与抛物线相差很小，可近似按抛物线计算。b

折线预应力筋的等效荷载对于下图所示的折线型布置的预应力筋，折点C两侧的预应力筋为AC和BC两段直线，在折点C左、右段由预加力引起的弯矩分别为M

N

cos

(e

xtan

)

ax

bplp1A1M

N

cos

(e

(l

x)

tan

)

ax

bprp2B2由材料力学知C点的预加力的等效集中荷载（向下为正）和预剪力的关系为：P

[Q

]

[Q

]cpl

xxpr

xxccdMQplNa

Npl

cos

t

an

sin

ap11p1dxdMQprN

a

N

apr

cos

tan

sin

p

2

2

p

2dxFp

NpP

F

(sin

sin

)cp21将等效荷载计算出来后作用于结构上，就能计算出预应力对结构的作用。在桥梁加固等工程中，常采用体外预应力，从上面的分析可见，只有达到一定的曲线，施加的预应力才能产生有效的竖向荷载。2

4

f

e

e8Fp

fd

4

fq

(x)

F(

xBAx

e

)pp2A22l2dx

ll2）

缆索吊的计算大跨度拱桥、悬索桥施工中经常用到缆索吊结构。可以采用单索理论进行缆索吊的承重索计算。（1）

根据最大吊重下的控制高程，计算此时的线形、内力及索无应力长把主跨简化为一简支梁结构，将索自重简化为分布荷载、吊重模型化为一个或多个集中荷载作用在最不利位置（或控制标高位置），计算简支梁的弯矩，然后根据控制点的标高，计算索的水平力（张力），计算索的五应力长度。（2）

各边跨则以主跨为基准，根据塔顶的支承条件，确定边跨的索力，然后确定边跨线形、无应力索长。（3）

空缆架设时的标高控制空缆状态的计算有一个已知的条件，就是承重索的无应力长度与吊重时保持不变，这样就可以建立迭代计算方程。（4）

温度影响的计算把温度的影响转换为索无应力长度的改变，改变量已知。（5）

吊重后运行到其他位置的确定采用上述过程进行迭代计算，考虑了几何非线性的影响，因此计算结果是准确的。采用一般的有限元程序进行计算，边界条件模拟不准确或难以模拟时，结果有误差。5.3

悬索桥的结构计算的挠度理论挠度理论是针对悬索桥的大位移而发展的一种近似理论，它与“线性理论”的区别在于挠度理论考虑了结构变形的影响，它的计算结果与有限位移理论的结果较接近且偏于安全。现在人们采用挠度理论，更多的考虑是利用其结果可容易写成解析解的形式，用这种理论可以更方便地讨论各项参数的影响，能更好地认识结构的规律。传统的挠度对悬索桥的分析作了几条假设：

恒载为均布，且由主缆承受全部恒载，加劲梁在无活载的状态下为无应力状态；吊索是垂直的且没有延伸，也忽略由活