高中数学教案优秀8篇

Word-67-高中数学教案优秀8篇

作为一名辛劳耕耘的教导工，有须要举行细致的教案预备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。那要怎么写好教案呢？这里给大家共享一些关于高中数学教案优秀范文，便利大家学习。为伴侣们细心收拾了8篇高中数学教案优秀范文，我们不妨阅读一下，看看是否能有一点抛砖引玉的作用。

高中数学教案篇一

1.课题

填写课题名称（高中代数类课题）

2.教学目标

（1）学问与技能：

利用本节课的学习，把握。.。.。.学问，提升同学解决实际问题的能力；

（2）过程与办法：

利用。.。.。.（研究、发觉、探索），提升。.。.。.（分析、归纳、比较和概括）的能力；

（3）情感态度与价值观：

利用本节课的学习，增加同学的学习爱好，将数学应用到实际生活中，增强同学数学学习的乐趣。

3.教学重难点

（1）教学重点：本节课的学问重点

（2）教学难点：易错点、难以理解的学问点

4、教学办法（普通从中挑选3个就可以了）

（1）研究法

（2）情景教学法

（3）问答法

（4）发觉法

（5）讲授法

5、教学过程

（1）导入

容易讲述导入课题的方式和办法（例：复习、类比、情境导出本节课的课题）

（2）新授课程（普通分为三个小步骤）

①容易讲解本节课基础学问点（例：奇函数的定义）。

②归纳总结该课题中的重点学问内容，尤其对该注重的一些状况设置易错点，举行强调。可以设计分组研究环节（分组推断几组函数图像是否为奇函数，并归纳奇函数图像的特点。设置定义域不关于原点对称的函数是否为奇函数的易错点）。

③拓展延长，将所学学问拓展延长到实际题目中，去解决实际生活中的问题。

（在新授课里面一定要表下出讲课的大体流程，但是不必太过具体。）

（3）课堂小结

老师提问，同学回答本节课的心得。

（4）作业提升

布置作业（尽量与实际生活相联系，有所创新）。

6、教学板书

2.高中数学教案格式

一．课题（说明本课名称）

二．教学目的（或称教学要求，或称教学目标，说明本课所要完成的教学任务）

三．课型（说明属新授课，还是复习课）

四．课时（说明属第几课时）

五．教学重点（说明本课所必需解决的关键性问题）

六．教学难点（说明本课的学习时易产生困难和障碍的学问传授与能力培养点）

七．教学办法要按照同学实际，注意引领自学，注意引发思维

八．教学过程（或称课堂结构，说明教学举行的内容、办法步骤）

九．作业处理（说明如何布置书面或口头作业）

十．板书设计（说明上课时预备写在黑板上的内容）

十一．教具（或称教具预备，说明辅助教学手段使用的工具）

十二．教学反思：（教者对该堂课教后的感触及同学的心得、改进办法）

3.高中数学教案范文

【教学目标】

1、学问与技能

（1）理解等差数列的定义，会应用定义推断一个数列是否是等差数列：

（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：

（3）会应用等差数列通项公式解决容易问题。

2、过程与办法

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养同学的观看、分析、归纳能力和严密的规律思维的能力，体悟从特别到普通，普通到特别的认知逻辑，提升认识猜测和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3、情感、态度与价值观

利用老师指导下同学的自主学习、互相沟通和探究活动，培养同学主动探究、用于发觉的求知精神，激活同学的学习爱好，让同学感触到胜利的喜悦。在解决问题的过程中，使同学养成精心观看、仔细分析、擅长总结的良好习惯。

【教学重点】

①等差数列的概念；

②等差数列的通项公式

【教学难点】

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；

②等差数列的通项公式的推导过程。

【学情分析】

我所教学的同学是我校高一(7)班的同学（平行班同学），经过一年的高中数学学习，大部分同学学问阅历已较为丰盛，他们的智力进展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分同学的基础较弱，学习数学的爱好还不是很浓，所以我在授课时注意从详细的生活实例动身，注意引领、引发、讨论和探讨以符合这类同学的心理进展特点，从而增进思维能力的进一步进展。

【设计思路】

1、教法

①引发引领法：这种办法有利于同学对学问举行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动同学的主动性和乐观性，发挥其制造性。

②分组研究法：有利于同学举行沟通，准时发觉问题，解决问题，调动同学的乐观性。

③讲练结合法：可以准时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2、学法

引领同学首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的学生引领熟悉多元的推导思维办法。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

1、从0开头，将5的倍数按从小到大的挨次罗列，得到的数列是什么？

2、水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的方法清理水库中的杂鱼。假如一个水库的水位为18m，自然放水天天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开头放水算起，到可以举行清理工作的那天，水库天天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

3、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息。根据单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）。按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么根据单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？

老师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数。

同学：

①0，5，10，15，20，25，…。

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

(设置意图：从实例引入，实质是给出了等差数列的现实背景，目的是让同学感触到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型。利用分析，由特别到普通，激活同学学习探索学问的自主性，培养同学的归纳能力。

二、观看归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，…。

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

思量1上述数列有什么共同特点？

思量2按照上数列的共同特点，你能给出等差数列的普通定义吗？

思量3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？

老师：引领同学思量这三列数具有些共同特征，然后让同学抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。

同学：分组研究，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定逻辑；这些数都是根据一定挨次罗列的…只要合理老师就要赋予绝对。

老师引领归纳出：等差数列的定义；另外，老师引领同学从数学符号角度理解等差数列的定义。

（设计意图：利用对一定数量感性材料的观看、分析，提炼出感性材料的本质属性；使同学体味到等差数列的逻辑和共同特点；一开头抓住：“从其次项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的精确     表述。）

三、举一反三，巩固定义

1、判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

老师展示题目，同学思量回答。老师纠正并强调求公差应注重的问题。

注重：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.

（设计意图：强化同学对等差数列“等差”特征的理解和应用）。

2、思量4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？

（设计意图：强化等差数列的证实定义法）

四、通过定义，导出通项

1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？

2、已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的随意项an呢？

老师展示问题，放手让同学探索，然后挑选列式具有代表性的上去板演或投影出示。按照同学在课堂上的详细状况举行详细评价、引领，总结推导办法，体味归纳思想以及累加求通项的办法；让同学初步试试处理数列问题的常用办法。

（设计意图：引领同学观看、归纳、猜测，培养同学合理的推理能力。同学在分组合作探索过程中，可能会找到多种不同的解决方法，老师要逐一点评，并准时绝对、称赞同学擅长动脑、勇于创新的品质，激活同学的制造意识。鼓舞同学自主解答，培养同学运算能力）

五、应用通项，解决问题

1、推断100是不是等差数列2，9，16，…的项？假如是，是第几项？

2、在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3、求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项

老师：给出问题，让同学自己操练，老师巡察同学答题状况。

同学：老师叫同学代表总结此类题型的解题思路，老师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

（设计意图：主要是认识公式，使同学从中体味公式与方程之间的联系。初步熟悉“基本量法”求解等差数列问题。）

六、反馈练习：教材13页练习1

七、归纳总结：

1、一个定义：

等差数列的定义及定义表述式

2、一个公式：

等差数列的通项公式

3、二个应用：

定义和通项公式的应用

老师：让同学思量收拾，找几个代表发言，最后老师给出补充

（设计意图：引领同学去联想本节课所涉及到的各个方面，交流它们之间的联系，使同学能在新的高度上去重新熟悉和把握基本概念，并灵便运用基本概念。）

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥同学学习的主动性，增加同学学习数列的爱好。在探究的过程中，同学利用分析、观看，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由详细到抽象，由特别到普通的思维过程，有助于提升同学分析问题和解决问题的能力。本节课教学采纳引发办法，以老师提出问题、同学探讨解决问题为途径，以互相补充绽开教学，总结科学合理的学问体系，形成师生之间的良性互动，提升课堂教学效率。

数学教案篇二

指数与指数幂的运算教案

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开头我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

教材为了让同学在学习之外就感触到指数函数的实际背景，先给出两个详细例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让同学回顾了初中学过的整数指数幂，也让同学感触到其中的函数模型，并且还有思想教导价值。后一个问题让同学体味其中的函数模型的同时，激活同学探索分数指数幂、无理数指数幂的爱好与欲望，为新学问的学习作了铺垫。

本节支配的内容蕴涵了许多重要的数学思想办法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、靠近的思想（有理数指数幂靠近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象讨论指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

按照本节内容的特点，教学中要注重发挥信息技术的力气，尽量通过计算器和计算机创设教学情境，为同学的数学探索与数学思维提供支持。

三维目标

1、利用与初中所学的学问举行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。把握分数指数幂和根式之间的互化，把握分数指数幂的运算性质。培养同学观看分析、抽象类比的能力。

2、把握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。利用运算训练，养成同学严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让同学了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

3、能娴熟地运用有理指数幂运算性质举行化简、求值，培养同学严谨的思维和科学正确的计算能力。

4、利用训练及点评，让同学更能娴熟把握指数幂的运算性质。出示函数图象，让同学利用观看，进而讨论指数函数的性质，让同学体悟数学的简洁美和统一美。

重点难点

教学重点

（1）分数指数幂和根式概念的理解。

（2）把握并运用分数指数幂的运算性质。

（3）运用有理指数幂的性质举行化简、求值。

教学难点

（1）分数指数幂及根式概念的理解。

（2）有理指数幂性质的灵便应用。

课时支配

3课时

教学过程

第1课时

：路致芳

导入新课

思路1.学生们在预习的过程中能否知道考古学家如何推断生物的进展与进化，又怎样推断它们所处的年月？（考古学家是利用对生物化石的讨论来推断生物的进展与进化的，其次个问题我们不太清晰）考古学家是根据这样一条逻辑推想生物所处的年月的。老师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

思路2.学生们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是绝对的，这就是我们本堂课讨论的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

推动新课

新知探索

提出问题

（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

（2）如x4=a，x5=a，x6=a，按照上面的结论我们又能得到什么呢？

（3）按照上面的结论我们能得到普通性的结论吗？

（4）可否用一个式子表述呢？

活动：老师提醒，引领同学回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对比类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论举行引申、推广，互相沟通研究后回答，老师准时引发同学，详细问题普通化，归纳类比出n次方根的概念，评价同学的思维。

研究结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根惟独一个，如：-8的立方根为-2.

（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。

（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。

（4）用一个式子表述是，若xn=a，则x叫a的n次方根。

老师板书n次方根的意义：

普通地，假如xn=a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n1且n∈正整数集。

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

提出问题

（1）你能按照n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分离对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分离对应什么性质的数，有什么特点？

（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结普通逻辑呢？

（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：老师提醒同学切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，准时点拨同学，从数的分类考虑，可以把详细的数写出来，观看数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的同学准时表扬，对回答不精确     的同学提醒引领考虑问题的思路。

研究结果：(1)由于±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分离是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

（3）一个数a的奇次方根惟独一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.

（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，由于没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的研究，归纳出普通情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，假如是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a0)。

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

a为负数：n为奇数，a的n次方根惟独一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。

零的n次方根为零，记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

思量

按照n次方根的性质能否举例说明上述几种状况？

活动：老师提醒同学对方根的性质要分类把握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡察同学，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否故意义，注重观看方根的形式，准时订正同学在举例过程中的问题。

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

思量

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？假如不一定成立，那么nan等于什么？

活动：老师让同学注重研究n为奇偶数和a的符号，充分让同学多举实例，分组研究。老师点拨，注重归纳收拾。

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

解答：按照n次方根的意义，可得：(na)n=a.

利用探索得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的肯定值。

应用示例

思路1

例求下列各式的值：

（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(ab)。

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些学问，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目认真分析。观看同学的解题状况，让同学出示结果，抓住同学在解题过程中浮现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清晰运算挨次，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，假如是奇数，无需考虑符号，假如是偶数，开方的结果必需是非负数。

解：(1)3(-8)3=-8;

（2）(-10)2=10;

（3)4(3-π）4=π-3;

（4）(a-b)2=a-b(ab)。

点评：不注重n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题浮现的一个重要缘由，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

变式训练

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1)；

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第(3)题，往往忽略a与1大小的研究，造成错解。

思路2

例1下列各式中正确的是（）

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活动：老师提醒，这是一道挑选题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑按照方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体味方根运算的实质，同学先思量哪些地方简单出错，再回答。

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。

(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，按照运算挨次也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。

(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。

(4)D项是一个正数的偶次方根，按照运算挨次也应如此，故D项正确。所以答案选D.

答案：D

点评：本题因为考查n次方根的运算性质与运算挨次，有时极易选错，选四个答案的状况都会有，因此解题时千万要精心。

例23+22+3-22=__________.

活动：让学生们乐观思量，沟通研究，本题乍一看内容与本节无关，但认真一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，按照方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个彻低平方式就更为关键了，从何处入手？需通过和的平方公式与差的平方公式化为彻低平方式。正确分析题意是关键，老师提醒，引领同学解题的思路。

解析：由于3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

点评：不难看出3-22与3+22形式上有的特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到方法把其化成一个彻低平方式。

思量

上面的例2还有别的解法吗？

活动：老师引领，去根号经常通过彻低平方公式，有时平方差公式也可，学生们观看两个式子的特点，具有对称性，再考虑并沟通研究，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正巧抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。

另解：通过整体思想，x=3+22+3-22，

两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

点评：对双重二次根式，特殊是A±2B形式的式子，我们总能找到方法将根号下面的式子化成一个彻低平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体通过彻低平方公式和平方差公式去解。

变式训练

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。

解：由于a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

点评：通过方根的运算性质转化为去肯定值符号，是解题的关键。

知能训练

（老师用多媒体显示在屏幕上）

1、以下说法正确的是（）

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示（以上n1且n∈正整数集）

答案：C

2、化简下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

3、计算7+40+7-40=__________.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提高

问题：nan=a与(na)n=a(n1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。

活动：组织同学结合前面的例题及其解答，举行分析研究，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

利用归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时研究一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时研究一下，就可得到相应的结论。

解：(1)(na)n=a(n1，n∈N)。

假如xn=a(n1，且n∈N)故意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。

当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。

例如：525=2，5(-2)5=-2.

当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以假如a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;假如a0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

即(na)n=a(n1，n∈N)是恒等式，nan=a(n1，n∈N)是有条件的。

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

课堂小结

同学认真沟通研究后，在笔记上写出本节课的学习心得，老师用多媒体显示在屏幕上。

1、假如xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，假如是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a0)。

(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、把握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.

作业

课本习题2.1A组1.

补充作业：

1、化简下列各式：

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解：(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

2、若5a8，则式子(a-5)2-(a-8)2的值为__________.p=

解析：由于5a8，所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.p=

答案：2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑惟独在开方的前提下才可能解出，由此提醒我们想方法去掉一层根式，

不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案：23

设计感想

同学已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课因为方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举详细实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种状况来举行，每种状况又分a0，a0，a=0三种状况，并结合详细例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵便处理这些题目，协助同学加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学。

第2课时

：郝云静

导入新课

思路1.碳14测年法。本来宇宙射线在大气层中能够产生发射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入全部活组织，先为植物汲取，再为动物汲取，只要植物和动物生存着，它们就会不断地汲取碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止汲取碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开头衰变并消逝。对于任何含碳物质只要测定剩下的发射性碳14的含量，便可判断其年月（半衰期：经过一定的时光，变为本来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。

思路2.学生们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是绝对的。这就是本节的主讲内容，老师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

推动新课

新知探索

提出问题

（1）整数指数幂的运算性质是什么？

（2）观看以下式子，并总结出逻辑：a0，

①；

②a8=(a4)2=a4=，；

③4a12=4(a3)4=a3=；

④2a10=2(a5)2=a5=。

（3）通过(2)的逻辑，你能表示下列式子吗？

，，，(x0，m，n∈正整数集，且n1)。

（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

（5）你能推广到普通的情形吗？

活动：同学回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，认真观看，特殊是每题的开头和最后两步的指数之间的关系，老师引领同学体味方根的意义，用方根的意义加以解释，指点引发同学类比(2)的逻辑表示，借鉴(2)(3)，我们把详细推广到普通，对写正确的学生准时表扬，其他同学鼓舞提醒。

研究结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；

a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分离写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。

按照4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。

（3）通过(2)的逻辑，453=，375=，5a7=，nxm=。

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

（5）假如a0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a0，m，n∈正整数集，n1)。

综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，老师板书：

规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a0，m，n∈正整数集，n1)。

提出问题

（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？

（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？

（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a0，去掉这个规定会产生什么样的后果？

（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

活动：同学回想初中学习的情形，结合自己的学习体味回答，按照零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，老师在黑板上板书，同学合作沟通，以详细的实例说明a0的须要性，老师准时作出评价。

研究结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

规定：正数的负分数指数幂的意义是==1nam(a0，m，n∈=N+，n1)。

（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没故意义。

（4）老师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：

正数的正分数指数幂的意义是=nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，正数的负分数指数幂的意义是==1nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没故意义。

（5）若没有a0这个条件会怎样呢？

如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子浮现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是故意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在故意义的状况下总表示正数，而不是负数，负数只是浮现在指数上。

（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

有理数指数幂的运算性质：对随意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈Q)。

我们通过分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。

应用示例

例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4)。

活动：老师引领同学考虑解题的办法，通过幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，按照题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，通过有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪出示出来。

解：(1)=22=4;

（2）=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

（4）=23-3=278.

点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在举行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为认识的根式运算，如=382=364=4.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

a3?a;a2?3a2;a3a(a0)。

活动：同学观看、思量，按照解题的挨次，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次举行，掌握好运算性质和挨次，同学研究沟通自己的解题步骤，老师评价同学的解题状况，鼓舞同学注重总结。

解：a3?a=a3?=；

a2?3a2=a2?=；

a3a=。

点评：通过分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质举行根式运算时，其挨次是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特殊要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

例3计算下列各式（式中字母都是正数）。

（1）；

（2）。

活动：先由同学观看以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的挨次是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算逻辑扩充到分数指数幂后，其运算挨次仍符合我们以前的四则运算挨次，再解答，把自己的答案用投影仪出示出来，互相沟通，其中要注重到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算挨次举行，要注重符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方举行计算，认识后可以简化步骤。

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a;

（2）=m2n-3=m2n3.

点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则举行运算了。

本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

变式训练

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4计算下列各式：

（1）(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a0)。

活动：先由同学观看以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。通过分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。

解：(1)原式=

==65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能训练

课本本节练习1,2,3

【补充练习】

老师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让同学解答，老师巡察，引发，对做得好的学生赋予表扬鼓舞。

1、(1)下列运算中，正确的是（）

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0D.(-a2)3=-a6

（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，故意义的是（）

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

A.aB.a2C.a3D.a4

（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）

A.B.

C.D.

（5）化简的结果是（）

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2、计算：(1)--17-2+-3-1+(2-1)0=__________.

（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

3、已知x+y=12，xy=9且xy，求p=的值。

答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8

3、解：。

由于x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

又由于xy，所以x-y=-2×33=-63.p=

所以原式==12-6-63=-33.

拓展提高

1、化简：。

活动：同学观看式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式举行因式分解，按照本题的特点，注重到：

x-1=-13=；

x+1=+13=；

。

构建解题思路老师适时引发提醒。

解：

=

=

=

=。

点拨：解这类题目，要注重运用以下公式，

=a-b，

=a±+b，

=a±b.

2、已知，探索下列各式的值的求法。

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)。

解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47;

（3）因为，

所以有=a+a-1+1=8.

点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后实行“整体代换”或“求值后代换”两种办法求值。

课堂小结

活动：老师，本节课学生们有哪些心得？请把你的学习心得记录在你的笔记本上，学生们之间互相沟通。同时老师用投影仪显示本堂课的学问要点：

（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，正数的负分数指数幂的意义是==1nam(a0，m，n∈正整数集，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没故意义。

（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

（3）有理数指数幂的运算性质：对随意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈Q)。

（4）说明两点：

①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。

②整数指数幂的运算性质对随意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以通过=am来计算。

作业

课本习题2.1A组2,4.

设计感想

本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让同学反复理解分数指数幂的意义，教学中可以利用根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观看、归纳和类比的办法完成，因为是硬性的规定，没有合理的解释，因此多支配一些练习，强化训练，巩固学问，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。

第3课时

：郑芳鸣

导入新课

思路1.学生们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：老师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。

思路2.学生们，在初中我们学习了函数的学问，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念举行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种容易的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的进展，社会的长进，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的学问，我们必需学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必需把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，老师板书本节课的课题。

推动新课

新知探索

提出问题

（1）我们知道2=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值？

（2）多媒体显示以下图表：学生们从上面的两个表中，能发觉什么样的逻辑？

2的过剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

……

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

……

（3）你能给上述思想起个名字吗？

（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，按照你学过的学问，能作出推断并合理地解释吗？

（5）借助上面的结论你能说出普通性的结论吗？

活动：老师引领，同学回忆，老师提问，同学回答，乐观沟通，准时评价同学，同学有困窘时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：

问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。

问题(2)对图表的观看一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注重其关联。

问题(3)上述办法实际上是无限临近，最后是靠近。

问题(4)对问题赋予大胆猜想，从数轴的观点加以解释。

问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到普通的情形，即由特别到普通。

研究结果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。

（2）第一个表：从大于2的方向靠近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向靠近。

其次个表：从小于2的方向靠近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向靠近。

从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向临近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向临近，可以说从两个方向无限地临近，即靠近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述变化逻辑变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点逼近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.451.4151.41451.414251.41421……51.4142251.414351.41551.4251.5.

充分表明是一个实数。

（3）靠近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的学问。

（4）按照(2)(3)我们可以判断是一个实数，猜想一个正数的无理数次幂是一个实数。

（5）无理数指数幂的意义：

普通地，无理数指数幂aα（a0，α是无理数）是一个确定的实数。

也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。

提出问题

（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必需规定底数是正数？

（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？

（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？

活动：老师组织同学互助合作，沟通探讨，引领他们用反例说明问题，注重类比，归纳。

对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。

对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应该与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。

对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。

研究结果：(1)底数大于零的须要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。

（2）由于无理数指数幂是一个确定的实数，所以能举行指数的运算，也能举行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：

①ar?as=ar+s（a0，r，s都是无理数）。

②（ar)s=ars(a0，r，s都是无理数）。

③（a?b)r=arbr(a0，b0，r是无理数）。

（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。

实数指数幂的运算性质：

对随意的实数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈R)。

②(ar)s=ars(a0，r，s∈R)。

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈R)。

应用示例

例1通过函数计算器计算。（精确到0.001）

(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4)。

活动：老师教会同学通过函数计算器计算，认识计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；

对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；

对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；

对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，第二按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。

同学可以互相沟通，挖掘计算器的用途。

解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3)≈2.336;(4)≈6.705.

点评：娴熟把握用计算器计算幂的值的办法与步骤，感触现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。

例2求值或化简。

(1)a-4b23ab2(a0，b0)；

（2）(a0，b0)；

(3)5-26+7-43-6-42.

活动：同学观看，思量，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应当把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，老师有针对性地提醒引领，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应该统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑彻低平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对同学作准时的评价，注重总结解题的办法和逻辑。

解：(1)a-4b23ab2==3b46a11。

点评：根式的运算经常化成幂的运算举行，计算结果如没有特别要求，就用根式的形式来表示。

（2）

=

=425a0b0=425.

点评：化简这类式子普通有两种方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个办法是采纳分式的基本性质把负指数化成正指数。

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

点评：考虑根号里面的数是一个彻低平方数，千万注重方根的性质的运用。

例3已知，n∈正整数集，求(x+1+x2)n的值。

活动：同学思量，观看题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，与具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，老师引领同学考虑问题的思路，须要时赋予提醒。

=。

这时应看到1+x2=，

这样先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。

解：将代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

==5.

点评：运用整体思想和彻低平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法。

知能训练

课本习题2.1A组3.

通过投影仪投射下列补充练习：

1、化简：的结果是（）

A.B.

C.D.

解析：按照本题的特点，注重到它的整体性，特殊是指数的逻辑性，我们可以举行适当的变形。

由于，所以原式的分子分母同乘以。

依次类推，所以。

答案：A

2、计算2790.5+0.1-2+-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3、计算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。

本题可以继续向下做，去掉肯定值，作为思量留作课下练习。

4、设a0，，则(x+1+x2)n的值为__________.

解析：1+x2=。

这样先算出1+x2，再算出1+x2，

将代入1+x2，得1+x2=。

所以(x+1+x2)n=

==a.

答案：a

拓展提高

参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂的意义。

活动：老师引领同学回顾无理数指数幂的意义的过程，通过计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，按照这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值，通过靠近思想，“逼出”的意义，同学合作沟通，在投影仪上出示自己的探索结果。

解：3=1.73205080…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表。

3的过剩近似值

的过剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585

1.743.3403516781.733.317278183

1.7333.3241834461.7313.319578342

1.73213.322110361.73193.321649849

1.732063.3220182521.732043.3219722

1.7320513.3219975291.7320493.321992923

1.73205093.3219972981.73205073.321996838

1.732050813.3219970911.732050793.321997045

…………

我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数

21.7,21.72,21.731,21.7319，…，

同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：

21.8,21.74,21.733,21.7321，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为，

即21.721.7321.73121.7319……21.732121.73321.7421.8.

也就是说是一个实数，=3.321997…也可以这样解释：

当3的过剩近似值从大于3的方向靠近3时，23的近似值从大于的方向靠近；

当3的不足近似值从小于3的方向靠近3时，23的近似值从小于的方向靠近。

所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述逻辑变化的结果，即≈3.321997.

课堂小结

（1）无理指数幂的意义。

普通地，无理数指数幂aα（a0，α是无理数）是一个确定的实数。

（2）实数指数幂的运算性质：

对随意的实数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈R)。

②(ar)s=ars(a0，r，s∈R)。

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈R)。

（3）靠近的思想，体味无限临近的含义。

作业

课本习题2.1B组2.

设计感想

无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让同学利用多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让同学自己利用实际状况去探究，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能举行推理，只能利用多媒体的教学手段，让同学体味，特殊是靠近的思想、类比的思想，多作练习，提升同学理解问题、分析问题的能力。

备课资料

【备用习题】

1、以下各式中成立且结果为最简根式的是（）

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2、对于a0，r，s∈Q，以下运算中正确的是（）

A.ar?as=arsB.(ar)s=ars

C.abr=ar?bsD.arbs=(ab)r+s

答案：B

3、式子x-2x-1=x-2x-1成立当且仅当（）

A.x-2x-1≥0B.x≠1C.x1D.x≥2

解析：办法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-10，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，则式子x-2x-1=x-2x-1成立。

故选D.

办法二：

对A，式子x-2x-1≥0连式子成立也保证不了，尤其x-2≤0，x-10时式子不成立。

对B，x-10时式子不成立。

对C，x1时x-1无意义。

对D正确。

答案：D

4、化简b-(2b-1)(1b2)。p=

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1b2)。p=

5、计算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

两边立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+1540，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

高中数学教案模板篇三

教学目标

1、明确等差数列的定义。

2、把握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题

3、培养同学观看、归纳能力。

教学重点

1、等差数列的概念；

2、等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、掌握和应用

教具预备

投影片1张

教学过程

(I)复习回顾

师：上两节课我们共学生习了数列的定义及给出数列的两种办法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片）

(Ⅱ)讲授新课

师：看这些数列有什么共同的特点？

1，2，3，4，5，6;①

10，8，6，4，2，…；②

生：乐观思量，找上述数列共同特点。

对于数列①(1≤n≤6)；(2≤n≤6)

对于数列②-2n(n≥1)(n≥2)

对于数列③(n≥1)(n≥2)

共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：

等差数列：普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2，。

二、等差数列的通项公式

师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

若将这n-1个等式相加，则可得：

即：即：即：……

由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①(1≤n≤6)

数列②：(n≥1)

数列③：(n≥1)

由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解

例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？假如是，是第几项？

解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

(Ⅲ)课堂练习

生：（口答）课本P118练习3

（书面练习）课本P117练习1

师：组织同学自评练习（同桌研究）

(Ⅳ)课时小结

师：本节主要内容为：①等差数列定义。

即(n≥2)

②等差数列通项公式(n≥1)

推导出公式：

(V)课后作业

一、课本P118习题3.21，2

二、1.预习内容：课本P116例2P117例4

2、预习提纲：

①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？

②等差数列有哪些性质？

高中数学教案篇四

教学预备

教学目标

1、数学学问：把握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质；

2、数学能力：利用等差数列和等比数列的类比学习，培养同学类比归纳的能力；

归纳——猜测——证实的数学讨论办法；

3、数学思想：培养同学分类研究，函数的数学思想。

教学重难点

重点：等比数列的概念及其通项公式，如何利用类比通过等差数列学习等比数列；

难点：等比数列的性质的探究过程。

教学过程

教学过程：

1、问题引入：

前面我们已经讨论了一类特别的数列——等差数列。

问题1：满足什么条件的数列是等差数列？如何确定一个等差数列？

（同学口述，并投影）：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。

已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：（板书）an=a1+(n-1)d。

师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即假如一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

（第一次类比）类似的，我们提出这样一个问题。

问题2：假如一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。

（这里以填空的形式引领同学发挥自己的主意，对于“和”与“积”的状况，可以通过详细的例子予以说明：假如一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”（或“积”）等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复浮现的“周期数列”，而与等差数列最相像的是“比”为同一个常数的状况。而这个数列就是我们今日要讨论的等比数列了。）

2、新课：

1)等比数列的定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。

师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的？类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通项公式，要知道什么？

师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的办法：累加法和迭代法。

公式的推导：（师生共同完成）

若设等比数列的公比为q和首项为a1，则有：

办法一：（累乘法）

3)等比数列的性质：

下面我们一起来讨论一下等比数列的性质

利用上面的讨论，我们发觉等比数列和等差数列之间似乎有着相像的地方，这为我们讨论等比数列的性质提供了一条思路：我们可以通过等差数列的性质，利用类比得到等比数列的性质。

问题4：假如{an}是一个等差数列，它有哪些性质？

(按照同学实际状况，可引领同学利用详细例子，寻觅逻辑，如：

3、例题巩固：

例1、一个等比数列的其次项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值。

答案：1458或128。

例2、正项等比数列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，则log15a1a2a3…a20=_10____.

例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项？

（本题为开放题，没有唯一的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，则ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解）

1、小结：

今日我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，利用今日的学习

我们不仅学到了关于等比数列的有关学问，更重要的是我们学会了由类比——猜测——证实的科学思维的过程。

2、作业：

P129：1，2，3

思量题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些项：6，12，24，48，……，组成一个新的数列{cn