2022学年高三数学试卷专项练习08：平面解析几何

一、单选题（2021•山东枣庄市.高三二模）已知点（1,1）在抛物线C：y2=2px（p>0）上，则C的焦点到其准线的TOC\o"1-5"\h\z距离为（ ）A.1 B.— C.1 D.2\o"CurrentDocument"4 2【答案】B【解析】由点（1/）在抛物线上，求得参数P,焦点到其准线的距离即为P.【详解】由点（1,1）在抛物线上，易知1=2P,P=：,故焦点到其准线的距离为1.故选：B.2（2021.全国高三专题练习（理））圆x2+y2+2x—8=0截直线y=kx+1（keR）所得的最短弦长为（ ）A.2<7 B.2<2 C.4<3 D.2【答案】A【解析】直线y=kx+1过定点（01），（0,1）在圆x2+y2+2x—8=0内，利用圆的几何性质，结合勾股定理求得最短弦长.【详解】直线y=kx+1过定点（0,1）圆x2+y2+2x—8=0可化为（x+1、+y2=32故圆心为（—1,0），半径为r=3.（0+1）2+12—2<32，所以点（0,1）在圆x2+y2+2x—8=0内，（0,1）和（—1,0）的距离为、：（—1»+（—1»—<2根据圆的几何性质可知，圆x2+y2+2x—8—0截直线y―kx+1（keR）所得的最短弦长为2\：'32—（五）―2j7.3.（3.（2021.山东青岛市•高三一模）已知双曲线”a2x2 n—=1的一条渐近线的倾斜角为不，则该双曲线的离心b2 3率为（）1A——21A——2C．2J3

丁D．2【答案】C【解析】根据一条渐近线的倾斜角为§，由tan-=b求得a'再由e=a=]i+-求解.【详解】y2 x2 n因为双曲线—--=1的一条渐近线的倾斜角为，a2 b2 3所以tan3=ar3=/鼻c所以e=—a故选：C5-1 （2021.山东淄博市•高三一模）实轴长与焦距之比为黄金数上5—1的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线2TOC\o"1-5"\h\z——匕=1（a>0,b>0）是黄金双曲线，则^—等于（ ）a2 b2 b2A.正1 B.上三 C.壬2 D.”生5\o"CurrentDocument"2 2 2 4【答案】A【解析】根据题意知2a=上5—1，平方后利用c2=a2+b2化简即可求出a.2c2 b2【详解】2a 5——1由题意、—— 2c 2

所以2q2=(3-6C2=(3-V5)(Q2+Z?2),日Q275-1解得一二——，b?2故选：ATOC\o"1-5"\h\z（2021・河北张家口市•高三一模）已知椭圆。：三十步=1（。＞。＞0）的左焦点为凡上顶点为A,右顶

〃2 /?2点为B,若ZOAF的平分线分别交x轴于点DE,且\AD\2+\AE\2-\DE\2=^2\AD\-\AE\,则椭圆。的离心率为（ ）A" B/一1 C逐T DQ\o"CurrentDocument"2 2 2 2【答案】C【解析】由余弦定理求出/D4E,即可得到/A4b，即尸，从而荏•标二0,即可得到方程，解得即可;【详解】解：如下图所示:ad|2+|ae|2-|de|2ad|2+|ae|2-|de|22\AD[\AE，所以ND4E=45°.因为分别为ZOAB,ZOAF的平分线，所以zBAF=2ZDAE=90。，所以AB1AF.由题意可知，点F(-c,0),A(0,b),B(a,0)，则AF二(_g_b),AB=(〃，-b)由AF•AB=-ac+b2=0，可得a2-c2-ac-0，即c2+ac-a2-0，在等式c2+ac-a2-0的两边同时除以a2，可得e2+e-1-0，解得e-上5二1或e--5-1.因为0<e<1,所以e-匕5二1TOC\o"1-5"\h\z2 2 2故选：C.x2V26.（2021•广东湛江市•高三一模）已知椭圆a-+b-=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆C于A,B两点，若BA,吃=0,且|BF21,\ABI,\AF21成等差数列，则C的离心率为（ ）A.年 B.旨 C,弓 D.2【答案】A【解析】由向量知识得出ZABF?-90。，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出a-J2c，最后由离心率公式得出答案.【详解】因为BA•叫，所以ZABF2-90。由IBF2\,\ABI,IAF2\成等差数列，设忸叮-x,\ABI-x+d,|Aq|=x+2d在RtaABF2中，x2+(x+d)2=(x+2d)2，解得x-3d即|Bq|-3d,\AB\=4d,|A?|=5d由椭圆的定义得△ABF2的周长为|B<|+|B^21+1A<|+1Aq-2a+2a=4a即3d+4d+5d=4a,a-3d在直角三角形BFF12中在直角三角形BFF12中，BFj-2a-BFFF12=2c，则a2+a2-(2c)2，故a=-<2cs（2021•广东湛江市•高三一模）已知抛物线C：x2=-2py（p>0）的焦点为F,点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且IMFI=6,则p=（ ）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可.【详解】\2p-y0=6x2设MS,y?，则ip0乙，解得p=400一一y=6[2o故选：A（2021•山东济宁市.高三一模）已知F、F是双曲线E：x2-y2=1（a>0,b>0）的左、右焦点，点M

1 2 a2b2是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F作/F1MF2角平分线的垂线，垂足为N,O是坐标原点.若|ON|=W，则双曲线E的渐近线方程为（ ）4A.y=±-^3-x B.y=±2^-x C.y=±J2x D.y=±*：3x【答案】D【解析】先根据题意结合图象判断N是FQ的中点，|MQ|=|MF1|,再利用中位线定理、双曲线的定义和题中条件求得c=2a，即求得-=v3，即得渐近线方程.a【详解】依题意，延长F1M交MF2于q,由mn是/F1MF2的角平分线，F1Q±MN可知，N是FQ的中点，|MQ|二峭.又o是F1F2的中点，故on是^FQF2的中位线，TOC\o"1-5"\h\z所以ON|=-O^F卜-(|MF|—|MQ|)=-(|MF|—|MF|)=-x2a=a21 22 2 2 2i2FFI1八 bb Cc2—a2v’4a2一a2 ：-故a=r=x2c，即c=2a，故—=2 =- =<3\o"CurrentDocument"4 4 aa a所以双曲线e的渐近线方程为y=±%汰x.故选：D.9(2021・广东肇庆市•高三二模)已知F1,F2分别为双曲线C：a2一bL=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，在双曲线C存在点M，使得2|OM|=|FF2|，设"MF2的面积为S.若TOC\o"1-5"\h\z16S=(|MF1\+|MFj)，则该双曲线的离心率为( )A.些 B.亘 C3 D.\.32 2 2【答案】A【解析】由2|OM|=|FF2|，得ZFMF?*，再利用勾股定理和结合已知条件及双曲线的定义可得1 24a2+2a2=4c2，从而可求出双曲线的离心率【详解】兀由2|OM|=|「Fj,得ZF1MF2=-.设|MF|=m,|MFI=n.由16S由16S=«MF1\+|MF21)2得8mn=(m+n>=(m—n>+4mn-4a2+4mn即mn-a2.即(m—n>+2mn-4c2所以4a2+2a2=4c2，所以e----a2故选：A.（2021.山东青岛市•高三一模）在抛物线％2-1y第一象限内一点（a,y）处的切线与无轴交点横坐标2 nn记为an+1，其中neN*，已知a2-32,Sn为｛an｝的前n项和，若m>Sn恒成立，则m的最小值为（ ）A.16 B.32 C.64 D.128【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到a与a的关系，从而判断出｛a｝是以1为公比的等比数歹U,n+1n n 2再根据等比数列前n项和公式求出S，得到S的范围，即可求出.【详解】所以切线：y—2a;=4an(x—an)a-32，则a=64丰0,有M=12 1 a2・・・｛a｝・・・｛a｝是以1为公比的等比数列,Sn2n64(2J(1)-128—128-(2J,1<264<Sn<128.Jm>Sn恒成立om>128，即m的最小值为128.故选：D.（2021.河南高三月考（理））已知抛物线c：y2-8X的焦点为F,P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3,则直线PF的斜率为（）A.6 B.2<2 C.2 D.4【答案】B【解析】由PF的中点到y轴的距离为3可求得xP=4，得出点p坐标，即可求出斜率.【详解】,■PF的中点到y轴的距离为3,x+OF\ x+2c /J L=3，即-P—=3，解得x=4,2 2 P代入抛物线方程可得P（4,4<2）因为F点的坐标为（2,0），所以直线PF的斜率为4.—0=2<24—2故选：B.（2021・浙江高一单元测试）已知直角三角形ABC中，ZA=90。，AB=2,AC=4,点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则PB•PC的最大值为（ ）【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系，根据PBPC=|PO|2-5可求其最大值.【详解】以A为原点建系，B（0,2）,C（4,。）

,,・••圆A:x2+y2=16，设BC中点为D(2,1)J二|PD|2-5PBPC=PD2-4BC2=|PD|2-4二|PD|2-5PD=|ADmaxPD=|ADmax+r=<5+4==9=一・.(PB.PC)5555 max81厂56 5=—故选：D.(2021.山东烟台市•高三一模)已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，直线/与C交于A,B两点，若AB中点的横坐标为4,则AF+BF=( )A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】利用抛物线焦半径的性质，结合中点的横坐标，转化求解即可.【详解】解：抛物线C:y2=8x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A,B两点，若AB的中点的横坐标为4,设A(x1 , y1), B(x2 , y2), x1 + x2 =8,贝IAFI+IBF1=x1+x2+p=8+4=12.故选：C

（2021.江苏常州市•高三一模）过抛物线y2=2x上一点P作圆C：x2+（y—6»=1的切线，切点为AB,TOC\o"1-5"\h\z则当四边形PACB的面积最小时，P点的坐标是（ ）_ （3/D.A.（1,/ B. -J3 CD.V2 7【答案】C【解析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心。的距离，对函数求导得出最小值，即四边形PACB的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标.【详解】（11一（11一由题意可设P-a2

V2a，当四边形PACB的面积最小时，点P到圆心。（0,6）的距离最小，即PC2=f—a2+（6—a）=—a4+a2-12a+36，可令f（a）==a4+a2-12a+36，贝ijV2） 4 4ff（a）=a3+2a-12=（a-2）（a2+2a+6）,贝ijfa=0时，a=2,此时取得最小值，四边形PACB的面积为2・1・1%PC2-1=q22+（6-2»-1=V19，所以P（2,2）故选：C（2021.山东临沂市•高三其他模拟）已知双曲线c:x2-y2=1（b>0）的离心率为e,若e£2 b2C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为1,3垃）（2C的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为1,3垃）（2+8）D.【答案】C【解析】由离心率求出b£由离心率求出b£（2<2,3<2），再根据焦点到准线的距离，即可求出结果.【详解】因为e二\：1+11=《1+b2£（；5,J10），所以b£（2<,2,3因为e二bcya2+b2而C的焦点（土c,0）到渐近线bx±bcya2+b2所以距离的取值范围为故选：C(202L辽宁高三二模)已知点F,F分别是双曲线C：x2—二=I(b>0)的左，右焦点，O为坐标1 2 b2原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|勺叮二2|OP|,tan/PF2F1>5，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.J平］ BJ1,W］C.(1，3 D.(1事］【答案】B【解析】人 PF根据IF1F2|=2IOPI，得到△PF1F2为直角三角形，再由tan/PF2Fl=k>5，结合双曲线定义得到2|pF2l<2，然后代入伊呼+|pF2i2=|勺fJ2求解.【详解】因为If勺=2op所以op=。，故^pFF2为直角三角形，且pFi±pF2,・.P12+pFj2=F；F2I2.由双曲线定义可得1Pf|-|pF2|=2a.•tan/PFF=^F>5, 2i|PF2| ，•・PF；|>5|PF2|,.・PF；=PF2+2a,•,」PF>，又(2a+|PF2|)+|PF212=4c2,整理得(|PF2|十a1二2c2一a2.

所以(PF2I+a9a2

~Tc9a2

~T所以e2=—<-a2 8又e>1所以双曲线C的离心率的取值范围为，苧].故选：B于抛物线对称轴的光线经过A（5,2），被抛物线反射后又射到抛物线C上的。点，则。点的坐标为（ ）A．B．C．f1、16D．（2021.于抛物线对称轴的光线经过A（5,2），被抛物线反射后又射到抛物线C上的。点，则。点的坐标为（ ）A．B．C．f1、16D．【答案】D【解析】利用斜率相等列式可解得结果.求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质【详解】设从点A（5,2）沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点P，易知yP=2，将（xP,y/利用斜率相等列式可解得结果.抛物线方程得xP=4，即P（4,2）f1f1设焦点为F，则F[4,0设Q（y^,yQ），由p，f，Q三点共线，有有1有4——4—Q—1，化简得8y2-15y—2=0y2-- QQQ4

1解得%二一8或%故选：D（2021・辽宁高三二模（理））双曲线C:02--y=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为〈、F2,P是双曲3线C上一点，PF±x轴，tan/PFF=7，则双曲线的渐近线方程为（）2 12 4A.x±2y=0 B.2x土y=0C. 3x±y=0 D.x±\3y=0【答案】C【解析】b2由题设可得Pb2由题设可得P(c,±—)，由tan/PF1F2=

a 12PF Q-2FF12结合已知，得到齐次方程求a、b的数量关系，写出渐近线方程即可.【详解】由题设,Fc，0），由PF2工x轴，b2_32b2_32ac4tanZPFF=——2-12F1F2・•・2c2—3ac—2a2=0，得(2c+a)(c—2a)=0，又c>a>0，得c=2a・•.b=v3a，又渐近线方程为y=±bx，即y=±,；3x等价于％百x±y=0.a故选：C.（2021・辽宁高三其他模拟）已知双曲线C：x2—号=I（a>0,b>0）的右顶点为A，右焦点为F，P，a2b2Q是双曲线C的一条渐近线上两个不同点，满足PA，QF都垂直于x轴，过P作PH工QF，垂足为H，若四边形APHF的面积是三角形AOP面积的4倍，则双曲线C的离心率e=（ ）A.<3 B.2 C.3 D.2<3【答案】C【解析】依题意得四边形APHF的面积为b（c—a）,三角形AOP面积为1ab,则b（c—a）=2ab,即可得离心率.【详解】设渐近线OP:y=bx，则AP=b，又因为AF=c—a，故四边形APHF的面积为b（c—a）a三角形AOP面积为1ab，则有b（c—a）=2ab，即c=3a，离心率e=3故选：C（2021・湖南永州市•高三二模）抛物线C：y2=4x的焦点为F,P是其上一动点，点M（L1）,直线l与抛物线C相交于A,B两点，下列结论正确的是（ ）A.PM|+|PF|的最小值是2B.动点P到点H（3,0）的距离最小值为3C.存在直线l，使得A,B两点关于直线x+y-3=0对称D.与抛物线C分别相切于AB两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点（2,0）,则点N在抛物线C的准线上【答案】A【解析】A中利用三点共线判断线段和最小值；B中利用两点距离公式转为二次函数最值处理；C中设AB直线联立方程组结合韦达定理，得AB中点坐标代入x+y-3=0求解即可；D中分别求得AN,BN方程，进而得AB直线方程，将点（2,0）代入求解判断即可.【详解】a选项：对于抛物线C：y2=4x，当x=1时y=±2，故点M（11）在内部又因为|pf|等于P到准线的距离，故作M到准线的垂线为MT,T为垂足，

当P与M,T三点共线时，|PM|十卢尸|取得最小值为|MT|=2，故A正确；B选项：设P(X,y),J2=4x则PH2=(%—3>+y2=(x-1)2+8>80 0 0 0 0 0 0当"c=1时PH=2<2,B错；0 minc选项：设a(xjyi),B(X2,y2),i与x+y-3=0交点为Q(x0,y0)因为A，B两点关于直线x+y-3=0对称，令l方程为y=x+m因为A,B在抛物线上，联立抛物线得y2-4y+4m-0有两解故A=16-16m>0，得m<1由于y+y—4，x+x—y+y—2m—4—2m所以x0-2-m,y0-2代入x+y-3-0得m-1，又因为m<1，故m无解，C错;D选项：设AGJy1)，BG2,y2)，NI，y0)1由于y2-4x得y=±2、：x，所以y-土—<x因为AN因为AN,BN均为切线，设斜率kN1XX2化简得yy1-2x-2x1-0，化简得yy2-2化简得yy1-2x-2x1-0，化简得yy2-2x-2x2=0BN方程为y-y2—-A(x-x2)因为AN与BN交点为N(x0,y0)所以yy—2x—2x-0，yy—2x—2x—0则AB方程为y0y-2x0-2x-0，由于直线AB过定点（2,0），所以x0--2，即N（-2,0），又因为准线方程为x--1，所以点N不在抛物线C的准线上，D错故选：A（2021.全国高三专题练习（文））双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F•我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲

.. . ..一. ... _„ .. .x2 V2 ...线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为-—V=1,F1,F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足/BAD=900,tan/ABC=-3,2 4则该双曲线的离心率为（ ）C—2则该双曲线的离心率为（ ）C—2A.亘2【答案】C【解析】连接fA,f连接fA,fB，已知条件为/FAB=9003tan/ABF=—i4设AF1二m，由双曲线定义表示出|AF2用已知正切值求出BF用已知正切值求出BF2\，再由双曲线定义得IBFI这样可由勾股定理求出m（用a表示），然后在△AFF12中，应用勾股定理得出a，C的关系，求得离心率.【详解】易知F1，A,D共线，FB，C共线，如图，设IAF1\=m,IAF2I=n，则m-n=2a,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3由tanAABC=--得，tan/ABF=—，又/FAB=ZFAD=904E 1 4 1 2m3 , ,4 4所以tan/abfi=ab^=4,ABI=-m，则IBF2I=|AB|-IAF2I=3m-n,所以|BF|=2a+|BFj=2a+

,. (4\2 1 一由AF2+AB2=BiF2得m2+—m=(4a+-m)2，因为m>0，故解得m=3a,1 1 13J3贝Un=3a—2a=a在^AFF中，m2+n2=(2c)2，即9a2+a2=4c2，所以e=-=10^-2 a2故选：C故选：C22.（2021.全国高三专题练习）已知A,B是圆。：x2+y2=1上的两个动点，AB=1,OC=3OA—2OB,M为线段AB的中点，则OC-OM=（【答案】C【解析】根据A，根据A，B是圆O：x2+y2=1上的两个动点，且|AB|=1，得到向量OA,OB的模和夹角，再由M是线段AB的中点，用OA,OB表示向量OM，然后利用平面向量的数量积运算求解.【详解】解：..・A,B是圆O：x2+y2=4上的两个动点,...OA=...OA=OBI=1又・.・IABI=1AB即AB即一2AB即cos/BAO二二^二1，OA|2即ZBAO=-^3...ZAOB=---x2=-TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3MM是线段AB的中点，.OM=10A+10B\o"CurrentDocument"2 2...OM.OC=(10A+10B^-(3OA—2OB)12 2)=3O^^「-Ob「+1OA.OB\o"CurrentDocument"21 兀=—X12-12+—x1x1xcos一\o"CurrentDocument"2 2 3_3.故选：C.23.(2021・广东广州市•高三一模)已知A(-1,0),B(0,2),直线l:2x-2"+3+a=0上存在点p,满足IPAI+1PB—则l的倾斜角的取值范围是( )A.兀2-1,TA.兀2-1,TB.AU[工,咔.-3-4，TD.(0,-]彳,-【答案】D【解析】根据IAB|=<5,|PAI+IPBI=<5上，得到点p在线段AB上，其方程为y=2x+2,xe[-1,0]上，又点在直2x+3 1 4x+3线l上，联立其方程，求得a二J，然后由tana二1二4^求解.4x+3 a2x+3【详解】将A(-1,0)代入2x—2ay+3+a—0得a-—1将B(0,2)代入2x-2ay+3+a-0得a—1所以A,B不在直线l上，又|AB|-|PAI+1PBI-访上，

所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：y=2%+2,%e[-1,0]'y='y=2%+2由<2%-2ay+3+a=0,-1<%<0解得a=2%+3 2%+3 2%+32y-1―2（2%+2）-1―4%+3直线方程2%-2ay直线方程2%-2ay+3+a=0,即为y=1%+3+aa 2a设直线/的倾斜角为a1 4%+33 3贝Utana――— =2 a2%+3 2%+3因为-1W%W0所以1<2%+3<33所以-1<2一0<1即-1<tana<1因为ae（0,兀）一兀 3兀所以ae（0,-]u[―,兀）4 4故选：D24.（2021•山东日照市.高三一模）如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿%轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（）轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（）【答案】A【解析】分析当单位圆向1轴正向滚动个单位长度时A的纵坐标，由此判断出A点形成的轨迹.【详解】如图所示，记B，C，D为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为2兀，所以AB=BC=CD=AD==，且圆上点的纵坐标最大值为22当圆逆时针滚动兀单位长度时，此时A,C的相对位置互换，所以A的纵坐标为2，排除BCD,故选：A.（2021.山东日照市•高三一模）函数）=a3T（a>0，且a中1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆E+21=1（m〉0,n>0）上，则m+n的最小值为（ ）mnA.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】求出A的坐标代入椭圆方程，再将m+n化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】由3-x=0,即x=3，得2=1，所以A（3,1）因为点A在椭圆北+22=1上，所以-+1=1（m>0,n>0）,mn mn/ 、/91、.八m9n m9n”所以m+n=（m+n）（一+）=10+—+——>10+21 =16mnnm\nm当且仅当m=12,n=4时，等号成立.故选：C（2021.河北邯郸市•高三一模）设F,F是双曲线C: -1二1的两个焦点，0为坐标原点，点P在CTOC\o"1-5"\h\z12 4 80F•0PFP•0P-二人的左支上，且F +U =2<3，则△PFF的面积为（ ）IOPIIOPI 12A.8 B.8d3 C.4 D.4<3【答案】A【解析】根据已知条件可以求出°P|=2小，由双曲线的|勺F2|=4y3可得点P在以FF2为直径的圆上，利用△PF1F2时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出|尸勺||尸叮，再由三角形的面积公式即可求解.

【详解】=OP|=2忑,of.opFP.op(OF]+FP)OPOP.OP由一上二—+=OP|=2忑,IOPI IOPI IOPIIOPI不妨设F1(2/0),F2(2^3,0)所以I所以IOP1=1|F1F2|，所以点P在以F1f2为直径的圆上，即分隼是以P为直角顶点的直角三角形，故伊呼+仍尸212=|勺1|2,即|PFj2+Pql2=48.又PF1又PF1-PF2=2a=4，所以16=(lPF1I-IPF2m=|PF1|2+PF2P-2|PFj|PF2|=48-2|PF1||PF2|，解得：PqlPq解得：PqlPq=16，所以SPFiF2"1PFPF=8.故选：A(2021・聊城市.山东聊城一中高三一模)若双曲线C：工-*=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆a2b2x2+产—4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为3323333233C．2【答案】C【解析】求出圆心。到渐近线的距离，由点到直线已知圆圆心为c(0,2)，半径为r=求出圆心。到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立a,b关系，进而得出a，0关系，即可求解.【详解】双曲线c：x2-竺=i(a〉0,b>0)的渐近线方程为y=bxa2b2 a由对称性，不妨取y=bx，即bx-ay=0a又曲线x2+y2-4y+2=0化为x2+(y—2)2=2

则其圆心的坐标为(0,2)，半径为蜀圆心(0,2)到渐近线的距离d=\；'(2)2-12=1又由点到直线的距离公式，12aI可得所以e=2.故选：C(2021・全国高三专题练习)设勺、F2是双曲线E: -y=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，若E上存在点A，使得N勺AF2=60,且OfA\=2a，则此双曲线的离心率为(A.<2 B.<3 C.2 D.55【答案】A【解析】设|AF|二r,|AF|=r，利用余弦定理结合双曲线的定义得出rr=4b2,推导出2AO=AF+AF，利11 2 2 12 1 2用平面向量数量积的计算可得出a2与b2的等量关系，利用双曲线的离心率公式e二,1+b可求得结果.aa2【详解】设AF1AF2二r2在△AF1F设AF1AF2二r2在△AF1F2中，由FF212=|AFI2+AF2I2-2|AF|.|AF2|cos60。得4c2=r2+r2-rr=(r一r)2+rr=4a2+rr，则|rr=4b2

1 2 12 1 2 12 12 12由于AO=AF+Fo=AF+1FF=AF+11 1 1 212 1 2(AF-AF)=1(AF+AF)2 1 2 1 2可得2AO=AF+AF，所以4Ao2=(af+AF)=AF2+AF2+2AF-AF1 2 1 2 1 2 12即16a2=r2+r2+2rrcos60°=(r-r)2+3rr=4a2+12b2

1 2 12 1 2 12b2

可得——1a2所以，该双曲线的离心率为e―c-£—:竺上b2=J1+b2-乏.aa2aa2 aa2故选：A.TOC\o"1-5"\h\z（202L江苏盐城市•高三二模）已知双曲线C：竺—竺=1（〃>0,b>0）的左、右焦点分别为F，F,a2b2 12过点F2作倾斜角为9的直线/交双曲线C的右支于AB两点，其中点A在第一象限，且cos。=；若2 4AB=|人勺|,则双曲线C的离心率为（）3A.4 B.<15 C.2 D.2【答案】D【解析】由双曲线的定义，可得怛尸|=2a,BF|=4a，在△BFF中，由余弦定理可得2c2—ac—6a2=0,再2 1 12C4由e=—>1，即可得解.a【详解】由双曲线的定义知，AFITaFJ=2a,因为IAB|=|AF，即|AF1|-|AF2\=Bq|=2a,在^叫屋中，由余弦定理知，cos0BF在^叫屋中，由余弦定理知，cos0BF2+FF2-BF2 2 ^2 1-2BF2-F1F2所以4=4a2+4c2-16a22•2a•2c所以2c2—ac—6a2=0c3因为e=>1，所以2e2—e—6=0,解得e=2或e=—-（舍去）a2所以双曲线的离心率为2，故选:D.（2021.辽宁高三二模（理））已知直线1+》二a与圆X2+y2=4交于A、B两点，O为坐标原点，OA+OB|=,；3OA—ob\，则实数a的值为（）A.±2 B.士J2 C.土、3 D.士\/6【答案】D【解析】根据向量关系可得OA.OB=2，即△AOB为等边三角形，由此可得圆心到直线距离为Y3，建立方程求得结果.【详解】由OA+Ob\="OA—Ob\得：（OA+OB）=3（OA—OB）,又O为圆X2+y2=4的圆心，则0A=OB=2，所以OA•OB=2,所以|0A|-0B|•cosZAOB=2，即cos/AOB=1，所以ZAOB=g,所以△AOB为等边三角形，乙 J则0到直线X+y=a的距离为：d二行nana=±\/6故选：D.（2021.河北唐山市•高三二模）已知F为双曲线C:12—二=1（a〉0,b〉0）的右焦点，A为双曲线C右支a2b2上一点，且位于x轴上方，B为渐近线上一点，0为坐标原点.若四边形OFAB为菱形，则双曲线C的离心率e=（ ）A.2 B.3 C.<2 D.<2+1【答案】D【解析】TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"设B(x,bx)，由|0B|二|OF|二c，求得B(q,b)，再设A(x,b)，代入双曲线的方程，求得A(J2a,b)，利a 1用kOB二左网，和双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线C:x2-*=1(a〉0,b>0)的焦点F(c,0)，且渐近线方程y=bxa2b2 a因为四边形OFAB为菱形，如图所示，设B(x,Qx)，因为OB|=\；x2+(Qx)2=c，解得x=-a，可得B(-a,b)设A(xi,b)，代入双曲线的方程Q2--芸=1，可得x=J2a，即A(也a,b)，b b K又由k=k，可得——二-一，可得,：2a—c=a\o"CurrentDocument"OBFA\；2a-c a所以双曲线的离心率为?=：=<2+1.a故选：D.(2021•山东枣庄市•高三二模)已知椭圆C与双曲线x2-y2=1有相同的左焦点F、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且PF•PF=0.过F作倾斜角为45°的直线交C于A,B两点(点A在x轴的上方)，1 2 2且AB二入AF2，则入的值为( )A.3+<3 B.3+J2 C.2+J3 D.2+22【答案】A【解析】根据向量数量积为零对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出PFJ,PFJ的长度，再根据焦点坐标求解出

椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出AB的纵坐标，通过靠二九A2用工，乙表示出入，则入的值可求.【详解】不妨设p为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为上+y2=1（〃>b>0）a2b2J,2,0),f(2,0)2由双曲线定义可知：PFl—pq=2，又因为PF、.P2=0，所以PF1,PF2，F1F2I=2c=2。，所以pF、J+(PF1|-2)二F、FJ2=8，所以PFJ=3++1，lPF2\"3—T，所以2a=|PF1|+pF2I=27+，所以a=J+，所以b二五-c2=1，所以椭圆方程为£+W=1，又因为lAB:y'x一理,所以又因为lAB:y'x一理,所以<[x2+3y2=3,所以4y2+2近y-1=0，<6+<2- 4所以y=32生=总"，所以y=3,y=8 4 A4<6+<2- 4又因为AB二九AF2所以y-y=-入y，所以1-二'二-卫，解得入=3又因为AB二九AF2BAA y<6-、：2A故选：A.（2021.全国）已知双曲线上-y2=1（a〉0,b〉0）的左右顶点分别是A,B,右焦点为F,点P在过Fa2b2且垂直于x轴的直线l上，当△ABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）J3 22A.y=±-3-x B.y=±x C.y=±x D.y=±1'2x【答案】C【解析】设点P的坐标为（c,y0）（y0>0），由于IABI为定值，由正弦定理可知当sinZAPB取得最大值时，△APB的外接圆面积取得最小值，也等价于tanZAPB取得最大值，利用两角的正切公式知tan/APB=tan(ZAPF—/BPF)=—°—bbb22，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答y十—y0案.【详解】根据双曲线的对称性不妨设点P的坐标为(gy0)(y0>0)，由于1AB为定值，由正弦定理可知当sin/APB取得最大值时，△APB的外接圆面积取得最小值，也等价于tan/APB取得最大值，TOC\o"1-5"\h\z…a+c c—a••tan/APF= tan/BPF=——，\o"CurrentDocument"y y，此时/APB，此时/APB最大，此时△APB的外接圆面积取\o"CurrentDocument".•.tan/APB=tan(/APF—/BPF)=-^0 y^-.a+cc—a

1+ • \o"CurrentDocument"y0 y0当且仅当y0=b(y0>0)，即当y0=b时，等号成立，y0最小值，点P的坐标为(c,b)，代入上—y2=1,可得ci=2，即竺士=2，即b=1a2b2 a2 a2 a2所以双曲线的渐近线方程为：y=±%故选：C(2021.全国高三专题练习)抛物线y2=4%的焦点为F,点P(%,y)为该抛物线上的动点，点A是抛物PA线的准线与坐标轴的交点,则讲的最大值是()A.2 B.J3 C.2^3 D.◎3 2【答案】B【解析】设直线PA的倾斜角为。，设PP'垂直于准线于P'，由抛物线的性质可得1Pp'卜PF,则PA|_|PA|PA|_|PA|_1PF\―jPP7I—cos9当直线PA与抛物线相切时，coso最小,下F取得最大值,设出直线方程得到直

线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】设直线PA的倾斜角为。，设PP'垂直于准线于P'由抛物线的性质可得PP=1P叫，PAPA所以则诉PP1cosPAPA所以则诉PP1cos。当cos9最小时,|PA|则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，所以当直线PA与抛物线相切时，。最大，即cos9最小，由题意可得A(—1,0)设切线pa的方程为：％=my-1x=my—1，整理可得y2—4my+4=0y2=4xA=16m2—16=0，可得m=±1将m=±1代入y2—4my+4=0，可得y=±2，所以x=1即P的横坐标为1，即P的坐标(1，±2)所以|PA|=122+22=2尬，|PP[=1—(—1)=2，所以TF的最大值为：巫=近，PF 2

二、多选题（202L全国高三专题练习）已知双曲线。：三—二=1（〃>0）的左，右焦点分别为F，F，一条渐近线a2 9 12方程为y=3%,P为C上一点，则以下说法正确的是（ ）4A.C的实轴长为8 B.C的离心率为3C.PFI-PF2I=8 D.C的焦距为10【答案】AD【解析】根据双曲线方程及一条渐近线求出〃=4,写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误.【详解】33由双曲线方程知：渐近线方程为y=±—%，而一条渐近线方程为y=3%a4%2y2...a=4，故C:一-乙二1...a169・•・双曲线：实轴长2a=8，离心率为e=-=56±9=5，由于p可能在C不同分支上则有a4 4|IPF|-IPF2l|=8，焦距为2-=2yja2+b2=10..，.A、D正确，B、C错误.故选：AD（2021•广东深圳市.高三一模）设F、F分别是双曲线C:-=1的左、右焦点，且FF|=4,1 2 m+nm-n 12则下列结论正确的有（）A.m=2 B.当n=0时，C的离心率是2C.F到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=1时，C的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【解析】由已知条件值-由已知条件值-=2，根据a2=m+n,b2=m一nc2=a2+b2，可计算m的值，进而可判断选项A；直接计算e=jJ可判断选项B；计算F到渐近线的距离用n表示，即可判断选项C；当n=1时求出a,baa2 1得值，可得2a,2b的关系可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项人：由双曲线的方程可得a2=m+n，b2=m-n所以c2=a2+b2=m+n+m一n=2m因为2c=4，所以c=2所以c2=2m=4，可得：m=2，故选项A正确；X2V2一对于选项B：当n=0时，双曲线C:--—=1，此时a2=b2=2，c2=42 2所以离心率e=1:竺=；2，故选项B不正确；Va2一X2 V2 . 一对于选项C：C: =1中，由选项A知：m=2，a2=2+n，b2=2-n，的渐近线方程为m+nm—nV=±bxa不妨取焦点F不妨取焦点F1（-2,0），则F-2b到渐近线的距离d=q=b=所以F到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确;对于选项D：当n=1时，a=<2+1=<3，b=2--L=1所以实轴长为2<3，虚轴长为2，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确;故选：AC（2021•山东青岛市•高三一模）已知圆C：x2+V2-kx+2y+4k2-k+1=0，下列说法正确的是（ ）A.k的取值范围是k>0B.若k=4，过M（3,4）的直线与圆C相交所得弦长为2<3，方程为12x-5y-16=0C.若k=4，圆C与圆x2+y2=1相交1 2八D.若k=4,m>0,n>0，直线mx—ny-1=0恒过圆C的圆心，则一+->8恒成立mn【答案】ACD【解析】根据圆的一般方程D2+E2-4F>0可判断A；利用点到直线的距离为1可判断B；利用两圆心的距离与两圆半径之间的关系可判断C；利用基本不等式可判断D.【详解】对于A,方程表示圆可得(一k)+4-4(1k2-k+1]>0,14 7解得k>0,故A正确；对于B,若k=4，可得圆方程：(x-2>+(y+1>=4过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2v3则圆心(2,-1)到直线的距离为1,当直线的斜率不存在时，x=3,满足条件，故B不正确;对于C,(x-2)2+(y+1)2=4，圆心(2,-1)半径；二2,圆x2+y2=1,圆心为(0,0)，半径r=1，两圆心的距离为r-r2=1<j22+(-1>=乔<r+r?=3，两圆相交，故C正确；对于d,直线mx—ny-1=0恒过圆C的圆心，可得2m+n-1=0n2m+n-1.12(12)/c\.n4m、,_In4mo——+————+—(2m+n)=4+——+ >4+2f—,——8,mnImn) mnymn1 1当且仅当m=-,n=不时取等号，故d正确.故选：ACD.(2021.全国高三专题练习)已知双曲线C:x2--1(meR)的一条渐近线方程为4x-3y=0，则mm+7( )A.(v7,0)为C的一个焦点5B.双曲线c的离心率为3C.过点（5,0）作直线与C交于a,B两点，则满足IAB=15的直线有且只有两条D.设A,B,M为C上三点且A,B关于原点对称，则MA,MB斜率存在时其乘积为16【答案】BD【解析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB；再由双曲线的对称性判断C；设A（\,>1），B（-%1,-乂），M（1y0）利用点差法求出鼠鼠【详解】解：因为双曲线C:x2-—匕=1（meR）的一条渐近线方程为4x-3y=0mm+7-m+7(4¥x2 y2c=、、、,a2+b2=5，所所以——=—，解得m=9，所以双曲线C:x--匕=c=、、、,a2+b2=5，所m13) 916以则其焦点为（-5，0）、（5,0），离心率，二:3，故A错误，B正确；过点（5，0）作直线与C交于A，B两点，因为（5,0）为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时|AB|=2b-=3-<15，当直线的斜率为0时，AB=2a=6<15，所以由双曲线的对称性得，满足1ABi=15的直线有4条，故C错误;设AGJy1)B(-x1,-y1)，M设AGJy1)B(-x1,-y1)，M(X0,y0)，所以kMAy-y―k x1-x0k，MB-y-y——1 '-x-x0，因为A,B,Mx2y2在双曲线上，所以中-上二19 16x2y2 x2-x2y2-y20--0r=1，两式相减得1.0-4-0=0，所以9 16 9 16y2-y2(y-y)(y+y)167 7t 0-=1 0 1 0=—=k•kX2-X2 (X-X)(X+X) 9MAMB1 0 1010故D正确;故选：BD39.（2021・全国高三专题练习）已知点O为坐标原点，直线y=X-1与抛物线C:y2=4X相交于A,B两点,则（）IABI=8OA1OBDD.线段AB的中点到直线x=0的距离为2CaOBB的面积为2<2【答案】AC【解析】y=x-1先判断直线过焦点,联立方程组［y2二4x结合韦达定理得两根关系,再根据选项一一判断即可・【详解】设A0,yi）,B（x2,y2），抛物线c:y2=4x，则P=2，焦点为（1，0），则直线y二x-1过焦点;y=x-1联立方程组I /消去y得x2-6x+1=0，则x+x=6,xx=1，、y2=4x 12 12y1y2=(5-1)(x2-1)=xx-(x+x)+1=-4所以|AB|=x1+x2+P=6+2=8，故A正确；由OA-OB=xj2+丁］y2=1-4=-3中0，所以oa与ob不垂直，B错；原点到直线y=x-1的距离为d=42=-2=，所以△aob的面积为S=2xdX|AB|=2X—X8=2%：2，则C正确;因为线段AB的中点到直线x=0的距离为矢4=6=3，故D错故选：ACTOC\o"1-5"\h\z（2021•江苏省天一中学高三二模）已知点P是双曲线E：土-==1的右支上一点，F,F为双曲线E169 12的左、右焦点，APF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A.点P的横坐标为可 B.APF1F的周长为三C.NF1PF2大于* D.APF1F2的内切圆半径为3\o"CurrentDocument"J 乙【答案】ABD【解析】设AFPF的内心为I，连接IP、IF、IF，设p（m，n），利用APFF的面积为20，可求得P点坐标;1 2 2 2 12

APF1F2的周长为Pq+PFJ+|FF21,借助P点坐标，可得解；利用kPFkPF可求得tanF1PF2,可研究/FPF范围；S =1r（|PF|+|PF|+FFI）可求得内切圆半径r.2 APF1F22 1 2 12【详解】设AF设AF1PF2的内心为/，连接庐IF2、IF2双曲线E：上—二=1中的a=4，b=3，c=5169不妨设P（m，n）m〉0，n>0由APF1由APF1F2的面积为20，可得2F1F2In=cn=5n=20，即n=4m2 16 1 - 116 920可得m=-，故A符合题意;由P（20，4］，且F（一5，0），F（5,0），I37 1 2则|P则|P1|+|PF2|=J16+352~9~16+”=37+13=丝9 3 3 350s80则APFF的周长为丁+10=，故B符合题意;12 3 3可得k「F1123512PF可得k「F1123512PF21212则tan勺PF212x125x35360319则/FPF＜：，故C不符合题意；1 2 3设APFF的内切圆半径为r，可得1r(|PFI+|PF|+|FF|)=1•|FFj4JL乙1 / JL / JL4 / JL4

80 3可得Wr=40，解得r=不，故D符合题意.故选：ABD.x2y2（2021.全国高三专题练习）已知椭圆M:—+匕=1的左、右焦点分别是F，F，左、右顶点分别是2520 1 2。，q，点P是椭圆上异于。，q的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A.|PF1|+|PF2|=54B.直线^A与直线PA2的斜率之积为-5C.存在点P满足/F1PF2=900D.若△F1PF2的面积为46，则点P的横坐标为土J5【答案】BD【解析】根据椭圆的定义判断A，设P（%,y），计算斜率之积，判断B，求出当P是短轴端点时的/勺PF2后可判断C,由三角形面积求得P点坐标后可判断D.【详解】由题意〃=5,b=2底c=后,勺（一75,0）,勺石,0）,A1（—5,0）,A2（5,0），短轴一个顶点B2（0,6,PFPF+PF=2a=10,a错;%2 y2 %2则一+匕=1,y2=20(1——)2520 25yy y2 %2 1 4所以.kPA2=瞑x展=*5=20(1-25)xK5=-5，B正确;因为tanZOB因为tanZOB2F=OF 2OB2a1望=2<1，所以00〈/OB2F2<45o,从而/勺B2F2=2/OB2F<900,而P而P是椭圆上任一点时，当P是短轴端点时/F1PF2最大因此不存在点P满足/F1PF2=900，C错;P(%,y)P(%,y)，S△PF1F2 2=-FF12=4%216一,=则—P+ =1,%=±。5,D正确.2520p故选：BD.（2021•山东德州市.高三一模）已知双曲线C:"2—y2=1（a>0,b>0）,A、B分别为双曲线的左、

a2b2右顶点，f、F2为左、右焦点，FF2=2cb,c成等比数列，点P右顶点，f、F2为左、右焦点，FF2=2cb,c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA,PB的斜率分别为k1k2，则下列说法正确的是（ ）.A.当PF2±x轴时，/PF1F:30。B.双曲线的离心率e=匕*52C.k1勺为定值丁D.若I为PF1F2的内心，满足S△YS△IPF2+xS△%Fai"CR)，则x二"【答案】BCD【解析】〜b2 |PF| i c1对于A求出点P(c,—)，再求tan/PFF= 2~.的值即可判断；对于B由b2=ac=c2—a2,e=>1a 1 |FF| a12解出e的值即可；对于C,写出k1,k2，利用点P在双曲线上化简即可求解；对于D,设圆I的半径为r,可推出|尸勺㈢PF2|+x|F1F2|，再结合双曲线的定义，即可得解.【详解】•••a,b,c成等比数列，；.b；.b2=ac,对于A,当尸轴时，点尸为。，一IaJZ?2tanZPFF-1P/\1-^- -1>显然/尸勺1。30。，即选项A错误;12IFFI2clac2127 C1对于B,••。2=ac—（?2—Q2,e——>1,a••・e2-e-l=0,解得6=生5（舍负），即选项5正确；y_yy_y2X-aX2—Q2对于C,设P（羽y）则上=^—,k=^—,所以对于C,设P（羽y）1x+a2x-a i2x+a由点尸（x,y）在双曲线上可得 =—Q2z?2y2 b2y2Z?2。2f1+\/5V1+y/5代入kk- - —————1——-——1——--,故C正确；12X2—Q2Q2y2a2a2 12J 2对于D,设圆/的半径为r,・・・S =5+xSA/巧 A/PFA/FF：.-r\PF\=-r\PF\+x---r-\FFI,2 2 2212，即I尸尸1=1。尸I+xI尸尸I,由双曲线的定义知，I尸尸I—I尸方I=2q,1 2 12 1 22a=x-2c,即％=巴=」=^^~-,故选项D正确；ce2故选：BCD.（2021.山东高三专题练习）已知双曲线。：看-4二1的左、右两个焦点分别为勺、F,直线>二区（左W0）与。交于AB两点，轴，垂足为E直线5片与。的另一个交点为P,则下列结论正确的是（ ）A.四边形A尸5尸为平行四边形 B.ZFPF<90°1 2 1 2D.ZPAB>D.ZPAB>90°【解析】利用A,B关于原点对称，可判断A,利用k趋近于0时P点的位置，得出NFPF大于90。，从而判断B.设1 2A(x0,y0)，计算斜率kE可判断C，由三角形外角定理得NAPB〉90。，从而可判断D.【详解】双曲线C关于原点对称，又直线y=kx过原点，所以A,B关于原点对称，由PA二ofb\,oFii二oq|得四边形AqBF2为平行四边形，A正确；当k—0,P点趋近于右顶点，此时NF1PF2趋近于平角，因此不可能有NF1PF2<900,B错.设A(x,y)，则B(-x，—y)，由AE1x轴知E(x,0),k=10 0 0 0 0 x0而kBe=0:y0i=尹=k，,c正确；BEx-(-x)2x2△APB中，NAPB〉NAEB〉NAEO=90。，因此NPAB<900,D错；故选：AC(2021.全国高三专题练习)已知O为坐标原点，FF2分别为双曲线02-y=I(a〉0b〉0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有( )A.若1Poi二户气|,则双曲线的离心率e>2B.若'POF是面积为v3的正三角形，则b2=2<32

C若公为双曲线的右顶点，PF2,X轴，则F2A2=F2PD.若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q,贝U||QF1HQF2I|>2a【答案】AB【解析】对选项A,由题意列式得C>a,即可求得e>2；对选项B,利用等边三角形的性质求解得c=2,a=<3-1TOC\o"1-5"\h\z即可得b2=28；对选项C,可得|FA|=c-a,|Fp=b2，即可判断|FA|。|尸尸|,对选项D,举出反22 2a例即可判断.【详解】由题意，对于选项A,因为P0|=PF2I,所以OF的中垂线x=c与双曲线有交点，即有c>a，解得e>2,2 2 2 2故选项A正确；对于选项B,因为|尸勺|=|。勺|=OF|=C=2，解得P「|=2J3，所以a=PFbPF!=不—1,所以b2=c2-a2=2J3，故选项B正确；对于选项C,由题意可得故选项C故选项C错误;|FA|=c-a,|FP|二一显然不等，22 2a对于选项D,若P为右顶点时，则Q为坐标原点，此时||QF1HQF2h0<2a，故选项D错误.故选：AB.（2021.全国高三专题练习）已知抛物线。：X2=2py（p>0），过其准线上的点7（1,-1）作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）A.p=1 B.TA1TBC直线AB的斜率为1 D.线段AB中点的横坐标为1【答案】BCD【解析】选项八：由点T（L-1）在准线上，可求出p,从而可判断；选项b：设直线y+1=k（x-D与抛物线方程联立，由韦达定理可判断；选项C：设A（X/y1）,B（X2,y2）分别求出TA,TB方程，根据方程结构可判断；选项口：由点差法可判断.

【详解】易知准线方程为y=-1,.・.P=2,C：x2=4y，故选项A不正确.设直线y+1=k(x—D，代入y=x24得—-kx+k+1=0，当直线与C相切时，有A=。，即k2-k-1=04设TA，TB斜率分别为ki，k2，易知ki，k2是上述方程两根，故kik2=-1故TA1TB.故选项B正确.设A(x,y)，B(x,y)，其中y=-i-，y=—2.则TA：y-—i-=t(x—x)，即y=-^xx—y.ii 22 i4 2 4 4 2 i 2 i代入点(1，-1)，得xx-2yx+2=0，同理可得x2-2y2+2=0，故AB：x-2y+2=0，故k=1.故选项C正确.AB2x2x2乎一一2 x+xr由k-y2y44 4_x上_1，得十1=1，即ab中点横坐标为1.故选项d正确.TOC\o"1-5"\h\z= 12 12AB x1-x2 x1-x2 4 2故选：BCD(c c、3x(c c、3xly223+亍QIa4 b4J，则下列说法正确的是x2+「-1(〃>0,b>0)上点P(x，y)处的曲率半径公式为R-a2b2a2 b2 00()A.对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆上十=-1(a>b>0)上一点处的曲率半径的最大值为aa2b2C.椭圆上十4-1(a>b>0)上一点处的曲率半径的最小值为b2a2 b2 ax2 \D.对于椭圆一+y2-1(a>1)上点-,y^处的曲率半径随着a的增大而碱小a2 I20J【解析】利用曲率半径公式的定义，A利用曲率半径公式的定义，A中有圆上任一点R'=R432=R；B、C中由椭圆在(±a,0), (0,±b)处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D中由公式得R=(2 +a:-上小构造4f(分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D中由公式得R=(2 +a:-上小构造4f(a)=2 +a3-父，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.4【详解】x2A：由题设知：圆的方程可写为——+R2=1,所以圆上任一点P(x°,y0)曲率半径为32=R，正确;B、C：由x2+y2=1(a>0,b>0)弯曲最大处为(±a,0)，最小处为(0,±b)，所以在(±a,0)处有a2 b2b2 ,a在(0,±b)处有R=a2b2„「b2a2r即Re[—,—]，故B错误，C正确;abD：由题意，不处的曲率半径R=a2所以R=a2贝九在a>1上有f，g)=11a~3_21 4a~3、3今+a3--)2，令f(a)2a3，~T(8a4+a2.4)>0恒成立，故R在a>1上随着a的增大而增大，错误;故选：AC.三、填空题(2021.河北张家口市•高三一模)若P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，抛物线C的焦点为F,则IPF1=【解析】先把点P(4,1)的坐标代入抛物线方程中求出2,再由抛物线的定义可求得IPFI的值【详解】由P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，得42=2px1,可得P=88则IPFI=1+—二52故答案为：5(2021・广东汕头市•高三一模)写一个焦点在y轴上且离心率为」3的双曲线方程 .x2【答案】y2---二1(答案不唯一，符合要求就可以)【解析】取c=<3，可求得a、b的值，结合双曲线的焦点位置可得出结果.【详解】取c=<3，则e=a二七3，可得a=1,,.b=Cc2-a2=<2x2因此，符合条件的双曲线方程为y2-1=1.x2故答案为：y2- 二1(答案不唯一，符合要求就可以).(2021.湖南永州市•高三二模)已知O为坐标原点，双曲线C：x2-y2=1(a>0,b>0)的离心率为a2b2355，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若“FO的面积为土；5,则双曲线C的方程为 .【答案】】x-y2=154【解析】利用数形结合，计算|AF|,OA，然后根据面积以及离心率进行计算可得结果.【详解】如图

双曲线的一条渐近线OA方程为：bx-0=0双曲线的一条渐近线OA方程为：bx-0=0则IAFI=Ibd\；b2++(-a>二b，所以OA|二a所以S=—ab=<5nab=255①△AFO2c3<5 ,又e二一二 ②，c2=a2+b2③a5所以由①②②得：a=v5,b=2故双曲线方程为：x2-£=15 4故答案为：x2—£=i5 4（2021.全国高三专题练习）已知抛物线C：J2=4x的焦点为F,准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q,QF与y轴交于点T,O为坐标原点，且OT|=2，则P）F=.【答案】5【解析】依题意HMQ经tTOF，即可得到T为OM的中点，从而求出P的纵坐标，再代入抛物线方程求出P的横坐标，最后根据焦半径公式计算可得；【详解】解：依题意可得尸（1，0），i：x=t，根据抛物线的定义可知PQI=P'F，设PQ与y轴相交于点M，因为lOTl=2，又lOFl=QM，所以"mq0"OF，所以T为OM的中点，所以|OM|=4即p的纵坐标为4，在y2=4x中令y=4，得x=4，所以pQ|=x+p-=4+1=5，所以|pf|二5故答案为：5(2021•山东淄博市.高三一模)若抛物线>2=2px(p>0)上的点A(x0「2)到其焦点的距离是点A到了轴距离的3倍，则P等于.【答案】2<2【解析】根据抛物线的定义列方程，化简求得P的值.【详解】抛物线y2=2px(p>0)开口向右，准线为x=-。将A的坐标代入抛物线方程得4=2px,x=-0 0p由于抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,-2)到其焦点的距离是点a到y轴距离的3倍，p根据抛物线的定义有x0+y=3x0,2p2 2p4c所以一+~=3x—,~=,p2=8,p=2，；2.p2p2p故答案为：2J2(2021•广东肇庆市.高三二模)已知点P是抛物线x2=8y上的一个动点，则点P到点A(2,0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 .【答案】2七2【解析】设点P在抛物线的准线的投影为点P，抛物线的焦点为耳，根据抛物线的定义可得PP卜P石，再根据三角形的性质：|尸川+|PF|2|AFM可求解.【详解】设点P在抛物线的准线的投影为点P，抛物线的焦点为F，则F(0,2).依抛物线的定义，知点P到该抛物线的准线的距离为pP'|二PFI，则点P到点A(2,0)的距离与到该抛物线的准线的距离之和d=|PA|+|PF|三|AF|=22++22=2J2.故答案为：2y2.(2021•山东高三专题练习)设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，过F作倾斜角为60。的直线交C于A,B两点，若।AFI-IBF=4,则IAB1=【答案】8【解析】由抛物线的定义可得IAF|-|BF|=(x+p)-(x+p))=x-x=4，设直线AB的方程为y=v；3(x-p)1 2 2 2 1 2 23然后直线方程与椭圆方程联立成方程组，消去y得3x2-5px+4p2=0，再由根与系数的关系可得51x+x=rp，xx=~p2，结合前面的式子可求出p