解三角形2022最新版含答案

第一章解三角形一、选择题1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()．A．10km B．10km C．10km D．10km2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是()．A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于()．A．15° B．45° C．60° D．120°4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，则sinA∶sinB∶sinC＝()．A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶25．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()．A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形6．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，则∠A为()．A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°7．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实根，则A为()．A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为()．A． B． C． D．39．在△ABC中，＝c2，sinA·sinB＝，则△ABC一定是()．A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是()．A．①只有一解，②也只有一解． B．①有两解，②也有两解．C．①有两解，②只有一解． D．①只有一解，②有两解．二、填空题11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是 ．12．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，则此三角形是__________三角形．13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．14．△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6．若△ABC的面积为，则△ABC的周长为________________．(第18题)16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为(第18题)三、解答题17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝b，解此三角形．18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角．19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC＝(2a－c)cosB，(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝．参考答案一、选择题1．D解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋202－2×10×20cos120°＝700．AC＝10．2．B解析：由＝＝及正弦定理，得＝＝，由2倍角的正弦公式得＝＝，∠A＝∠B＝∠C．3．C解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab．∴cosC＝＝．故C＝60°．4．D解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶2．5．D解析：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2不是钝角三角形，由，得，那么，A2＋B2＋C2＝－(A1＋B1＋C1)＝，与A2＋B2＋C2＝π矛盾．所以△A2B2C2是钝角三角形．6．C解析：由＝，得sinA＝＝＝，而b＜a，∴有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°．7．A解析：由方程可得(sinA－sinC)x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0．∵方程有两个不等的实根，∴4sin2B－4(sin2A－sin2C)＞0．由正弦定理＝＝，代入不等式中得b2－a2＋c2＞0，再由余弦定理，有2accosA＝b2＋c2－a2＞0．∴0＜∠A＜90°．8．B解析：由余弦定理得cosA＝，从而sinA＝，则AC边上的高BD＝．9．A解析：由＝c2a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2a3＋b3－c2(a＋b)＝0(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0．∵a＋b＞0，∴a2＋b2－c2－ab＝0．(1)由余弦定理(1)式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcosC)－ab＝0，得cosC＝，∠C＝60°．由正弦定理＝＝，得sinA＝，sinB＝，∴sinA·sinB＝＝，∴＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．△ABC是等边三角形．10．D解析：由正弦定理得sinA＝，①中sinA＝1，②中sinA＝．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角．二、填空题11．60°或120°．解析：由正弦定理＝计算可得sinA＝，∠A＝60°或120°．12．等腰．解析：由已知得2sinBsinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，∴cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C，∴此三角形是等腰三角形．13．或．解：∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°．又c2＝a2＋b2－2abcosC，当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝；当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝．∴c的长度为或．14．10＋5．解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，然后运用函数思想加以处理．∵2x2－3x－2＝0，∴x1＝2，x2＝－．又cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，∴cosC＝－．由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－)＝(a＋b)2－ab，则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，当a＝5时，c最小，且c＝＝5，此时a＋b＋c＝5＋5＋5＝10＋5，∴△ABC周长的最小值为10＋5．15．13．解析：由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得cosB＝＝＝，∴sinB＝＝．由面积公式S△ABC＝acsinB，得·(2k)·(6k)·＝，∴k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13．本题也可由三角形面积(海伦公式)得＝，即k2＝，∴k＝1．∴a＋b＋c＝13k＝13．(第18题)16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．由正弦定理得＝＝＝2cosC，即cosC＝，由余弦定理cosC＝＝．∵a＋c＝2b，∴cosC＝＝，∴＝．整理得2a2－5ac＋3c2＝0．解得a＝c或a＝c．∵∠A＝2∠C，∴a＝c不成立，a＝c∴b＝＝＝， ∴a∶b∶c＝c∶∶c＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4．(第18题)三、解答题17．b＝4，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝4，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°．解：由正弦定理知＝＝sinB＝，b＝4．∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°c＝8或c＝4．18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD＝，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角．解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，∠ACB＝45°－15°＝30°．根据正弦定理有＝，∴BC＝．又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋，根据正弦定理有＝．解得cos＝－1，∴≈°．∴山对于地平面的倾斜角约为°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝，B＝．(Ⅱ)∵b2＝7＝a2＋c2－2accosB，∴7＝a2＋c2－ac，又(a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3，∴S△ABC＝ac