等差数列等差数列的性质及应用NO课下检测

一、选择题1．已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can(c为常数，且c≠0)是()A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．非等差数列D．以上都不对解析：∵can＋1－can＝c(an＋1－an)＝c·d＝常数．∴{can}是公差为cd的等差数列．答案：B2．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为()A．24 B．22C．20 D．－8解析：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120.即a8＝24.∴2a9－a10＝a8＝24.答案：A3．(2022·临沂高二检测)等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根 B．有两个相等实根C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根解析：由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解．答案：A4．(2022·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升 \f(67,66)升\f(47,44)升 \f(37,33)升解析：设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝eq\f(67,66)，故第5节的容积为eq\f(67,66)升．答案：B二、填空题5．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则eq\f(d1,d2)的值为________．解析：n－m＝3d1，d1＝eq\f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f(1,4)(n－m)．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析：∵a6＋a2＝a3＋a5，∴a6＝a3＋a5－a2＝7＋a2＋6－a2＝13.答案：137．已知数列{an}满足aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.解析：由已知aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝4.∴{aeq\o\al(2,n)}是等差数列，且首项aeq\o\al(2,1)＝1，公差d＝4.∴aeq\o\al(2,n)＝1＋(n－1)·4＝4n－3.又an＞0，∴an＝eq\r(4n－3).答案：eq\r(4n－3)8．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，c2＝________.解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.答案：19三、解答题9．某市2022年底绿地面积为560平方千米，预计每年都比上一年新增绿地面积4平方千米，问到2022年底该市绿地面积为多少平方千米？解：将该市从2022年起每年年底的绿地面积依次排成数列，记为{an}，由题意可知{an}为等差数列，其中a1＝560，d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n＋556.2022年底的绿地面积在数列{an}中是第11项，所以a11＝556＋4×11＝600(平方千米)．答：到2022年底该市绿地面积为600平方千米．10．已知递增的等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝15，a2a3a4＝105，求a1.解：∵{an}是等差数列，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝15.∴a3＝5.∴a2＋a4＝10.∴a2a3a4＝5a2a4＝105.即a2a4＝21.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a4＝21，,a2＋a4＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,a4＝7，))或eq\b\lc\{\rc\