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测量不确定度评定与表示中常见概率分布包含因子k值的计算测量不确定度评定与表示中常见概率分布包含因子k值的计算测量不确定度评定与表示中常见概率分布包含因子k值的计算资料仅供参考文件编号：2022年4月测量不确定度评定与表示中常见概率分布包含因子k值的计算版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：测量不确定度评定与表示中常见概率分布包含因子k值的计算1引言在测量不确定度评定与表示中，规定标准不确定度用标准偏差来表示。由于实际上只能进行有限次测量，因此只能用样本参数作为总体参数的估计值。即只能用有限次测量的实验标准差s作为无限次测量的标准偏差σ的估计值，这一估计必然会引入误差。当测量次数越少时，实验标准差s的可靠性就越差。为得到对应于同样置信概率的置信区间半宽，即扩展不确定度，必须乘以一个包含因子k值。包含因子k值主要取决于概率分布，常常因情况的不同而估计不同的概率分布。若输入量x的数学期望为µ，a为x值分布区间的半宽。当x在区间[µ-a,µ+a]内出现的概率小于100%，包含因子k的数值与区间[µ-a,µ+a]所包含的面积占概率分布的总面积的大小有关；当x在区间[µ-a,µ+a]内出现的概率为100%，即x之值全部落于此区间内而在区间外不出现。此时包含因子k值与输入量x的分布有关。因此，在分布确定后，若已知分布的概率密度函数，则可以通过计算直接得到其方差和标准偏差，从而得到对应于该分布的包含因子k值。2常见概率分布包含因子k值的计算正态（高斯）分布图1正态分布正态分布的概率密度函数p(x)为：对上式作变换u=，得dx=σdu，故有=其中，关于一般正态分布，以下几个概率是经常用到的。P(μσ≤x＜μ+σ)=P(μ-σ≤x＜μ+σ)=P(μσ≤x＜μ+σ)=P(μσ≤x＜μ+σ)=P(μ-2σ≤x＜μ+2σ)=P(μσ≤x＜μ+σ)=P(μ-3σ≤x＜μ+3σ)=得到正态分布情况下概率与包含因子k值的关系如表1所示。表1正态分布情况下概率与包含因子k值的关系概率p50%%90%95%%99%%包含因子k123矩形（均匀）分布图2矩形（均匀）分布对于数学期望为µ，分布区间半宽为a的矩形分布的概率密度函数p(x)为：y=p(x)=其方差为于是k=三角分布图3三角分布对于分布区间半宽为a的三角分布，其概率密度函数p(x)为：y=p(x)=其方差为于是k=梯形分布对于梯形分布，若其上底和下底之比为β=，b和a分别为上底和下底的半宽。若设梯形的高为h，则由于梯形的面积S应为1，即S=h×（a+b）=1故梯形的高h为h==图4梯形分布于是其概率密度函数可以表示为：y=p(x)=其方差为====于是k=反正弦（U形）分布图5反正弦（U形）分布对于数学期望为µ，分布区间半宽为a的反正弦分布的概率密度函数p(x)为：y=p(x)=其方差为于

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