理论力学-16分析动力学课件

第十二章分析动力学基础理论力学第十二章分析动力学基础理论力学1

动力学

本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，是分析动力学的基础，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。动力学本章在达朗伯原理和虚位2§12–1动力学普遍方程§12–2拉格朗日方程§12–3拉格朗日方程的首次积分

第十二章分析动力学基础§12–1动力学普遍方程第十二章3

动力学设质点系有n个质点，第i个质点§12-1动力学普遍方程对于整个系统有

用虚位移原理，对于整个系统有动力学设质点系有n个质点，第i个质点§12-14将作为主动力处理，则：解析式：动力学普遍方程。

若质点系受有理想约束，

在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。将作为主动力处理，则：解析式：动力学普遍方程。5例1已知重A物重FP，均质圆轮重FC，半径r。绳A和定滑轮B质量不计，轮C作纯滚动。求重物的加速度。即

解得

例1已知重A物重FP，均质圆轮重FC，半径r。6

动力学

例2三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。

解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。动力学例2三棱柱B沿三棱柱A7

动力学由动力学普遍方程：

系统为二自由度，取互不相关的为独立虚位移，且，所以

解得：动力学由动力学普遍方程：系统为8

例3均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。设开始运动时细绳为铅直位置，求圆柱B下落时质心的加速度。动力学取有取有即（1）即（2）（3）解：取轮A和B的转角φ1、φ2为广义坐标，例3均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计9动力学§12-2拉格朗日方程

设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。

以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。即第二类拉格朗日方程质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。动力学§12-2拉格朗日方程设质点系有n10

动力学代入质点系动力学普遍方程，得：动力学代入质点系动力学普遍方程，得：11

动力学 为广义力

广义惯性力动力学 为广义力12

动力学广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此为简化计算,需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。动力学广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,13

第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。动力学拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t14

动力学如果作用于质点系的力是有势力，则广义力可用质点系的势能来表达。而拉氏方程为：引入拉格朗日函数：L=T-U则：保守系统的拉格朗日方程。动力学如果作用于质点系的力是有势力，则广义力15

动力学1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。

2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。

3.计算广义力，计算公式为：或

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。

5.求出上述一组微分方程的积分。

应用拉氏方程解题的步骤：若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。动力学1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广16

动力学

例3水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。

所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角为广义坐标。解：图示机构只有一个自由度动力学例3水平面内运动的行星齿17

动力学动力学18

动力学代入拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件，t=0时，得动力学代入拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件19课堂练习：均质圆轮质量为，绳子一端悬挂一质量为的重物，另一端连接在铅垂的弹簧上。设弹簧的刚度系数为k，试建立系统的运动微分方程。解：系统的动能为

广义力

课堂练习：均质圆轮质量为，绳子一端悬挂一质量为20代入拉格朗日方程

有关各项

得

或写成

代入拉格朗日方程有关各项得或写成21

动力学

例4与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2，试列出该系统的运动微分方程。

解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x轴

原点位于弹簧自然长度位置，

逆时针转向为正。动力学例4与刚度为k的弹簧相22

动力学系统动能：动力学系统动能：23

动力学

系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）拉格朗日函数：动力学系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点24

动力学代入：并适当化简得：动力学代入：并适当化简得：25

动力学系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。

若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时<<1o,cos1,sin

，略去二阶以上无穷小量，则动力学系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置26课堂练习：均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。设开始运动时细绳为铅直位置，求圆柱B下落时质心的加速度。动力学解：取轮A和B的转角φ1、φ2为广义坐标，取取有即即（1）（2）（3）课堂练习：均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可27理论力学-16分析动力学课件28

动力学§12-3拉格朗日方程的首次积分

对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-U中不显含t，则动力学§12-3拉格朗日方程的首次积29

动力学广义能量积分。

保守系统的拉格朗日函数不显含时间t时，保守系统的广义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为=0动力学广义能量积分。保守系统的30系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。

动力学二、循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标qr

,则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。当为系统的循环坐标时，必有于是拉氏方程成为系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。动力学二、31

动力学

积分得：循环积分因L=T-U，而U中不显含，故上式可写成Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。

一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。

能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。动力学积分得：循环积分因L=T-U32

动力学

例5楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为r，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。

解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为x,s；各坐标原点均在初始位置。动力学例5楔形体重P，斜面倾角33

动力学系统的动能：系统的势能：取水平面为重力势能零点。拉格朗日函数：动力学系统的动能：系统的势能：拉格朗日函数：34

动力学代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。（d）解得楔形体的加速度为拉格朗日函数L中不显含t，故系统存在能量积分。动力学代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系35

动力学当t=0时，，x=

s=0,代入上式中，得

动力学当t=0时，36

动力学

由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故x为系统循环坐标，故有循环积分：t=0时，故上式中C2=0，可得

（f)，(g)式即为系统的能量积分和循环积分。(f)式实际上是系统的机械能守恒方程。(g)式实质上是系统的动量在x方向守恒。动力学由于拉格朗日函数L中不显含广义坐37

动力学第十二章结束动力学第十二章结束38第十二章分析动力学基础理论力学第十二章分析动力学基础理论力学39

动力学

本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，是分析动力学的基础，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。动力学本章在达朗伯原理和虚位40§12–1动力学普遍方程§12–2拉格朗日方程§12–3拉格朗日方程的首次积分

第十二章分析动力学基础§12–1动力学普遍方程第十二章41

动力学设质点系有n个质点，第i个质点§12-1动力学普遍方程对于整个系统有

用虚位移原理，对于整个系统有动力学设质点系有n个质点，第i个质点§12-142将作为主动力处理，则：解析式：动力学普遍方程。

若质点系受有理想约束，

在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。将作为主动力处理，则：解析式：动力学普遍方程。43例1已知重A物重FP，均质圆轮重FC，半径r。绳A和定滑轮B质量不计，轮C作纯滚动。求重物的加速度。即

解得

例1已知重A物重FP，均质圆轮重FC，半径r。44

动力学

例2三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。

解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。动力学例2三棱柱B沿三棱柱A45

动力学由动力学普遍方程：

系统为二自由度，取互不相关的为独立虚位移，且，所以

解得：动力学由动力学普遍方程：系统为46

例3均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。设开始运动时细绳为铅直位置，求圆柱B下落时质心的加速度。动力学取有取有即（1）即（2）（3）解：取轮A和B的转角φ1、φ2为广义坐标，例3均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计47动力学§12-2拉格朗日方程

设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。

以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。即第二类拉格朗日方程质点。若取系统的一组广义坐标为，则称为广义速度。动力学§12-2拉格朗日方程设质点系有n48

动力学代入质点系动力学普遍方程，得：动力学代入质点系动力学普遍方程，得：49

动力学 为广义力

广义惯性力动力学 为广义力50

动力学广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此为简化计算,需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。动力学广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,51

第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。动力学拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t52

动力学如果作用于质点系的力是有势力，则广义力可用质点系的势能来表达。而拉氏方程为：引入拉格朗日函数：L=T-U则：保守系统的拉格朗日方程。动力学如果作用于质点系的力是有势力，则广义力53

动力学1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。

2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。

3.计算广义力，计算公式为：或

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。

5.求出上述一组微分方程的积分。

应用拉氏方程解题的步骤：若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。动力学1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广54

动力学

例3水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。

所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角为广义坐标。解：图示机构只有一个自由度动力学例3水平面内运动的行星齿55

动力学动力学56

动力学代入拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件，t=0时，得动力学代入拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件57课堂练习：均质圆轮质量为，绳子一端悬挂一质量为的重物，另一端连接在铅垂的弹簧上。设弹簧的刚度系数为k，试建立系统的运动微分方程。解：系统的动能为

广义力

课堂练习：均质圆轮质量为，绳子一端悬挂一质量为58代入拉格朗日方程

有关各项

得

或写成

代入拉格朗日方程有关各项得或写成59

动力学

例4与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2，试列出该系统的运动微分方程。

解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x轴

原点位于弹簧自然长度位置，

逆时针转向为正。动力学例4与刚度为k的弹簧相60

动力学系统动能：动力学系统动能：61

动力学

系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）拉格朗日函数：动力学系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点62

动力学代入：并适当化简得：动力学代入：并适当化简得：63

动力学系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。

若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时<<1o,cos1,sin

，略去二阶以上无穷小量，则动力学系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置64课堂练习：均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。设开始运动时细绳为铅直位置，求圆柱B下落时质心的加速度。动力学解：取轮A和B的转角φ1、φ2为广义坐标，取取有即即（1）（2）（3）课堂练习：均质圆柱体质量均为m，半径均为R，绳重不计且不可65理论力学-16分析动力学课件66

动力学§12-3拉格朗日方程的首次积分

对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-U中不显含t，则动力学§12-3拉格朗日方程的首次积67

动力学广义能量积分。

保守系统的拉格朗日函数不显含时间t时，保守系统的广义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为=0动力学广义能量积分。保守系统的68系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。

动力学二、循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标qr

,则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。当为系统的循环坐标时，必有于是拉氏方程成为系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。动力学二、69

动力学

积分得：循环积分因L=T-U