高数下-yaf高数课件

第八章

多元函数微分法及其应用DxyzOMxyPz

f

(

x,

y)2第一节多元函数的基本概念预备知识多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结思考题作业function

of

many

variables第八章多元函数微分法及其应用一、预备知识1.平面点集

n一元函数R1R2平面点集n(1)平面点集nR建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x,y)的全体,即R2

R

R

{(

x,

y)

x,

y

R}坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E

{(x,y)(x,y)具有性质P}.多元函数的基本概念3邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是

xOy

平面上的一个点,

0,

令几何表示：Oxy0(

x

x

)2

(

y

y

)2

}0

0U

(

P0

,

)

{(

x,

y)0多元函数的基本概念0称之为点P

的邻域,有时简记为U

(P

).R2注①

将邻域去掉中心,

称之为去心邻域.

U

(

P0

,

)②也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域..

P4任意一点P

R2

与任意一点集E

R2

之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点设E为一平面点集,点P

E,若存在显然,E的内点属于E.多元函数的基本概念E(2)外点如果存在点P的某个邻域U

(P),1P1

0,使U(P)

E,称P为E的内点.(P

)22P3P(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.(P3

)E的边界点的全体称为E的边界,记作E.5使U(P)

∩

E

=

,

则称P为E的外点.(P

)多元函数的基本概念聚点如果对于任意给定的

0,点P的去心邻域U

(P

,

)内总有E中的点(P本身可属于E,也可不属于E

),则称P是E的聚点.例如,设点集E

{(x,y)1

x2

y2

2},点P(

x

,

y

)

R2

,若1

x2

y2

2,

则P为E的内点;0

0

0

00

00

0若x2

y2

1或x2

y2

2,则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界E

为集合{(

x,

y)

x2

y2

1}

{(

x,

y)

x2

y2

2}.6平面区域(重要)设D是开集.如对D内任何两点,都可用折线连多元函数的基*念如都是区域.连通的开集称区域或开区域.{(

x,

y)1

x2

y2

4},结起来,且该折线上的点都属于D,称开集D是连通的.概{(

x,

y)

x

y

0}开集若E的任意一点都是内点,称E为开集.2

21例

E

{(

x,

y)1

x

y

4}1E

为开集.x

y

0x

y

0Oxy7多元函数的基本概念开区域连同其边界,称为闭区域.如{(x,y)1

x2

y2

4},{(x,y)x

y

0}都是闭区域.有界区域总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,称此区域为有界区域.否则称为

区域

(可伸展到无限远处的区域).8OxyOxyOx有界开区域yOx有界闭区域y有界半开半闭区域闭区域多元函数的基本概念9中的每一个元素(x1

,x2

,,xn

)称为空间中nn

元有序数组(x1

,x2

,,xn

)的全体.

记作

R

;

即n的一个点,数xk

称为该点的第k个坐标.n中两点P

(x1

,x2

,,xn

)及Q

(y1

,y2

,,yn

)的距离定义为nn

y

)2PQ

(

x

y

)2

(

x

y

)2

(

x1

1

2

2n中点P0

的邻域为U

(,P){ δ

P

PP

δ

,

P

Rn

}.0

0(2)

n称为n多元函数的基本概念Rn

R

R

R

{(

x1

,

x2

,

xn

)

xi

R,

i

1,2,}.10二、多元函数的概念1.二元函数的定义(1)定义例理想气体的状态方程是于T,V

的关系是p

R

TV称p为两个变量T,V

的函数,其中0

T

,0

V

.其中p为压强,V为体积,T为绝对温度.如温度T、体积V都在变化,则压强p依赖多元函数的基本概念11(R为常数)pV

RT称为该函数的值域.定义1设D是xOy平面上的点集,若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,按着这个关系有确定的

z值与之对应,则称z是x,y的二元(点)函数.记为z

f

(

x,

y)

(或z

f

(P))称x,y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数的定义域,

数集

z

z

f

(

x,

y),(

x,

y)

D多元函数的基本概念12纯数学问题的函数:自变量取值的全体.函数z

f

(

x,

y)

在点P(

x0

,

y0

)处的函数值记为f

(x0

,y0

)或f

(P0

).类似,可定义n元函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.(2)多元函数定义域实际问题中的函数:

定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.多元函数的基本概念13定义域为使运算有意义的解Oxy闭区域例求下面函数的定义域1.

z

xy

y

0

x

0和

y

0

x

0xy

0,即定义域为多元函数的基本概念141Ox解定义域是(x

1)2y有界半开半闭区域15x2

y2

12

x

x2

y22.

z

y2

1且x2

y2

1多元函数的基本概念圆弧

直线域D有下列三种表示法:解及

0

x

1多元函数的基本概念xO用联立不等式表示下列平面闭区域

D

.y

1

1

1(2)

1

y

02

1

y

x

y

1(3)

1

x

0

1

x2

y

0

x

1

y

0D(1)

16x2

y2

1y

0x

y2.二元函数的几何意义研究单值函数多元函数的基本概念z

f

(

x,

y)Dx二元函数的图形通常是一张曲面.yzOMxyP17如,由空间解析几何知,函数z

R2

x2

y2的图形是以原点为中心,R为半径的上半球面.又如,z

xy

的图形是双曲抛物面.最后

,

从一元函数到二元函数,

在内容多元函数的基本概念和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.18三、多元函数的极限Ox二元函数z

f

(

x,

y),

当x

x0

,

y

y0

,即P(x,y)

P0

(x0

,y0

)时的极限.怎样描述呢?

回忆:

一元函数的极限(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的方向有任意多个,路径又是多种多样的.注多元函数的基本概念(

x0

,

y0

)(

x,

y)

(

x,

y)(

x,

y)(

x,

y)(

x,

y)(

x0

,

y0

)(

x,

y)(

x,

y)

(

x,

y)(

x,

y)Oxy

y19这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.2

2(

x

x0

)

(

y

y0

)不论P(x,y)趋向于P(x0

,y0

)的过程多复杂,总可以用

0

来表示极限过程:P(

x,

y)

P0

(

x0

,

y0

)多元函数的基本概念

PP0200

0

0(2)变点P(x,y)与定点P

(x

,y

)之间的距离记为

0,

0,

当0

(

x

x

)2

(

y

y

)2

,0

0(

x

,

y

)(

x0

,

y0

)的极限.记作成立.

则称A为z

f

(

x,

y)当(

x,

y)

(

x0

,

y0

)时lim

f

(

x,

y)

A或f

(x,y)

A

(

0)多元函数的基本概念定义2

(

)设二元函数

f

(P)

f

(

x,

y)的定义有义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果存在常数

A,f

(P)

A

21PP0lim

f

(P)

A

或

f

(P)

A

(P

P0

).也记作22说明定义中P

P0

的方式是任意的；二元函数的极限也叫二重极限.(double

limit)lim

f

(

x,

y)x

x0y

y0多元函数的基本概念则当0

(

x

0)2

(

y

0)2

0,

取

01x2

y2x0y0例试证lim

f

(x,y)

lim(x2

y2

)sinx0y0(

x2

y2

0)证

(x2

y2

)sinx2

y21

x2

y2

(

x

0)2

0

(

x2

y2

)

sin122x

y有证毕.多元函数的基本概念1x2

y2

0

x2

y2

sin

(

y

0)2

2

23多元函数的极限与一元函数的极限的相同点和差异是什么相同点

定义相同.一元函数在某点的极限存在的充要差异为条件是左右极限都存在且相等;而多元函数必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋于P0时,f

(P)都有极限,且相等.多元函数的基本概念24确定极限不存在

的方法关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.多元函数的基本概念25若极限值与

k

有关,

则可断言极限不存在;(2)

找两种不同趋近方式,

使lim

f

(

x,

y)

存在,x

x0y

y0但两者不相等,此时也可断言f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)处极限不存在.y

y0

k(x

x0

)(1)令P(x,y)沿直线趋向于P0

(x0

,y0

),例设函数证明:当x

0,

y

0时,函数的极限不存在.证当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,同样,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,x0y0f

(

x,

y)

2

20,

x

y

02,

x2

y2

0x

y2xy

02lim

f

(

x,0)

limx

0x0

x2

lim

0

0x00

y也有lim

f

(0,y)

lim

lim

0

0y0

02

y2

y0多元函数的基本概念26limxyy0x0

x2

y2kx2

limykxkx0

x2

k

2

x2

1

k

2其值随k的不同而变化.所以,极限不存在．多元函数的基本概念设函数2

220,

x

y

0,

x2

y2

0x

y2xyf

(

x,

y)

证明:当x

0,

y

0时,函数的极限不存在.说明函数取上面两个特殊方向无限接近于点(0,0)时,函数的极限存在且相等.另一方面,当P(x,y)沿直线y=kx

的方向无限接近点(0,0)时,27是否存在？24极限limx2

y

yy0x0

x解取y

kx,x4x

2

y

y2x0ykx当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,x0当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,lim

f

(

x,0)

0x2

k

2kx3kxy0lim

f

(0,

y)

0多元函数的基本概念

lim

f

(

x,

y)

lim2822

0

kx4

k

2

x2kxykxx0

x多元函数的基本概念极限不存在.取y

x2

,24x

2

yx

y44x

xx4是否存在？24极限limx2

y

yy0x0

x1229四、多元函数的连续性定义3

设二元函数

f

(P)

f

(

x,

y)的定义域为D,P0(x0,

y0)为D的聚点,

且

P0∈D.

如果0

00

0lim

f

(

x,

y)

f

(

x

,

y

),(

x

,

y

)(

x

,

y

)则称函数f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)连续.如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数f

(x,y)在D内连续,或称函数f

(x,y)是D内的连续函数.多元函数的基本概念30若在D内某些孤立点,或沿D内某些曲线,函数f

(x,y)没有定义,但在D内其余部分,f

(x,y)都有定义,则在这些孤立点或这些曲线上,都是函数f

(x,y)的不连续点,即间断点.多元函数的基本概念31若函数f

(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则称P0为函数f

(x,y)的间断点.1

x2

y21函数f

(x,y)

sin多元函数的基本概念(0,0)点是该函数的间断点.函数0,

y2

0,

x2

y2

0f

(

x,

y)

x22x

y2xy(x

0,y

0时,函数的极限不存在,前面已证)在单位圆

x2

y2

1处处是间断点.想

二元函数的间断性与一元函数的间断性不同在哪?32同一元函数一样,

多元函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数称为多元初等函数,在它们的定义域的内点处均连续.多元函数的基本概念33有界闭区域上连续的多元函数的性质最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元函数的基本概念34多元函数的极限的基本问题有三类(1)

研究二元函数极限的存在性.特别对于lim

f

(

x,

y),

常研究

lim若其依赖于k,则lim

f

(x,y)不存在.**欲证明极限存在,

常用定义或

定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.x0y0求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.多元函数的基本概念f

(

x,

y),x

0x0y0

y

kx

035.例求极限limsin(

x2

y)x2

y2x0y02解

limx0y0x2

y2limx0y0sin(

x

y)x

ysin(

x2

y)其中limx0y02usin

ulimu0

1,x2x2

y

y2x0

0,

0.limsin(

x2

y)x2

y2x0y0u

x2

y

x

2

y

|

x

|2

xy

2多元函数的基本概念22sin(

x

y)2

,362x

y

x

y2x

y思考：如何改进？多元函数的基本概念例求极限lim.xyxy

4y0x0

2

解将分母有理化,得

limx0y0limxy

4y0x0

2

xyxy(2

xy

4)

xyxy

4)]37

lim[(2

x0y0

438提示x2

y2研究f

(x,y)x2

y2x

x0y

y0是否把极限

lim

f

(

x,

y)

理解为:解(1)对任意的2

2

yx2

y2y0

x有lim2

1xx

2多元函数的基本概念00先求

x

x

的极限,

再求y

y

的极限;

或者先求

y

y0

的极限,

再求x

x0

的极限二次极限有2

12lim

lim

y

x2

y2

x0

y0

xx

0,(2)同理:对任意的y

0,22

1lim

lim

y

x2

y2

y0

x0

x(3)再来分析当点(x,y)沿过原点的直线

y

kx趋向于(0,0)时,有limy0x0

x2

y2x2

y2

x2

k

2

x2

limykx0

x2

k

2

x21

k

21

k

2x0y0因此lim

f

(x,y)不存在.多元函数的基本概念有x2

y2f

(

x,

y)

x2

y239x

x0y

y0由此看出:

第一,

lim

f

(

x,

y)不能理解为x

x0

y

y0y

y0

x

x0lim

lim

f

(

x,

y)

或

lim

lim

f

(

x,

y);lim

lim

f

(

x,

y)x

x0

y

y0

与lim

lim

f

(

x,

y)第二,y

y0

x

x0一般也是不相同的;第三,可证明当f(x,y)在P0(x0,y0)的一个邻域上连续时,上述三个极限均相等.多元函数的基本概念40求lim

f

(x,y)答:0|

f

(

x,

y)

||

x

|

|

y

|答:不存在.答:不存在.二次极限都不存在时,但二重极限也可能存在.二次极限与二重极限有本质的区别.xy

0xy

00

y

x

x

sin

1

y

sin

1f

(

x,

y)

x0y0lim(lim

f

(

x,

y))x0

y0lim(lim

f

(

x,

y))y0

x0注多元函数的基本概念41如何证明f(x,y)在xOy面上处处连续?证当x2

y2

0时,想

设f

(

x,

y)

y2

0

y2

0x20

y2sin

xy(

x

y)x2x2多元函数的基本概念f

(x,y)

sin

xy(x