中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施

中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施（恩格斯语“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河“数”“形”结合是推动数学发展的动力（1）“数”产生于各种“形”的计算,“数”又借助于“形”得以记录、使用、计算。解决“形”的问题可使用“数”作为工具，而“数”的关系可以用“形”来证明。关于距离、关于线段定比分点等等。“解析几何”这个名词本身就意味着“解析方法”与“几何方法”的结合，而正是这种结合开创了数学的新局面。(2)对“形”的相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。2典型例子是无理数 的发现：正方形的边长与其对角线的长度之间不存在公度线段即不2存在一条线段a,用它去量一个正方形的边长及其对角线的长都正好得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式(ab)2a22abb2数形结合在教学中的运用在《有理数》一章中，数轴就是把数和形结合在一起的内容。这样，在讨论相反数、绝对值、倒数的几何意义时,形象易记。下面具体分析一下。零的相反数是它本身即原点。如图：绝对值在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。在下图中，A点到原点的距离比B点到原点的距离大。倒数在数轴上表示a10、+1、-1作为分界点，然后再作讨论。观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征。例如，利用数轴可以比较a的相反数是a、负数。几何形象的描述及其对我们理解应用的帮助。更好地解决问题。在中学数学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。数形结合在解题中的运用（1）“数”中思“形”例1. 如果实数x,y满足等式(x2)2y2

3，那么y的最大值是什么？3 x3 A(xy在圆(x2)2y2

3上，圆心为C(2,0)

。如图，则y是点A与原点连线的斜率。当OA与⊙C相切，且切点A落在3x3第一象限时，kOA

y有最大值，即3x3

有最大值因为CA =y

，OC2，所以OA

=1，所以()222232

max

=tanAOC = 。2.解不等式：

x12x5解:设 ，即2x5的曲线是以A(5,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函2yx1线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是{x|5x2}。2“形”中觅“数”例3.求方程lgxsinx0的解的个数。分析：此方程解的个数为ylgx的图象与ysinx的图象的交点个数。因为sinx1,lgx1所以ox10在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。例4.已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k的同取值个数。分析作出双曲线 的图象并注意到直线是过定（ 的直线系双曲线的渐近线方程为 。所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点此时k取两个不同值此外（ 点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点此时k取两个不同的值，故k有四个不同取值。例5.设复数z满足arg(zi)=2π 求 1

的最大值。3 |z6||z|解：要求 1 的最大值，即求|z6||z|的最小值，由复数模的几何|z6||z3i|zA(6,0)B(0,3)离和的最小值。如图∵z满足arg(zi)=2π35∴复数z对应的复平面上的点z的轨迹是以(0,1)为端5622的射线。由图可知，|ZAZB|最小值为|62351 153 5 的最大值是 = 。3 5

3 ,故|z6||z| 15在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。多媒体技术为数形结合的实施架设了桥梁题，提高创新能力。量关系的变化（哪怕是微小的变化）直观地显示出来，数与形的变化同时进行，数形结合，为数学的学习提供了绝好的试验工具，这在传统数学教学中根本无法办到机内装有显示一般正弦函数y=Asin(ωx+φ)的图象的应用软件（操作界面见图2。启动该软件后，学生可用鼠标任意改变画面中的点JF、ω、φ的值，使图象产生相应的变化。学生手、眼、脑并用，通过考察函数式y=Asin(ωx+φ)中三个参Aωφ下面是一例发现三角形内接矩形的面积变化规律的“数学实3，在△ABCEOBE为顶点作△ABC的内接矩形EFGH，使矩形的一边EHOB