高等几何课件

高等几何多媒体课件教师授课助手学生自修向导——高等几何多媒体课件教师授课助手学生自修向导——课程概论一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础……本课程主要介绍平面射影几何知识(教材前五章)综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何,一个学期hxjjjzkcjujzczzzzzcz课程概论一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学课程概论一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描述欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学课程概论一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何研究图形的正交变换不变性的科学(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如——平行性、两平行线段的比等等仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的透视仿射变换有限次射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比如——几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的透视变换有限次中心课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容解析法形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程以解析法为主，兼用综合法课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法三、开课目的学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法三、四、几何的发展历史线索射影几何学是一切的几何学──[英]Cayley经验几何（远古─元前600年）论证几何（欧氏几何）演绎化（元前600年─400年）积累了丰富的经验，但未上升成系统理论埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点非欧几何第Ⅴ公设研究几何基础（公理几何）对古典公理体系的完善解析几何射影几何微分几何研究方法改变拓扑学哥德堡七桥问题四、几何的发展历史线索射影几何学是一切的几何学──[英]画法几何解析几何(17世纪)仿射几何（坐标法）代数几何代数法代数曲线代数曲面代数族域上多胞形微分几何(19世纪)（分析方法）张量分析微分流形、黎曼流形、复流形大范围微分几何射影几何(19世纪)（综合法、爱尔兰根纲领代数法）特例应用四、几何的发展历史线索画法几何解析几何仿射几何（坐标法）代数几何代数法代数曲线代数非欧几何罗氏几何黎曼几何（19世纪）四、几何的发展历史线索拓扑学（几何与代数、分析相结合，多样化发展）点集拓扑代数拓扑解析拓扑分形几何微分拓扑微分流形纤维丛非欧几何罗氏几何黎曼几何（19世纪）四、几何的发展历史线索拓周学时3，一个学期，学习第一章～第六章五、课程简介

主要参考书：梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版，2008年;

朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出版社出版，2010年;罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月；朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。

周学时3，一个学期，学习第一章～第六章五、课程简介主要第一章仿射坐标与仿射变换本章地位学习射影几何的基础本章内容阐明仿射变换的概念，研究仿射变换的不变量与不变性质。学习注意认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰第一章仿射坐标与仿射变换本章地位学习射影几何的基础本章内透视仿射对应一、概念与b交于1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，设L为平面上另外一直线,a与b不平行。过a上的点作与L平行的直线即得a到b的一个一一映射，称为透视仿射对应。注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交点称为自对应点。第一章、仿射坐标与仿射变换透视仿射对应一、概念与b交于1、同一平面内两直线a到b间两条直线间的透视仿射对应LaboABCA/B/C/第一章、仿射坐标与仿射变换两条直线间的透视仿射对应LaboABCA/B/C/第一章、仿两个平面间的透视仿射对应MABCA1B1C1L第一章、仿射坐标与仿射变换两个平面间的透视仿射对应MABCA1B1C1L第一章、仿射坐2、定义1)设为共线三点P1P2P为共线三点的单比，叫基点叫分点。是有向线段的数量第一章、仿射坐标与仿射变换称2、定义1)设为共线三点P1P2P为共线三点的单比，叫2).符号(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,与解几中的定比分点反号.3）.与定比的区别§1透视仿射对应2).符号(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P二性质3保平行性2保单比不变§1透视仿射对应1保同素性和结合性二性质3保平行性2保单比不变§1透视仿射对应1保第一章、仿射坐标与仿射变换第二节、仿射对应与仿射变换一、概念设同一平面内有n条直线，如下图是的透视仿射对应经过这一串对应，得到的透视仿射对应，这个对应称为的仿射对应。记作：第一章、仿射坐标与仿射变换第二节、仿射对应与仿射变换如图所示：第一章、仿射坐标与仿射变换如图所示：第一章、仿射坐标与仿射变换如图第一章、仿射坐标与仿射变换如图第一章、仿射坐标与仿射变换二、性质为什么？第一章、仿射坐标与仿射变换（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点的单比不变；（3）保持直线的平行性不变。注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。二、性质为什么？第一章、仿射坐标与仿射变换（1）保持同素性和反之，若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）例１、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行四边形例２、两平行线段之比经仿射对应不变例３、仿射对应保持平形性不变第一章、仿射坐标与仿射变换反之，若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性第三节、仿射坐标系１、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做仿射坐标系，叫点的仿射坐标记为的仿射坐标为２、设共线三点则单比为第一章、仿射坐标与仿射变换第三节、仿射坐标系１、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换仿射变换的坐标表示已知仿射坐标：仿射变换为:T变换将：且第一章、仿射坐标与仿射变换仿射变换的坐标表示已知仿射坐标：仿射变换为:T第一平行四边形变为平行四边形，且保持单比不变，故在坐标系中的坐标为

(x,y)oo/pp/pxpypx/py/xyy/x/第一章、仿射坐标与仿射变换平行四边形变为平行四边形一方面：,另一方面：所以：第一章、仿射坐标与仿射变换一方面：,另一方面：第一章、仿射坐标与仿射变换例已知三点求仿射变换T使顺次变为.练习：1、求使直线分别变为的仿射变换。2、已知仿射变换求点的像点，及直线的像直线。第一章、仿射坐标与仿射变换例已知三点复习仿射坐标

及代数表示式

正交变换位似变换第一章、仿射坐标与仿射变换复习仿射坐标

及代数表示式

正交变换第一章、仿射坐标与仿射变相似变换压缩变换第一章、仿射坐标与仿射变换相似变换第一章、仿射坐标与仿射变换第四节、仿射性质一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量）第一章、仿射坐标与仿射变换同素性，结合性，平行性是仿射性质。单比是仿射不变量。第四节、仿射性质一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线

证明：设变换为：T:第一章、仿射坐标与仿射变换例证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线证明：设变换为二、重要结论：1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。第一章、仿射坐标与仿射变换2、共点直线仍变为共点直线3、两平行线段之比是仿射不变量。4、两三角形面积之比是仿射不变量（证明见课本）二、重要结论：1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。第一章5、两个多边形面积之比是仿射不变量

6、两封闭图形面积之比是仿射不变量例、求椭圆的面积ABCOD第一章、仿射坐标与仿射变换5、两个多边形面积之比是仿射不变量

6、两封闭图形面积之比是设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为：第一章、仿射坐标与仿射变换设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为：第一章、仿射坐标与仿射变例、设梯形一仿射变换使分别变为求作的对应点解：如图：连接交于,在延长线上取使再过作与平行的直线则与的交点即为.第一章、仿射坐标与仿射变换例、设梯形一仿射变换使ABDCSB1A1C1S1E1D1第一章、仿射坐标与仿射变换ABDCSB1A1C1S1E1D1第一章、仿射坐标与仿射变换练习：求将点分别变为

的仿射变换，并求在这个变换下半径为2的圆的仿射对应图形的面积第一章、仿射坐标与仿射变换练习：求将点§2.1射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.22因此，φ–1:l'→l是l'到l的中心射影OP投射线P'l上的点P在l'上的像Pl'

上的点P'在l上的像OV'//l,与l不相交，

V'为l'上的影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应!X=l×l'

自对应点OU//l',与l'不相交，

U为l上的影消点三个特殊点：§2.1射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射§2.1射影平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义1.23OP投射线P'

π

上的点P在π'上的像Pπ'

上的点P'在π上的像因此，是π'到π的中心射影自对应直线(不变直线)三条特殊的线：，

u为由影消点构成的影消线，

v'为由影消点构成的影消线影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应§2.1射影平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义§2.1射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.222、平面到平面的中心射影定义1.23}均不是一一对应中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一一对应？给平行线添加交点！§2.1射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影一、中心射影二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点(交点)两个相异点确定惟一一条直线(连线)}点与直线的关联关系§2.1射影平面一、中心射影二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双§2.1射影平面二、无穷远元素

约定1.1(1)在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点(理想点)，记作P∞

(2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P

约定1.1(3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l

总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.§2.1射影平面二、无穷远元素约定1.1§2.1射影平面理解约定1.1(1),(2)1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点.平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而，对于通常直线：两直线平行不平行交于惟一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.§2.1射影平面理解约定1.1(1),(2)1、对应§2.1射影平面理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行.因而，对于通常平面：两平面平行不平行交于惟一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线§2.1射影平面理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无§2.1射影平面三、射影平面

定义1.24通常点和无穷远点统称拓广点；添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿射直线)；添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).

定理1.16在拓广平面上,点与直线的关联关系成立：

(1)两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线；(2)两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.(1)拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展1、拓广直线(射影仿射直线)§2.1射影平面三、射影平面定义1.24通§2.1射影平面(2)拓广直线的拓扑模型§2.1射影平面(2)拓广直线的拓扑模型§2.1射影平面(3)射影直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。点偶A,B分离点偶C,D点偶A,B不分离点偶C,D§2.1射影平面(3)射影直线上点的分离关系欧氏直§2.1射影平面(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域(ii)两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域在射影平面上，可以证明：I，II为同一区域III，IV为同一区域2、射影平面(射影仿射平面)四、射影直线、射影平面的基本性质及模型(1)射影平面的封闭性(从两个方面理解)§2.1射影平面(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同2、射影平面(射影仿射平面)四、射影直线、射影平面的基本性质及模型射影平面的封闭性§2.1射影平面2、射影平面(射影仿射平面)四、射影直线、射影平面的基本性质§1.4Desargues透视定理一、Desargues透视定理一个古老、美丽、实用的重要定理！1、两个三点形的对应关系若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心，透视中心也称为Desargues

点.若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargues线.问题请问你是怎样画出这两个图的？§1.4Desargues透视定理一、Desargues画图过程演示画图过程演示一、Desargues透视定理1、两个三点形的对应关系2、Desargues透视定理定理(Desargues透视定理及其逆)

注1、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形.§1.4Desargues透视定理证明一、Desargues透视定理1、两个三点形的对应关系2、DDesargues定理画图过程演示Desargues定理画图过程演示一、Desargues透视定理2、Desargues透视定理注2、关于Desargues构图.左图表示了一对透视的三点形ABC,A'B'C'.

左图中共有10个点、10条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点.这10点,10线地位平等，此图称为Desargues构图.§1.4Desargues透视定理一、Desargues透视定理2、Desargues透视定理

分析：为证X,Y,Z三点共线,试在图中找出一对对应三点形,具有透视中心，且对应边的交点恰为X,Y,Z.二、应用举例1、证明共线点与共点线问题由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个字母,试

例1在欧氏平面上,设ΔABC的高线分别为AD,BE,CF.而BCEF=X,CAFD=Y,ABDE=Z.求证：X,Y,Z三点共线.所以,由三点形ABCDEF的对应即得结论.§1.4Desargues透视定理分析：为证X,Y,Z三点共线,试在图中找出二、应用举例1、证明共线点与共点线问题分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'.得到P',Q',设P'Q',PQ交于C.只要证明A,B,C三点共线.由OX,OY,OZ共点于O,只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为A,B,C即可.如图，PQR,P'Q'R'正是所需.

例2设OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为定点,其连线经过O.R为OZ上的动点,直线RA,RB分别与OX,OY交于P,Q.求证：PQ经过AB上的一个定点.§1.4Desargues透视定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题分析：因为二、应用举例1、证明共线点与共点线问题证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而它们有透视轴，即A1,B1,C1三点共线.引申：同理可证

例3已知完全四点形PQRS,其对边三点形为ABC.设A1=BC

RQ,B1=AC

RP,C1=AB

PQ.求证：A1,B1,C1三点共线.§1.4Desargues透视定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题证明：考察三二、应用举例1、证明共线点与共点线问题

证明：设动点P的另一个位置为P',依题意作图,得交点X',Y'.考察三点形AXX'与BYY',因为其对应边的交点P,C,P'共线，所以其对应顶点的连线AB,XY,X'Y'共点,此点为AB上的定点.

例4设A,B,C为不共线三点,P是过C的定直线上的动点,AP

BC=X,AC

BP=Y.求证：XY经过定点.思考：考察三点形PXY与P'X'Y'进行证明.思考：本题实际上与例2为同一个题目！§1.4Desargues透视定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题证明：设二、应用举例1、证明共线点与共点线问题

证明：考察三点形ZBC和YLM,有透视轴A,X,D.即得结论.2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图.

例5设XYZ为完全四点形ABCD的对边三点形,XZ分别交AC,BD于L,M.求证：YZ,BL,CM共点.思考：还能有其他方法吗？§1.4Desargues透视定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题证明：考二、应用举例2、不可及点的作图问题

例6.已知平面上二直线a,b,P为不在a,b上的一点.不作出a,b的交点a

b,过P求作直线c,使c经过a

b.解.作法：(1).在a,b外取异于P的一点O.过O作三直线l1,l2,l3.设l1,l2,分别交a,b于A1,A2;B1,B2.(2).连PA1,PB1分别交l3于A3,B3.(3).连A2A3,B2B3交于Q.(4).PQ=c为所求直线.证明：由作法，三点形A1A2A3,B1B2B3有透视中心O.故其对应边的交点P=A1A3

B1B3,Q=A2A3

B2B3以及a

b三点共线，即c=PQ经过a,b的交点.

注：解作图题必须包括作法、画图、证明三部分！§1.4Desargues透视定理二、应用举例2、不可及点的作图问题例6.已引入目的§2齐次坐标实现数、形结合，用解析法研究射影几何基本要求既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。尽管针对拓广平面,但是今后通用齐次性问题几乎无处不在的非零比例常数和比例关系引入目的§2齐次坐标实现数、形结合，用解析法研究射影几二、齐次点坐标定义2.1有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注对一维齐次点坐标定义的进一步理解§2齐次坐标1.一维齐次点坐标(x1,x2)(x2≠0)xx=x1/x2(x1,0)(x1≠0)二、齐次点坐标定义2.1有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注(1).都有齐次坐标反之，都对应唯一一点(0,0)不是任何点的齐次坐标.(2).与是同一点的齐次坐标.因此，直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0,x2),特别地，(0,1).无穷远点：(x1,0),特别地，(1,0).二、齐次点坐标§2齐次坐标1.一维齐次点坐标

注：定义2.1没有解决无穷远直线的问题.(1).都有齐次坐标反之，都对应唯一一点(0,0)不是任何引入可视为P为通常点无穷远点设li:Aix+Biy+Ci=0(i=1,2).记|AB|表示(1).P为通常点，设

P(x,y).则令|BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3.则从而x:y:1=x1:x2:x3.于是,可以把与(x,y,1)成比例的任何有序实数组(x1,x2,x3)作为点P的齐次坐标.2.二维齐次点坐标§2齐次坐标同样有|BC|,|CA|.引入可视为P为通常点无穷远点设li:Aix+Biy引入(2).P=P∞,l1//l2.即P∞为l1,l2方向上的无穷远点.目标：构造P∞的齐次坐标，使之仅与l1,l2的方向(斜率)有关.因l1//l2.故前述x3=0.考虑取(x1,x2,0)为P∞的齐次坐标.只要证明x1,x2仅与li的方向(斜率)有关.当li不平行于y轴时，即x1≠0.不难证明其中λ为li的斜率,即(x1,x2,0)表示方向为λ的无穷远点.特别地,若x2=0,则表示x轴上的无穷远点.当li平行于y轴时，λ=∞.可合理地取(0,x2,0)(x2≠0)为y轴上无穷远点的齐次坐标.引出定义2.二维齐次点坐标§2齐次坐标引入(2).P=P∞,l1//l2.即P∞为l1定义2.2有穷远点方向为λ=x2/x1的无穷远点非齐次齐次坐标关系注对二维齐次点坐标定义的进一步理解y轴上的无穷远点2.二维齐次点坐标§2齐次坐标(x,y)x=x1/x3,y=x2/x3(x1,x2,x3)(x3≠0)(x1,x2,0)(x1≠0)(λ=x2/x1)(0,x2,0)(x2≠0)无穷远点定义2.2有穷远点方向为λ=x2/x1的无穷远点非(1).对任意的P∈π,

都有齐次坐标(x1,x2,x3).对于通常点x3≠0；对于无穷远点x3=0,但x12+x22≠0.反之,任给(x1,x2,x3)(x12+x22+x32≠0),都对应惟一一点P∈π.(0,0,0)不是任何点的齐次坐标.(2).对任意的0≠ρ∈R,(x1,x2,x3)与(ρx1,ρx2,ρx3)是同一点的齐次坐标.因此,平面上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0,0,x3),特别地(0,0,1);无穷远点(x1,x2,0),若x1≠0,则可表为(1,λ,0),其中λ为该无穷远点的方向.特别地,x轴上的无穷远点为(1,0,0),y轴上的无穷远点为(0,1,0).2.二维齐次点坐标§2齐次坐标(1).对任意的P∈π,都有齐次坐标(x1,x2,二、二维齐次点坐标例1求下列各点的齐次坐标.(1).齐次坐标(一般形式)特定一组(2).求直线上的无穷远点.斜率代入所求无穷远点为也就是(4,3,0).上的无穷远点为§2齐次坐标二、二维齐次点坐标例1求下列各点的齐次坐标.(1).齐次坐三、直线的齐次坐标方程定理2.1在齐次坐标下，直线的方程为(1.14)反之，(1.14)表示直线.称(1.14)为直线的齐次方程.注：定理2.1不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法.§1.3齐次坐标推论过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0.特别地,x轴:x2=0,y轴:x1=0,l∞:x3=0.三、直线的齐次坐标方程定理2.1在齐次坐标下，直线的方程为改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几何学方程坐标直线族的包络四、齐次线坐标§2齐次坐标线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象调整你的思维天平！改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几四、齐次线坐标1.定义将直线l：中的系数称为l的齐次线坐标，记作注1齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质.注2y轴：x轴：过原点的直线：

思考：注2中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？注3由定义,方程系数坐标实现互化,故ψ由φ诱导.§2齐次坐标四、齐次线坐标1.定义将直线l：中的系数称为l的齐次线坐标定理2.3在齐次线坐标下，点x在直线u上2.点的齐次方程§2齐次坐标定义2.5在齐次线坐标下，若方程f(u1,u2,u3)=0能且仅能被过点P的直线的齐次坐标所满足，则称f=0为点P的齐次方程.定理2.3在齐次线坐标下，点x在直线u上22.点的齐次方程§2齐次坐标四、齐次线坐标注对(1.4)的新理解.(1.4)变(流动)不变(常数)直线u的方程几何意义动点x在定直线u上；定直线u为动点x的轨迹点几何观点线几何观点不变(常数)变(流动)点x的方程动直线u过定点x；定点x为动直线u的包络因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系.点、直线统称为几何元素.给定齐次方程2.点的齐次方程§2齐次坐标四、齐次线坐标注对(1.四、齐次线坐标2.点的齐次方程例2求下列各点的齐次方程.(1).x轴上的无穷远点(2).y轴上的无穷远点(3).原点(4).点(1,2,2)(5).方向为的无穷远点(6).无穷远直线上的点

思考：本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？§2齐次坐标(3,–1,0)四、齐次线坐标2.点的齐次方程例2求下列各点的齐次方程.§3对偶原理一、平面对偶原则重要原理！贯穿全书！1.基本概念(1).对偶元素点直线(2).对偶运算过一点作一直线在一直线上取一点(4).对偶图形在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形Σ，若对Σ作对偶变换，则得到另一个图形Σ'.称Σ、Σ'为一对对偶图形.图形Σ图形Σ'作对偶变换互为对偶图形(3).对偶变换互换对偶元素地位、作对偶运算§3对偶原理一、平面对偶原则重要原理！贯穿全书一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例(1)点(1)'直线(2)点列(共线点集)(2)'线束(共点线集)(3)点场(共面点集)(3)'线场(共面线集)(4)简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线构成的图形.(4)'简单n线形：n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次相交的交点构成的图形.顶点：n个；边：n条.边：n条；顶点：n个.下面分别考察n=3和n=4的情形§3对偶原理一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例(1)点(1)'直简单n点(线)形：n=3简单三点形简单三线形简单n点(线)形：n=4简单四点形简单四线形显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关§3对偶原理简单n点(线)形：n=3简单三点形简单三线形简单n点(线)形(5)完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.(5)'完全n线形：n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.顶点：n个；边：n条；完全n点(线)形：n=3完全三点形ABC完全三线形abc一对自对偶图形.将不加区分,简称三点形或三线形.§3对偶原理(5)完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构完全n点(线)形：n=4完全四点形ABCD完全四线形abcd射影几何中最重要的一对图形§3对偶原理完全n点(线)形：n=4完全四点形ABCD完全四线形abcd完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点4个边6条对边(没有公共顶点的边)3组对边点(对边的交点)3个对边三点形

XYZ边4条顶点6个对顶(不在同一边上的顶点)3组对顶线(对顶的连线)3条对顶三线形

xyz请课后画图，熟悉图形及名称.今后将专门研究其重要性质完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点4个边6条对边(没有例

1作下列图形的对偶图形点2个直线5条关联关系(1)P,Q在l上；(2)a,b,l共点于P;c,d,l共点于Q直线2条点5个关联关系(1)'

p,q过点L；(2)'

A,B,L共线于p;C,D,L共线于q一、平面对偶原则2、对偶图形举例1、基本概念3、作一图形的对偶图形翻译§3对偶原理例1作下列图形的对偶图形点2个直线5条关联关系(1)P,一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作一图形的对偶图形4.平面对偶原则(1)射影命题在射影平面上，若命题P仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称P为一个射影命题.(2)对偶命题射影命题P射影命题P*作对偶变换互为对偶命题(3)平面对偶原则定理1.26(平面对偶原则)在射影平面上，射影命题P成立射影命题P*成立§3对偶原理一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作一图形的对偶图形4.平面对偶原则例2对偶命题举例(1)P过相异二点有且仅有一条直线.(1)'P*两相异直线有且仅有一个交点.(2)P如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线.(2)'P*如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点.注1只有射影命题才有对偶命题.注2对偶原则是一个双射F：点几何线几何因此,对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化,可以起到事半功倍的作用.§3对偶原理一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作二、有关齐次坐标的基本结论(1).两点a,b重合(1)'.两直线a,b重合§3

对偶原理(2).相异两点a,b连线方程为(2)'.相异两直线a,b交点方程为坐标为坐标为二、有关齐次坐标的基本结论(1).两点a,b重合(1)(3).相异三点a,b,c共线(3)'.相异三直线a,b,c共点(4).点c在相异两点a,b连线上点c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零).§3对偶原理(4)'.直线c经过相异两直线a,b交点直线c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零).二、有关齐次坐标的基本结论

注：若三点(直线)a,b,c不共线(点),则上述矩阵满秩.(3).相异三点a,b,c共线(3)'.相异三直线a,(5).相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr≠0)使得即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得§3对偶原理二、有关齐次坐标的基本结论(5)'.相异三直线a,b,c共点存在p,q,r(pqr≠0)使得即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得a+b+c=0,或c=a+b.a+b+c=0,或c=a+b.(5).相异三点a,b,c共线存在p,q,r(p例3已知共线三点a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求,使得解令其中ρ为非零比例常数.可解得=3.于是，可适当选取a,b,c的齐次坐标，使得c=a+3b.§3对偶原理二、有关齐次坐标的基本结论例3已知共线三点a=(3,1,1),b=(7,5,1)第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—

最根本的射影不变量

定理1.5.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1

≠

P2，其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比.定义为(2.1)称P1,P2为基点偶，P3,P4为分点偶.

定理1.6.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4).则(2.2)§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—最根

证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4.设a+λ1b=a',a+λ2b=b'.从中解出a,b,得于是，P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即由交比的定义，有注：定理1.6可以作为交比的一般定义.(2.2)§3.1交比证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质

定理1.1-1.3设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：

推论由定理1.1-1.3，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：此即P.46,式(1.7).不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质一、点列中四点的交比1、定义2、性质(2).交比的初等几何意义如果限于通常平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即(2.4)§3.1交比

注：此时,若P4=P,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为§1.1所定义的共线三点的简单比.一、点列中四点的交比1、定义2、性质(2).交比的初等几何一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况

定理2.3共线四点的交比值出现0,1,∞三者之一这四点中有某二点相同.

证明可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4

=P1进行验证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,∞.4、调和比定义若(P1P2,P3P4)=–1,则称推论1若(P1P2,P3P4)=–1,则此四点互异.推论2相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：§3.1交比点组P1,P2,P3,P4为调和点组点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况定一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,利用初等几何意义，我们有此时,若P4=P,则有这表示P3为P1P2的中点，从而有推论3.设P1,P2,P为共线的通常点.P∞为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§3.1交比

例1.设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=-1.由题设已知四点相异一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比

例2已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1

P2,Q1

Q2).

解第一步.验证四点共线.第二步.以P1,P2为基点,参数表示Q1,Q2.令i=1,2.对于i=1,利用P.34例1.3,有同理,对于i=2,可求得于是，§3.1交比此步不可省！若不共线则交比无定义！一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标

定理1.7设并已知和其中三点的坐标.则第四点的坐标可唯一确定.

例3已知(P1P2,P3P4)=2,P1,P2,P4的坐标依次为(1,1,1),(1,–1,1),(1,0,1).求P3的坐标.

解：设则显然由可得从而P3的坐标为(3,–1,3).§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—

最根本的射影不变量

定理1.5.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1

≠

P2，其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比.定义为(2.1)称P1,P2为基点偶，P3,P4为分点偶.

定理1.6.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4).则(2.2)§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—最根

证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4.设a+λ1b=a',a+λ2b=b'.从中解出a,b,得于是，P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即由交比的定义，有注：定理1.6可以作为交比的一般定义.(2.2)§3.1交比证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质

定理1.1-1.3设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：

推论由定理1.1-1.3，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：此即P.46,式(1.7).不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质一、点列中四点的交比1、定义2、性质(2).交比的初等几何意义如果限于通常平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即(2.4)§3.1交比

注：此时,若P4=P,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为§1.1所定义的共线三点的简单比.一、点列中四点的交比1、定义2、性质(2).交比的初等几何一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况

定理2.3共线四点的交比值出现0,1,∞三者之一这四点中有某二点相同.

证明可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4

=P1进行验证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,∞.4、调和比定义若(P1P2,P3P4)=–1,则称推论1若(P1P2,P3P4)=–1,则此四点互异.推论2相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：§3.1交比点组P1,P2,P3,P4为调和点组点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况定一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,利用初等几何意义，我们有此时,若P4=P,则有这表示P3为P1P2的中点，从而有推论3.设P1,P2,P为共线的通常点.P∞为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§3.1交比

例1.设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=-1.由题设已知四点相异一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比

例2已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1

P2,Q1

Q2).

解第一步.验证四点共线.第二步.以P1,P2为基点,参数表示Q1,Q2.令i=1,2.对于i=1,利用P.34例1.3,有同理,对于i=2,可求得于是，§3.1交比此步不可省！若不共线则交比无定义！一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标

定理1.7设并已知和其中三点的坐标.则第四点的坐标可唯一确定.

例3已知(P1P2,P3P4)=2,P1,P2,P4的坐标依次为(1,1,1),(1,–1,1),(1,0,1).求P3的坐标.

解：设则显然由可得从而P3的坐标为(3,–1,3).§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.第三章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—

最根本的射影不变量

定理1.5.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1

≠

P2，其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比.定义为(2.1)称P1,P2为基点偶，P3,P4为分点偶.

定理1.6.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4).则(2.2)§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—最根

证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4.设a+λ1b=a',a+λ2b=b'.从中解出a,b,得于是，P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即由交比的定义，有注：定理1.6可以作为交比的一般定义.(2.2)§3.1交比证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质

定理1.1-1.3设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：

推论由定理1.1-1.3，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：此即P.46,式(1.7).不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质一、点列中四点的交比1、定义2、性质(2).交比的初等几何意义如果限于通常平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即(2.4)§3.1交比

注：此时,若P4=P,则可合理地规定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为§1.1所定义的共线三点的简单比.一、点列中四点的交比1、定义2、性质(2).交比的初等几何一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况

定理2.3共线四点的交比值出现0,1,∞三者之一这四点中有某二点相同.

证明可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4

=P1进行验证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,∞.4、调和比定义若(P1P2,P3P4)=–1,则称推论1若(P1P2,P3P4)=–1,则此四点互异.推论2相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：§3.1交比点组P1,P2,P3,P4为调和点组点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况定一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,利用初等几何意义，我们有此时,若P4=P,则有这表示P3为P1P2的中点，从而有推论3.设P1,P2,P为共线的通常点.P∞为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§3.1交比

例1.设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=-1.由题设已知四点相异一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比

例2已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1

P2,Q1

Q2).

解第一步.验证四点共线.第二步.以P1,P2为基点,参数表示Q1,Q2.令i=1,2.对于i=1,利用P.34例1.3,有同理,对于i=2,可求得于是，§3.1交比此步不可省！若不共线则交比无定义！一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标

定理1.7设并已知和其中三点的坐标.则第四点的坐标可唯一确定.

例3已知(P1P2,P3P4)=2,P1,P2,P4的坐标依次为(1,1,1),(1,–1,1),(1,0,1).求P3的坐标.

解：设则显然由可得从而P3的坐标为(3,–1,3).§3.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标

例4已知P1,P2分别是x轴、y轴上的无穷远点,P3是斜率为1的方向上的无穷远点,且(P1P2,P3P4)=r.求P4的坐标.

解：由题设知P1,P2,P3的坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0).设则显然由可得从而P4的坐标为(r,1,0).§3.1交比注：若要求P1,或P2的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,使得交换后第1,2位置为已知点,再计算.一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示设a,b为线束S(p)中取定的相异二直线.则对于任意的p∈S(p),其坐标可表示为称a,b为基线,为参数.注1这里a,b,p均表示直线的齐次坐标.参数的几何意义？不易说清楚！容易看出

=0↔a;=1↔a+b;=∞↔b注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比.§3.1交比一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示

定理1.11设p1,p2,p3,p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐次坐标依次为a,b,a+1b,a+2b.则记(p1p2,p