数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件

§5三次样条插值/*CubicSplineInterpolation*/

许多实际工程技术中一般对精度要求非常高，（1）要求近似曲线在节点连续；（2）要求近似曲线在节点处导数连续，即充分光滑。

分段插值不能保证节点的光滑性，而Hermite插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。

问题背景§5三次样条插值/*CubicSplineInt1一、三次样条函数的力学背景

在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。........压铁弹性木条.数据点形象地称之为样条曲线一、三次样条函数的力学背景在工程技术和数学应用中经常2

在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。设细梁刚度系数为，弯矩为，样条曲线的曲率为由力学知识：当时（即“小挠度”的情况）上述微分方程简化为：是线性函数因此，“样条曲线”可近似认为是三次多项式在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是3二、三次样条函数定义及求法设在区间上给定一个分割，定义在上的函数如果满足下列条件：(1)在每个小区间内是三次多项式(2)在整个区间上，为二阶连续可导函数，即在每个节点处则称为三次样条函数二、三次样条函数定义及求法设在区间上给4如果三次样条函数满足则称为插值于的三次样条函数，简称三次样条插值函数。例1：如果三次样条函数满足则称为插值于5假设现在已知函数在节点处的函数值：如何求的三次样条插值函数:4n个未知数4n-2个条件假设现在已知函数在节点处的函数值：如何求6三弯矩方程求解法：以样条插值函数在节点上二阶导数作为未知量，再利用其一阶导数在内节点上连续的条件导出三弯矩方程求解（M连续性方程）三转角方程求解法：以样条插值函数在节点上一阶导数作为未知量，再利用其二阶导数在内节点上连续的条件导出三弯矩方程求解（m连续性方程）三弯矩方程求解法：以样条插值函数在节点上二阶导数作三转角方程7线性插值函数1、M连续方程与的表达式记因为在每一个子区间上都是线性函数

两边积分两边再积分一次？线性插值函数1、M连续方程与的表达式记因为8代入插值条件：在整个区间上，的表达式为：未知数n+1个代入插值条件：在整个区间上，的表达式9的计算方法：由的计算方法：由10由由11由其中由其中12写成方程组的形式：上述方程组称为的M连续方程n-1个方程n+1个未知数三弯矩方程写成方程组的形式：上述方程组称为的M连续方程n132、m连续方程与的表达式记在区间上采用Hermite插值2、m连续方程与的表达式记在区间上14的计算方法：对两边求导（微分2次）的计算方法：对两边求导（微分2次）15数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件16两者相等得到方程组：其中同前两者相等得到方程组：其中同前17写成方程组的形式：n-1个方程n+1个未知数三转角方程上述方程组称为的m连续方程写成方程组的形式：n-1个方程三转角方程上述方程组称为18M、m连续方程的求解：需要补充附加条件3、边界条件/*boundaryconditions*/已知端点的斜率：已知端点的二阶导数：设是以为周期的周期函数，对附加周期性条件：

即要求三次样条插值函数在端点处函数值、一阶导数值和二阶导数值相同。M、m连续方程的求解：需要补充附加条件3、边界条件/*bou19M连续方程在各类边界条件下的求解方法对于第一类边界条件由得M连续方程在各类边界条件下的求解方法对于第一类边界条件由得20从而得到方程组（三对角）：可用追赶法求解从而得到方程组（三对角）：可用追赶法求解21对于第二类边界条件类似地可以得到方程组（三对角）：对于第二类边界条件类似地可以得到方程组（三对角）：22对于第三类边界条件得到方程其中对于第三类边界条件得到方程其中23第三类边界条件对应的方程组：对三对角算法经过修改后可以求解上述方程组不是三对角方程组第三类边界条件对应的方程组：对三对角算法经过修改后可以求解上24注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点处的函数值）；而Hermite插值依赖于f在许多插值节点的导数值。f(x)H(x)S(x)注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x250123

02361

0例1：已知函数在的数据表：解：求在区间上的三次样条插值函数。

0123026三弯矩方程组用追赶法求解方程组得三弯矩方程组用追赶法求解方程组得27三次样条插值函数三次样条插值函数28数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件29数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件304、三次样条函数的性质性质1（极小模性质）设是任一被插函数，是自然三次样条插值函数，则成立式中等号当且仅当时成立。证明：因为故结论成立4、三次样条函数的性质性质1（极小模性质）设31（积分可加性质）下面证明分步积分（积分可加性质）下面证明分步积分32分步积分分步积分33等号成立为线性函数（由插值条件）等号成立为线性函数（由插值条件）34性质2（最佳逼近性质）设是任一被插函数，是带有斜率边界条件的三次插值样条函数，是与有相同分割的任一三次样条函数，则有

证明：证明方法与性质1类似（自己证明）性质2（最佳逼近性质）设是任一被35性质3（误差估计）设函数，是区间的一个分割，是关于的带有Ⅰ型(斜率边界)或Ⅱ型(二阶导数边界)边界条件的插值函数，则有误差估计其中

是分割比，并且系数与是最优估计。

性质说明：三次样条插值函数本身连同它的一、二、三阶导数分别收敛到及其相应导数，具有强收敛性。性质3（误差估计）设函数，是36§5三次样条插值/*CubicSplineInterpolation*/

许多实际工程技术中一般对精度要求非常高，（1）要求近似曲线在节点连续；（2）要求近似曲线在节点处导数连续，即充分光滑。

分段插值不能保证节点的光滑性，而Hermite插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。

问题背景§5三次样条插值/*CubicSplineInt37一、三次样条函数的力学背景

在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。........压铁弹性木条.数据点形象地称之为样条曲线一、三次样条函数的力学背景在工程技术和数学应用中经常38

在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。设细梁刚度系数为，弯矩为，样条曲线的曲率为由力学知识：当时（即“小挠度”的情况）上述微分方程简化为：是线性函数因此，“样条曲线”可近似认为是三次多项式在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是39二、三次样条函数定义及求法设在区间上给定一个分割，定义在上的函数如果满足下列条件：(1)在每个小区间内是三次多项式(2)在整个区间上，为二阶连续可导函数，即在每个节点处则称为三次样条函数二、三次样条函数定义及求法设在区间上给40如果三次样条函数满足则称为插值于的三次样条函数，简称三次样条插值函数。例1：如果三次样条函数满足则称为插值于41假设现在已知函数在节点处的函数值：如何求的三次样条插值函数:4n个未知数4n-2个条件假设现在已知函数在节点处的函数值：如何求42三弯矩方程求解法：以样条插值函数在节点上二阶导数作为未知量，再利用其一阶导数在内节点上连续的条件导出三弯矩方程求解（M连续性方程）三转角方程求解法：以样条插值函数在节点上一阶导数作为未知量，再利用其二阶导数在内节点上连续的条件导出三弯矩方程求解（m连续性方程）三弯矩方程求解法：以样条插值函数在节点上二阶导数作三转角方程43线性插值函数1、M连续方程与的表达式记因为在每一个子区间上都是线性函数

两边积分两边再积分一次？线性插值函数1、M连续方程与的表达式记因为44代入插值条件：在整个区间上，的表达式为：未知数n+1个代入插值条件：在整个区间上，的表达式45的计算方法：由的计算方法：由46由由47由其中由其中48写成方程组的形式：上述方程组称为的M连续方程n-1个方程n+1个未知数三弯矩方程写成方程组的形式：上述方程组称为的M连续方程n492、m连续方程与的表达式记在区间上采用Hermite插值2、m连续方程与的表达式记在区间上50的计算方法：对两边求导（微分2次）的计算方法：对两边求导（微分2次）51数值计算方法-第三章-多项式插值与函数逼近课件52两者相等得到方程组：其中同前两者相等得到方程组：其中同前53写成方程组的形式：n-1个方程n+1个未知数三转角方程上述方程组称为的m连续方程写成方程组的形式：n-1个方程三转角方程上述方程组称为54M、m连续方程的求解：需要补充附加条件3、边界条件/*boundaryconditions*/已知端点的斜率：已知端点的二阶导数：设是以为周期的周期函数，对附加周期性条件：

即要求三次样条插值函数在端点处函数值、一阶导数值和二阶导数值相同。M、m连续方程的求解：需要补充附加条件3、边界条件/*bou55M连续方程在各类边界条件下的求解方法对于第一类边界条件由得M连续方程在各类边界条件下的求解方法对于第一类边界条件由得56从而得到方程组（三对角）：可用追赶法求解从而得到方程组（三对角）：可用追赶法求解57对于第二类边界条件类似地可以得到方程组（三对角）：对于第二类边界条件类似地可以得到方程组（三对角）：58对于第三类边界条件得到方程其中对于第三类边界条件得到方程其中59第三类边界条件对应的方程组：对三对角算法经过修改后可以求解上述方程组不是三对角方程组第三类边界条件对应的方程组：对三对角算法经过修改后可以求解上60注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点处的函数值）；而Hermite插值依赖于f在许多插值节点的导数值。f(x)H(x)S(x)注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x610123

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0例1：已知函数在的数据表：解：求在区间上的三次样条插值函数。

0123062三弯矩方程组用追赶法求解方程组得三弯矩方程组用追赶法求解方程组得63三次样条插值函数三次样条插值函数64数值计