高一数学空间几何体学案

高一必修2数学第一章空间几何体课程目标：一、考点突破1.了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台及球的概念及结构特征；2.掌握空间几何体的表面积及体积的计算公式和技巧；3.了解三视图的画法，会通过三视图还原几何体；4.了解斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画简单的空间图形的直观图；5.锻炼学生的空间想象能力。二、重难点提示重点：空间几何体的概念、有关计算和三视图。难点：三视图的应用。精讲精练：微课程1：空间几何体及其结构特征【考点精讲】多面体的结构特征1.棱柱（1）棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形。（2）棱柱的分类：按侧面和底面的关系可分为：斜棱柱、直棱柱；按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。（4）正棱柱和直棱柱的侧棱都和底面垂直。2.棱锥（1）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。（2）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。（3）正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；棱锥的高、斜高和斜足与底面中线连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。3.棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形。（1）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。（2）正棱台的性质：各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形。4.旋转体的结构特征（1）圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到。（2）圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到。（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上、下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。（4）球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到。【典例精析】例题1如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题的是（）A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上思路导航：可借助几何图形进行判断。答案：如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成的角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定都相等或互补（若为正四棱锥则成立）。故仅命题B为假命题。选B。例题2已知正三棱锥ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。思路导航：将三棱锥补全，补成正方体求解。答案：因为在正三棱锥ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作一个正方体的一部分（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥ABC在面ABC上的高。已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥ABC在面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为。点评：本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。例题3一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．思路导航：作出过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为，通过三角形相似，求出正方体的棱长即可．答案：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为，则,∴，解得，∴正方体的棱长为cm。点评：正确作出图形，注意到过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，AC是正方体的面对角线，三角形相似是解题的助推剂．考查空间想象能力，计算能力。随堂练习：给出下列命题：（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）答案：根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有（2）（4）两个命题是正确的，（1）（3）可能是弦，所以选D，故选D。【总结提升】1.补全法：把不规则的形体补成规则的形体，不熟悉的形体补成熟悉的形体，便于计算，特别是一个三棱锥的三条棱两两互相垂直，我们一般补成正方体再求解。2.圆台、圆锥、圆柱的求法：（1）在解决有关圆台、圆锥、圆柱的基本量问题时，一般画出它们的轴截面，有关元素之间关系就能体现出来；（2）求组合体中的元素时，要选取适当的截面，尽可能使组合体中的元素转化到同一个平面，用平面几何知识来计算。微课程2：空间几何体的有关计算【考点精讲】1.柱、锥、台和球的侧面积和体积几何体侧面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π（r1＋r2）lV＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h＝eq\f(1,3)π（req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2）h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)（C＋C′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。【典例精析】例题1已知正四棱锥O－ABCD的体积为QUOTE322，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________。思路导航：求以OA为半径的球的表面积，我们需要求出OA的长度，再根据球的表面积公式求解。答案：首先从顶点O向底面正方形ABCD作射影，为正方形的中心，连接和，正四棱锥O－ABCD的底面边长为，则，又，，即＝，在△中，＝＝，＝，＝＝。例题2已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此三棱锥的体积为 （）A. B. C. D.思路导航：首先要求出的外接圆半径，再根据外接圆的半径与球的半径求出球心到底面的距离，最后求解。答案：的外接圆的半径，点到底面的距离为球的直径点到底面的距离为此三棱锥的体积为另：，排除，选A。例题3如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A. B. C. D.思路导航：首先作出该球轴截面的图象，根据题意求解。答案：设球的半径为R，则由题意可知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R－2，则，解得R＝5，∴球的体积为，故选A。【总结提升】空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解答这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键。化解空间几何体面积和体积的方法：（1）分割求和法；（2）补形法；（3）等积法；（4）作轴截面；（5）通过方程或方程组求解。微课程3：三视图的应用【考点精讲】空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。1.正投影：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影。2.正投影性质：（1）垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；（2）垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分。3.三视图：（1）水平投射面、俯视图：一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图。（2）直立投射面、主视图：一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面；投射到这个平面内的图形叫做主视图（也有的叫做正视图）。（3）侧立投射面、左视图：和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图。4.平行投影的性质：（1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段；（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线；（3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；（4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；（5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。5.直观图：斜二测画法是一种画直观图的方法，其规则如下：（1）建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应轴和轴，两轴交于，使∠＝45°，它们确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段。（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的。6.正等测画法：正等测画法的依据还是平行投影的性质，不过这时投射线和人的视线平行，并且投射线与投射面垂直，它一般用于画圆、圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体。【典例精析】例题1若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）思路导航：通过观察A、B、C、D四个图，分别画出每个立体图形的三视图，与已知给出的正视图、侧视图、俯视图对照。答案：A中正视图，俯视图不对，故A错。B中正视图，侧视图不对，故B错。C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D。例题2如图，某几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）A.4eq\r(3) B.4 C.2eq\r(3) D.2思路导航：根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解。答案：由三视图可知此几何体为四棱锥，高为3.所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×3＝2eq\r(3)。答案为C。例题3已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A. B. C. D.思路导航：本题考查空间几何体的三视图，利用补全法求体积。答案：此几何体为一个圆柱切去了一部分，此