量子力学复习资料

量子力学

[填空题]

1热力学第一定律ΔU=Q+W 只适用于

参考答案：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

[填空题]

2根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

参考答案：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；

因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

[填空题]

3什么是定态？定态有什么性质？

参考答案：定态是指体系的能量有确定值的态。

在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。

[填空题]

4为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？

参考答案：因为所有力学量的数值都是实数。

而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。

厄米算符的本征值必定是实数。

所以表示力学量的算符必须是厄米算符。

[填空题]

5请写出微扰理论适用条件的表达式。

参考答案：

[填空题]

6试简述微扰论的基本思想。

参考答案：

[填空题]

7简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？

参考答案：

[填空题]

8请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

参考答案：

[填空题]

9指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

参考答案：

[填空题]

10下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？

参考答案：

[填空题]

11问下列算符是否是厄米算符：

参考答案：

[填空题]

12全同粒子体系的波函数应满足什么条件？

参考答案：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。

[填空题]

13试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。

参考答案：证明：考虑一维情况

[填空题]

14已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取试证明:也是和共同本征函数,对应本征值分别为:。

参考答案：

[填空题]

15在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

参考答案：

[填空题]

16如果算符满足关系式，求证

参考答案：

[填空题]

17和组成的正交归一系。

参考答案：

[填空题]

18对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明并证明当n→∞时上述结果与经典结论一致。

参考答案：

[填空题]

19设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明

参考答案：

[填空题]

20定义（反对易式）证明：

参考答案：

[填空题]

21证明力学量AÂ（不显含t）的平均值对时间的二次微商为：

参考答案：

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[填空题]

22试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。

参考答案：

[填空题]

23由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内（即向原点）传播的球面波。

参考答案：

[填空题]

24一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

参考答案：

[填空题]

25求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

参考答案：

[填空题]

26氢原子处在基态（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）最可几半径；（4）动能的平均值；（5）动量的几率分布函数。

参考答案：

[填空题]

27设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能.

参考答案：

[填空题]

28设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

参考答案：

[填空题]

29证明：如果算符都是厄米的，那么也是厄米的

参考答案：

[填空题]

30求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。

参考答案：

[填空题]

31求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

参考答案：

[填空题]

32求连续性方程的矩阵表示

参考答案：

[填空题]

33设一体系未受微扰作用时有两个能级：现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

参考答案：

[填空题]

34计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率

参考答案：

[填空题]

35求线性谐振子偶极跃迁的选择定则

参考答案：

[填空题]

36求在自旋态的测不准关系：

参考答案：

[填空题]

37求的本征值和所属的本征函数。

参考答案：

[填空题]

38求自旋角动量方向的投影本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？

参考答案：

[填空题]

39一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

参考答案：

[填空题]

40设体系处于态，求 （1）的可能测值及其平均值。 （2）的可能测值及相应的几率。（3）的可能测值。

参考答案：

[填空题]

41设粒子处在宽度为a的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。

参考答案：

[填空题]

42求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。提示：可利用公式：

参考答案：

[填空题]

43质量为μ的粒子在一维势场中运动。设状态由波函数 描述。求（1）粒子能量的可能值及相应的几率；（2）粒子的平均能量E；（3）写出状态在能量表象中的波函数。

参考答案：

[填空题]

44设在（无微扰时的哈密顿算符）表象中，的矩阵表示为其中试用微扰论求能级二级修正。

参考答案：

[填空题]

45已知厄密算符是二行二列矩阵且（1）求算的本征值（2）在A表象下求算符的矩阵表示

参考答案：

[填空题]

46（1）粒子在二维无限深方势阱请写出能级和能量本征函数；请写出能级和能量本征函数；

参考答案：

[填空题]

47证明的一个本征函数并求出相应的本征值；并求x在ψ（x）态中的平均值。

参考答案：

[填空题]

48在公式求C2的值

参考答案：

[填空题]

49求在球谐函数所描述的态中力学量的平均值。

参考答案：

[填空题]

50由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm与温度T成反比，即并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

参考答案：

[填空题]

51在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

参考答案：

[填空题]

52利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T，玻尔磁子，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

参考答案：

[填空题]

53两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？

参考答案：

[填空题]

54证明在定态中，几率流与时间无关。

参考答案：

[填空题]

55一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

参考答案：

[填空题]

56证明（2.6-14）式中的归一化常数是

参考答案：