203lecture-代数拓扑讲义

代数拓扑讲大学数学学院，2013年代数拓扑是关于拓扑空间的代数结构的研究；这些代数结构，在拓扑空间的连续形变下是不变的，因而是拓扑空间的整体不变量。比如说，一个空间的基本群就是在抽象代数中所学的群；而一个空间的同调群则是Abl群，如果考虑环R为系数的同调群，则该同调群是一个R-模，等等。在考虑空间的各种关系时（比如两个空间之间的连续、嵌入等等，这些群或模也因之具备各种特别的性质，这在以后将逐步学习到。本学期代数拓扑课程内容拟包括：1、拓扑空间的定义与例；2、基本群与复迭空间；3、同调群；4、上同调群。主要:尤承业《基础拓扑学讲义Armstrong《基础拓扑学，丰译，《同调论第一周：拓扑空间、范畴与函 范畴和函子的定义与例............................... 的同伦...................................... 同伦等价....................................... 习 第二周：曲 流形的定 流形的定 习 第三周：曲面的分 Euler示性数..................................... 闭曲面分类定理的证明............................... 习题.......................................... 第四周：基本 的同伦...................................... 基本群的定义.................................... 一些例子....................................... 习题.......................................... 第五周：基本群—— 单位球面的基本群.................................. 基本群间的................................... 习题.......................................... 第六周：VanKampen定理、复迭空 群的乘积.................................... VanKampen定理.................................. VanKampen定理的应用.............................. 复迭空间....................................... 的提升...................................... 习题.......................................... 第七周：复迭空间—— 基本群与复迭..........................................................................................................复迭空间的分 习 第八周：同调 单纯复 链复形和链..............................................................................................................链同 习 第九周：同调群—— 链复形和链..............................................................................................................链同 标准单 奇异链复 习 第十周：同调群——再 简约奇异同调 同伦不变 习 第十一周：单纯同调与胞腔同 单纯复 胞腔复 欧氏空间和单形的定 诱导定向与关联系 单纯同调 单纯同调的计 习 第十二周：正合序列和Mayer-Vietoris定 正合序列的概 Mayer-Vietoris序 球面Sn和实射影空间RPn的同调 习 第十三周：相对同调 空间 相对奇异 例 切除定 定理13.4的证 的例 习 第十四周：Euler-Poincaré公式、Eilenberg-Steenrod公 同调群与单纯剖分的选取无 带系数的同调 Eilenberg-Steenrod公 第十五：上同调理 奇异上同 deRham同调简 万有系数定 习 第十六周：乘 模的张量 链复形的张量 Eilenberg-Zilber定理与Künneth公 Alexander- 近与奇异链的上代数结 上积(cupproduct)、卡积(cap 习 第十七周：流形与Poincaré对 第一周：拓扑空间、范畴与1.1(拓扑空间).M是一个集合。MM的子集上指定一组开M一个赋予了拓扑的空间称为拓扑空间。给定空间的一点，包含该点的开集称为该点的一个邻域。假设M和N是两个拓扑空间。从M到N的一个f:M→N称为连续如果fNV，f−1(V)M中的一个开集。拓扑空间及其上面的连续是这学期主要研究的对象。1.2.RR的所有子集。根据拓扑空间的定义，这样定义例1.3.X是一个拓扑空间，R是它的一个子集。R上有一个诱导拓扑：R上的一个子VR的一个开集如果存在X上的一个U使得V=U∩R。例1.4.如果X是一个拓扑空间，T是X的一个商空间；记p:X→T为商。T上有一个商拓扑：T上的一个子集VT的一个开集如果p−1(V)⊂XX的一个开集。例1.5.nRn，以及它的任意子集、商集，子集的商集，等等。回顾：URnUxε>0,x为中心、ε为半径的开球Bε(x)⊂U。容易验证这样定义的开集满足拓扑的公理，因此Rn形成一个拓扑空间。有些空间的拓扑满足下面的分离公理T1公理xy，xy，yxT2公理xy满足T2公理的拓扑空间称为Hausdorff空间。要学习到的很多拓扑空间（比如流形）都是Hausdorff空间。注记1.6.要学习的不是一个个独立的拓扑空间，而是所有的拓扑空间，因为拓扑空间的联系对而言更重要。根据悖论，不能考虑“所有的集合组成的集合因此上面的“所有的拓扑空间”这个概念比较模糊。为了给这样的一类具有某种性质的全体赋予一个真实的、数学上的意义，数学家们发明了范畴的(英文：Ctgory)概念。所有的拓扑空间以及他们上的连续形成一个范畴。因为范畴这个概念实在太重要了，下面集中讲一讲。1.7(范畴).一个范畴C一类数学对象XYMor(XY)XY的态射（fMor(XY可写fXY一个复合规则Mor(XYMor(YZMor(XZ)（记号：(fg7→gf。结合律：对于任意的态射f:X→Y,g:Y→Z,h:Z→W，h◦(g◦f)=(h◦g)◦单位律X有一个单位态射idX:X→X使得对f:Y→XidXff和对任何gXZgidXg例1.8.集合及集合间的组成一个范畴，记为Set例1.9.GroupR，R上的左模（右模、双1.10.k是一个数域。k上的结合代数、交换代数和李代数以及其上的同态构成范畴，分别记为、mk、Liek。例1.11.流形以及流形间的连续形成一个范畴。给定一个流形，其上的向量丛及丛例1.12.考虑所有有序集合{0,1,2,···,m}，其中m为任意自然数。把如上的集合简写为{m}；对于每两个这样的有序集合{m},{n}，考虑从{m}到{n}单调上升的组成的例1.13.在上例中，把{0,1,2,···,m}等同为m+1个单位圆。定义从{m}到{n}的态射为连接{m}和{n}的二维曲面。如此得到一个新的范畴，这个范畴在数学物理、特别1.14(协变函子).假设CD是范畴。一个协变函子F:C→DCXDFCfX→Y对应于D的一个态射F(fF(X→F(Y)。复合律：对于任意的态fXYgY→ZF(gfF(gF(f单位律：对于任意X，有F(idX)=idF(X)所有学习的代数拓扑，就是研究从拓扑空间这个范畴到群、模这样的范畴之间的一个个函子。比如说基本群就是从拓扑空间范畴到群范畴的函子，同调群是从拓扑空间范畴到R-模范畴的函子，以后会学到的高阶同伦群是从拓扑空间范畴到李代数范畴的函子。直观地讲，函子的意思类似照相；代数拓扑就是给拓扑空间照一张一张的相（代数结构从这一张一张的相把拓扑空间给还原出来。例1.15(忘记函子).从群以及群同态范畴Group（类似地，拓扑空间及其连续范畴、R上的模范畴等等）到集合以及集合间范畴Set的函子定义如下G

−→−→MorGroup(G,H)∋ −→f∈MorSet(G,F可以验证，如上定义的对应是一个协1.16.kA

−→−→MorAssoc(A,B)∋ −→f∈MorLie(G,F其中，Aab∈A，[a,ba·b−b·a。如上定义的对应是一1.17.WX对应于所有的从W到X的连续C[W,X]；任意f:X→Y对应于如下C[W, C[W,Y f◦如此给定的对应给出了拓扑空间范畴到集合范畴之间的一个协变函子。1.18(反变函子).假设CD是范畴。一个反变函子F:C→DCXDFCf:X→Y对应于DF(f):F(Y)→F(X)。复合律：对于任意的态fXYgYZF(gf)=F(fF单位律：对于任意X，有F(idX)=idF(X)例1.19.假设k是一个数域。k上的线性空间及线性组成一个范畴（线性空间范畴。考虑把k上的线性空间V对应到它的对偶空间V∗=Homk(V,k)，且把每个线性f:V→W对应到其对偶线性f∗:W∗→V∗。如此对应给出了线性空间范畴到自己的一个反变函子。例1.20(参考例1.17). 给定一个空间W。考虑从拓扑空间范畴到集合范畴的如下对应：拓扑空间X对应于所有的从X到W的连续C[X,W]；任意f:X→Y对应于如下C[Y,W C[X,W µ◦如此给定的对应给出了拓扑空间范畴到集合范畴之间的一个反变函子。 的同设X和Y都是拓扑空间，记C(X,Y)为所有从X到Y的连续组成的集合。f,gC(XY)；所谓的fg同伦f可以“连续地”变为g定义1.21.设f,g∈C(X,Y)。称f和g是同伦的，如果存在连续H:X×I→Y得对任x∈X，H(x0f(x)H(x1)=g(x)。fg同伦记f≃g，或者f≃Hg，或H:f≃gHfg的同伦。例1.22.设X为一拓扑空间，则任意两个f,g∈C(X,Rn)是同伦的：令H:X×I→为H(x,t)=(1−t)f(x)+Hfg例1.23.fgC(XSn)，且对于任xX，f(x)̸=−g(x)fg是同伦的，连接它H(x,t)=(1−t)f(x)+||(1−t)f(x)+1.24.证明.自反性f∈C(XY)，令H(xt)≡f(x)，对任给的x∈XtIH:f≃fH2g；传递性设

h{H1H2(x,t)

H1(x,2t), 0≤t≤1/2,H2(x,2t− 1/2<t≤可以看出H1H2是连续，从而给出f≃h1.25f0f1XY，g0g1YZg0f0g1f1XZ证明.Ff0f1Gg0g1FXIYIF(x,t)=(F(x,t),GFg0f0g1f1例1.26.设X是一拓扑空间。令C[X,Rn]是所有从X到Rn的连续组成的集合，有对于任给的f∈C[X,Rn]同伦于一个常值。定义1.27.同伦于常值的连续f:X→Y通常称为零伦的例1.28.设f,g:X→S1满足f(x)=−g(x)，则f≃g。构造同伦如Ht(x)=eπitf(x)。特别地，在S1上，对径q:S1→S1,x7→−x跟恒同id:S1→S1同伦。同伦等价定义1.29.设XY是两个拓扑空间。称X和Y是同伦等价的，如果存在fXYgY使g◦f≃IdX,f◦g≃IdY这里，f和g为互为同伦逆的同伦，且记X≃Y命题1.30.同伦等价关系是一个等价关两个同伦等价的拓扑空间成为具有相同的同伦型1.31RmRn，特别{0Rn证明.证明Rn≃{0}。f g:{0}−→ 并H(x,t)=(1−t)·Hfgid{0}gfidRnH1.32对于任给的拓扑X，XIX，其中I是单位[01]证明.例1.31-1.32都是如下情形的一例1.33.设A是X的子空间，i:A→X是包含。如果存在收缩r:X→A（即r◦iidAA→A）i◦r≃idXX→X，就AX的一个形变收缩核。显然，r与i是一对互为同伦逆的同伦等价；有A≃X。例1.34.Rn\{0}≃Sn−11.35.MöbiusS1例1.36.S1∨S1S1S11.37.T2\{DiskS1S1定义如下范畴，称为同伦范畴：它的对象是拓扑空间，态射是连续同伦类。同伦范畴中相互“等价”的空间为同伦等价的空间。拓扑空间上的许多函子（不变量，都是同伦不变习习题1.1.T1T1公理的例1.2.3个协变函子、31.3.证明例1.12习题1.4.XX中的点；对任给的xyxyyxγ的同伦类[γ]，复合规则是道路类的乘法[γ′]◦[γ]:=[γ′·γ]。习题1.5.A对任意的拓扑空间X，以[A,X]记同伦类的集合{A→X的的同伦类}。f:X→Y使得ϕ:A→X的同伦类变成f◦ϕ:A→Y的同伦类。证明：得到一[A,−]:Top={拓扑空间，连续}→Set={集合，函数对任意的拓扑空间Y，以[Y,A]记同伦类的集合{Y→A的的同伦类}。f:X→Y使得ϕ:Y→A的同伦类变成f◦ϕ:X→A的同伦类。证明：得到一[−,A]:Top={拓扑空间，连续}→Set={集合，函数第二周：曲2.1(等价关系).X是一个集合。X∼称为∼自反性：任给x∈Xx∼对称性：如果xy，则y传递性：如果x∼yy∼z，则x∼z集合X可以按照等价关系分成一个个子集，每个子集是一个等价类[x]={y∈X:y∼x}。2.2是集合X上的一个等XX中等价类的集合，称X的商集；称为商

p: −→X/ 定义2.3.X是一个拓扑空间，TX的一个商集（或称为商空间p:X→T。T上有一个商拓扑：TVTp−1(V)⊂XX的一个根据连续的定义，商自然是续。设A是X的一个子集；可以X∼如下：A中的点互相等价，A之外的点自己跟自己等价。有时候记X/A:=X/∼。2.4(柱面)考虑R{(xyR2|x|1|y|1R2，并令(−1y(1y)y[−11]。R∼是一个柱面。另外一种表述R={(xy)∈R2:|y|≤1}⊂R2并令(xy)∼(x′y′)当且仅当|x−x′|=2k(k∈Z)y=y′，如此定义的等价关系给出的商空间跟2.5(Möbius带).考虑R={(xy)R2:|x|≤1|y|≤1R2(−1y)(1−y)y∈[−11]。R是一Möbius带。另外一种表述方法R{(xyR2|y|1R2，并令(x,y)∼(x′,y′)当且仅当|x−x′|=2k,y=(−1)ky′(k∈Z)，有R/∼是一个Möbius2.6(环面)R={(xy)∈R2:|x|≤1|y|≤1}⊂R2，并(−1y)∼(1y)(x−1)∼(x1)xy∈[−11]。R∼是一个柱面。另外一种表述方法：对于R2(xy∼(x′y′当且仅当|x−x′|=2k,|y−y′|=2l(k,l∈Z)，如此给出的商空间是一个环面。例2.7(Klein瓶).考虑R={(xy)∈R2:|x|≤1|y|≤1}⊂R2，并令(−1y)∼(1y)(x−1)(−x1)xy∈[−11]。R/∼是一个Klein瓶2.8(流形).MHausdorff空间。M称为一个n维流形如果对于任给的一x∈Mx的一个开集（x的一个邻域）URn+如果一个Hausdorff空间M中的每个点有一个邻域U同构于Rn或者Rn:={(x1···xn)∈Rn:xn≥0}中的开集，前者中的点称为空间M的内点；否则称为边界点。带有边界点的M称为带边流形。+2.9Rn是一个n维流形2.10.Mnn2.11.MmNnmn维下面来看一些更具体的例子2.12(2维球面S2S2{(xyz∈R3|x2y2z21}⊂R3。S2是一个2例2.13(2.S2x∼y⇐⇒x=令RP2=S2/∼；RP22维流形，称为实射影平2.14(环面).二位环面T2S1S1是一个2维流形2.15(Klein瓶)T2上引入如下等价关1{1zz= =z(z,w)∼(z′,w′)K=T2/∼，它同构于一个Klein

w=

或 w=例2.4和例2.5中的柱Möbius带都不2维流形，它们是带边2维流形环面，S2,T2都是可定向的；Möbius带，R2，Klein瓶都是不可定向的。定向这个问题如果要真正给出数学上严格的定义，需要用到后面同调群的定义，暂时不讲。在二维的情形，通过如下方法给出。定义2.16(贴空间)XY是两个拓扑空间，A⊂X,fA→Y连续X∪Y中规定等价关系使得等价类为下面的两种形式：X\A{yf−1(y)y∈Y称商空间(X∪Y)/∼为f的贴空间，记作XfY定义2.17(连通和).MN2维流形。定义它们的连通和MN中分别取一2D1,D2D1D2S1构为f:S1→S1。MN的连通和，记为M#N，为如下拓扑空 (M\D1)f(N曲面如果同构与m个实射影平面的连通和（记为mP2），称它是不可定向的。下面的一个问题是：是不是所有的无边的二维曲面都可以按照上述定义分为可定向的和不可定向的呢？也就是说，任给一个无边的二维曲面，它可否由若干个环面或者实射影平面做连通和得到？这个答案是肯定的，这个就是闭曲面的分类定理。习习题2.1.证明RP222.2.fS2R4f(x,y,z)=(x2−y2,xy,xz,f(S2)=RP22.3.gII→R5g(x,y)=(cos2πx,cos2πy,sin2πy,sin2πxcosπy,sin2πxsin证明g(I×I)=Klein瓶.10第三周：曲面在讲闭曲面的分类之前，继续学些商空间的例子3.1.D2/∂D2同构于球面S2。f −→ re −→ r(1−r)cosθ, r(1−r)sinθ,2r−有f是连续函数，且是满。（根据以前学到的点集拓扑的知识，f其实是一个商）f把D2的所有内点一一地映到S2除了北极以外的点，然后把边界点映到北极，从例3.2.设A是环面T2上一个经圆和一个纬圆的并集。有T2/A是一个球面S2。例3.3.设∂M是Möbius带M上的边界。有M/∂M同构于一个实射影平面RP2。例3.4.将平环（圆柱）一条边界上的对径点粘合，得到Möbius带。3.5.Möbius，地，用所谓的“多变形表示”有如下构造曲面的方式， T2 的多变形表示3.6.T2#T2的构造T2#T2可以用多边形表示写成aba−1b−1cdc−1d−1例3.7.RP2#RP2（Klein瓶） 定理3.8(闭曲面分类定理).任何一个闭曲面（二维流形）同构于下列曲面之一：球面S2，m个环面的连mT2(m≥1)，n个实射影平面的nRP2(n≥1)；并且，后者之间注记3.9.S20T2这个定理的证明比较长，留到专门的一节课来讲。现在不妨讲一讲这个定理的一个Euler3.10(三角剖分).M是一个闭曲面。M的一个三角剖分MT1,T2,···,Tn}其中每一个Ti都同构于R2中的一个三角形，把三角形中顶点的像称为这个剖分的顶点，把三角形的边称为这个剖分的边，把三角形的面（即）称为这个剖分的面。这个闭覆盖满足以下条件：任意两个互不相同的Ti和Tj相交于一个顶点，要么它们相交于一整条边。T.Radó,ÜberdenBegriffderRiemannschenFläche,ActaLitt.Sci.Szeged.2(1925),101-L.V.AhlforsandL.Sario,RiemannSurfaces.PrincetonUniversityPress,Princeton,N.J.,1960,Chapter3.11(Euler示性数).MKM示性K中顶点的个数−K中边的个数+K中面的个数记为χ(M)命题 曲面的Euler示性数不依赖于它的三角剖分，因此是曲面的拓扑不变量证明.关于这个命题的详细说明，可以参考Masy的书第28－29页。本质上，对于两个不同的剖分，可以通过加细的方法，得到关于曲面的一个共同的剖分；而加细的过程并不改变Eulr示性数本身。命题3.13.设M,N是两个闭曲面，有χ(M#N)=χ(M)+χ(N)−2证明K,LM,N的两个三角剖分，M#NKL的一个面，然后将这两个面的边缘等同得到。在这个过程中，顶点的个数减少3，边的个数减少3，面的个数减少2，从而得到M#N的Euler示性数是χ(M),χ(N)两者的和减去2。3.14.(1)χ(T2)=0,χ(RP2)=1χ(nT2)=2−2n,χ(mRP2)=2−m证明.(1)T2RP2的多边形表示得到；(2)由命题3.13(1χ(nT2)=χ((n−1)T2#T=χ((n−1)T2)+χ(T2)−=χ((n−1)T2)− ·····=χ(T2)−2(n− 2−nRP2证明思路大体上是这样的：1、证明任何一个曲面都有一个多边形表示；2、通过“剪和贴”的技术将多边形表示标准化；3、证明标准化的表示就mT2nRP2。第一步：证明任何一个曲Massey的书1718第二步：证明多边形表示（8889）S2RP2T2Klein瓶，它们的多边形表示是清楚的。下面假设一个多边形表示不是上四者之一。先引进一个概念。对于一个曲面的多边形表示，称需要粘接的两条边称为一个边对，如果它们是同向的，称为同；否则称为反。另外，多变形的顶点在粘接关系下的等价类称为顶点类。对于一个多边形表示，的剪和贴分为两类A粘接相邻的反手术A使得顶点减少1，边减少2；手术B不改变多边形的顶点和边的个数。对于一个多边 1，可以用如下的方式使得它的顶点类个数减少：如此下去，可以假设多边形表示只有一个顶点类。记这个多边形表示为Γ，有如下引理3.15.Γ中的反不相邻，且至少与另一边对相间排列证明.设a是一个反的一条边，则另外一条边不可能跟它相邻，否则顶点类的个数大于1。进而言之，如果这对边对不与其它任何边对相间排列，则一定可以把这个多边形表示的顶点类分成两类，又与一个顶点类。有两种情况：(1)Γ没有同向边对；(2)Γ至少有一个同向边对。对于第一种情形，并一直进行下去，最后得到表示a1b1a−1b−1···ambma−1b−1 m对于第二种情形，先施行手术使得不再有不相邻的同。如果此时没有反了，完成；如果有反，做以下手一直到没有反，最后得到表示a1a1···anan，完成第三步：证明任何一个标准多边形表示同构于mT2或者由第二步，得到一个多边形表示等价于一个标准的多边形表示a1b1a−1b−1··· 或者a1a1··· m由前面一小节的内容知道前者的代表mT2，后者代表nRP2。证明至此完成习3.1证明：一个Möbius习题3.2.RP2D2MöbiusMöbiusM的边缘∂M和圆盘D2的边缘∂D2分别同构于圆S1，记f:∂M→∂D2为恒；要证贴空同构射影平面RP2

Mf3.3.写出下列用多边形表示的闭曲面的类型（mT2nRP2(1) (2) (4)3.4.证明：nT2#mRP2∼(2nm)RP2第四周设X和Y都是拓扑空间，记C(X,Y)为所有从X到Y的连续组成的集合。回忆定义4.1.设f,g∈C(X,Y)。称f和g是同伦的，如果存在连续H:X×I→Y得对任x∈X，H(x0f(x)H(x1)=g(x)。fg同伦记f≃gf≃Hg，或H:f≃gHfg的同伦。定义4.2.XY是两个拓扑XY是同伦等价的，如果存在fXYgY使g◦f≃IdX,f◦g≃IdY这里，f和g为互为同伦逆的同伦，且记X≃Y定义4.3(形变收缩核).设A是X的子空间，i:A→X是包含。如果存在收缩rX→A（即r◦iidAA→A）使得i◦r≃idXX→X，就AX的一个形变收缩核。显然，r与i是一对互为同伦逆的同伦等价；有A≃X。例4.4.Rn\{0}≃Sn−14.5.MöbiusS1例4.6.S1∨S1S1S14.7.T2\{Disk}≃S1S1基本群的定义设X是一个拓扑空间。X上的一个路径是续f:I→X，其中I是单位区间[0,1]。两个路径f0,f1:I→X称为是（定端）同伦的，如果存在一组ft:I→X，其中0≤t≤1，使得ft的端ft(0x0ft(1x1令F(s,t):I×I→X为F(s,t)=ft(s)，则F(s,t)是连续。4.8.拓扑空间上固定端点的路径间的同伦关系是一个等价关系。证明.课后习题。假设X是一个拓扑空间，x0是其上的一点。称(X,x0)为一个带基点的拓扑空间两个带基点的拓扑空间之间的连续f:(X,x0)→(Y,y0)是指连续f:X→Y满f(x0)=y0，f也称为保持基点的。带基点的拓扑空间及其上的连续组成一个范畴x0的所有路径，即环路空间{f:I→X|f(0)=f(1)=x0}；很多时候该空间记为Ωx0X。Ωx0X上可以定义路径的复合：如果f,g∈Ωx0X，定义一个新的路径f·gIX如

f·g f 0≤t≤g(2t− 1/2<t≤如此定义的乘积跟同伦等价关系相容，也就是说，如f1≃f2g1≃g2f1·g1≃f2·（请自己证明。注意这里的路径复合跟的复合是不同的。因此可以把路径复合可以定义环路空间的同伦等价类上，即[f]·[g]7→[f·g]。定理4.9.Ωx0X/≃(Xx0)基本群（x0(X,x0)的一阶同伦群π1(X,x0)G是一个集合；G上的一个二元运算·:GGG（称为乘法）给出G上一个群结构如果存在一个单位e∈G使得对于任给的x∈G，有x·e=e·x=对于任x∈G，存在一个元素记为x−1∈G使得x·x−1=x−1·x=乘法满足结合性：对于任给的xyz∈G，(x·y·zx·(y·z)证明.1、证明单位的存在：事实上，常值所在的同伦等价类[const]为单位，其中const为常值。为了证明[const]·[f]=[f]，对任给的f∈Ωx0X，只要证明const·f≃f。Hs: −→{2 2

0≤t≤1f( 2s<t≤1如此定Hs(t是连续的，并且f与const·f的同伦。同理可证ff·const02、证明逆元素的存在：事fΩxXf−1(tf(1t)[f−1f0也即f·f−1const

Hs(t)

f(2t), 0≤t≤1s,f 1s<t≤1−1s21 f(2− 1−2s<t≤21 Hf·f−1const3、证明乘法的结合性：事实上，要证明：如果f,g,h∈Ωx0X，则(f·)g·h≃f·(g·h)令f(4t 0≤t≤ − s+1<

Hs(t) −

h(1− s+2<t Hf·)g·hf·(g·h)一些例子例4.10(Rn).π1(Rn0)∼0证明.证明Rn空间的任意两个环路都是同伦的。事实上,对于f,g∈Ωx0Rn，令H(·,s)=(1−s)f(t)+sg(t)，则H:f≃g。特别地，所有的环路都是零伦的，从而有π1(Rn)=0。例4.11.同样的方法可以证明对于Rn中的任意一个凸集，以其中任意一个点为基点的基本群上述两个例子中都有其基本群为0。一般地，一个空间称为单连通的如果其基本群为4.12.XX证明.假设π1(X)=0。对于连接X中的任意两点x,y的路径f,g，证明f≃g：事实上，ff·g−1·g≃const·g≃g。反过来，如果X的任意两点的路径只有一个同伦注记4.13(基点的作用).到目前为止，提到了基点、但似乎没有强调基点的作用。事实上，给定一个拓扑X，如果x0,x1∈X，π1(X,x0)π1(X,x1)有可能是不同的。反例：考虑R1S1的并集，记为X。如果x0∈R1π1(Xx0)≡π1(R1x0)∼0；如果x0∈S1π1(Xx0)≡π1(S1

∼Z。但是如果一个拓扑空间X是道路连通的 π1(Xx0=π1(Xx1)。理由如下：假hI→Xh(0)=x0h(1)=x1是连x0x1的一个道路h−1I→Xh−1(th(1−t)；对于任给一个以x1为基点fh·f·h−1（根据前面学习到的同伦的知识）有：如果f和g是同伦的，则h·f·h−1和h·g·h−1：βh: π1(X,x1) π1(X,x0)[f −→[h·f·请自己证明：βh是一个群同构。基于以上理由，在以后，如果一个空间是道路连通的，将π1(X,x0)简写为π1(X)。习习题4.1.对于任给的拓扑X，XIX（例习题4.2.证明：如果连续f:X→Sn不满，则f零伦习题4.3.证明：连续f:X→Y零伦当且仅当f可以扩张到CX（回忆CXXI/X1}，称X习题4.4.证明：如果连续f:S1→S1与恒同不同伦，则f有不动点习题4.5.X是离散拓扑空间，x0∈Xπ1(Xx0是平凡群第五周：基本5.1(单位球面的基本群).对于n≥2，π1(Snx0)∼0证明.论断等价于如下命题：SnSnx0ffx1f中的任意一条环路都是零伦的

∼因此问题归结为如果f经过Sn中的每一点，仍然有f零伦。证明见Hatcher的书AlgebraicTopology35页（119-120MasseyABasicCourseinAlgebraicTopology第49-50页习题5.1、5.2也有，但证明稍显复杂。思路是这样的：对于任意的点x∈Sn,x̸=X，考虑以x为中心的、不含x0一个小邻域，BB是开集，f−1(B)是(0,1)中的开集，因此是一些区间(ai,bi){x}是紧集，f−1(x)只能在有限个这样的开区间中（为什么。对于包含f−1(x)中点的每个这样的开区间(ai,bi)，总可以通过将f(ai,bi)同伦到一条不经过x的道路。因为过程是有限的，最终可以将f同伦到一个不经过x的道路。证明完毕。5.2(单位圆的基本群).π1(S1x0)=Zx0∈S1证明.取x0=(1,0)。证明：Φ:Z→π1(S1)将每个整数n映到同伦类ωn(t)=(cos2πnt,sin2πnt（注意以(10)为基点）Hatcher的书第29-31页，或者Massey的书第47-49页。这里采用尤承业书上的方法，跟Hatcher的方法相仿，而跟Massey的稍有不同。考虑连续p:R→S1为p(t)=e2πit。有p在局部上是同胚：记Jr=(r,r+1)，则p|Jr:Jr→S1是一个嵌入。令pr=p|Jr:Jr→S1\{e2πir}，则pr是同胚；并且p−1(S1\{e2πir})

Jr+n 。一 f˜:X→称为f的一个提升pf˜fXS1，即下图 6 X

/5.3fXS1不满，则对x1∈Xt1Rp(t1)=f(x1)，存f的提升f˜XRf˜(x1t1引理5.4γ:I→S1S1上的道路，t0∈Rp(t0)=γ(0)，则存γ的唯一提γ˜(0)证明.存在性首先，可以找到自然数m∈N，将I分成m个小区间I1,I2,···,Im（其中Iii−1,i]）使得γ|Ii上不满，i12···m。利用引理5.3顺次取定γ|Ii上的提升γ˜i使 γ(0)=t,···,

=

,····· ˜1˜2˜m˜′p(˜(t)˜′(t))p(˜(t))p(˜′(t))

=因此有f(t)∈Z。但是注意到f(t)是连续函数，并且f(0)=0，得出f(t)≡0，γ˜′˜，˜˜(整数，称作γ的环绕数，并记作q(γ)。引理5.5.γ1γ2S1上以x0为基点的两条环路，且对于任意的t∈I，γ1(t)̸=−γ2(t)，q(γ1)=q(γ2)证明γ1γ2的提升˜1,γ˜2使得γ1(0γ2(0。假设q(γ1̸q(γ2)。不妨设q(γ1q(γ2)。则γ1˜2在t0使得f(t0)=1，即˜1(t0)=˜2(t0)+1。从而有 与题设。证毕

γ2(t0)=p◦˜2(t0)=p(˜1(t0)−2)=5.6γ1γ2S1x01为基点的环路q(γ1q(γ2当且仅当γ1≃x0γ2证明.充分性Hγ1≃x0γ2。由于H是一致连续的，存在δ0，使得当|s1s2|<δ时，Hs1(t)̸=−Hs2(t)，由引理5.5，q(Hs1(t))=q(Hs2(t))，于是q(Hs(t))不依赖于s的选取，从而q(γ1)=q(γ2)。必要性设γ˜1˜2是γ1γ2的提升，并且˜1(0)=γ˜2(0)。有γ˜11q(γ1q(γ2˜2(1)，从而它们有相同的起点和终点，从而是同伦的。从此有γ1=p◦γ˜1≃x0p◦γ˜2=γ2。定理5.7.π1(S1x0)=Z证明.对于任给的[γ]∈π1(S1,x0)，定义q([γ]):=q(γ)∈Z，从而得到一个qπ1(S1,x0)→Z。证明q是一个群同构对于[γ1],[γ2]∈π1(S1,x0)，作γ1,γ2的提升˜1,˜2使得γ1(1)=γ2(0)。有˜1·˜2γ1·γ2的提升。˜2˜1˜2˜2˜1˜1同时q把单位元映为单位元。下面证明q是单射，这个由引理5.6得出。同时q是满射，这是ωn(t)=(cos2πnt,sin所在的同伦类给出下 来看几个关于π1(S1)

Z定理5.8.任意续h:D2→D2都有一个不动点，即存在一个x∈D2使h(x)=x证明.反证法。假设对任给的x∈D2都有h(x)̸=x。可以定义r:D2→S1如下：r(x为从h(x出发经过x的射线跟S1的交点。注意到当x∈S1时，r(xx是恒同映射，因此r:D2→S1是一个收缩。对于S1中的任意一个环路f，在D2中f同伦于一个平凡：只需令Ht(s)=(1−t)f(s)+tx0。注意到r(s)在S1上是恒同，因此有r◦Ht把f同伦到平凡。这与π1(S1)=Z。因此结论成立。上述定理是所谓的Brouwer不动点定理在2维的情形。一个更复杂的例例5.9.记环面T2=S1×S1；有π1(T2)=π1(S1)×π1(S1)=Z×Z该例子的证明依赖于如下一个更一般定理5.10.对于任意两个的路径连通的拓扑空间XY，π1(XY)∼π1(X×π1(Y)证明注意到对于任给的在X×Y中的一个ϕI→X×Y，它一一对应于XY中各一条路径：设ϕ(t)=(g(t),h(t))，这两条路径分别是g(t)和h(t)；反之亦然。因此有一一：π1(X×Y)→π1(X)×π1(Y):[ϕ]7→([g],[h])基本群间的设(X,x0),(Y,y0)是两个带基点的拓扑空间。连续φ:X→Y称为保持基点的如φ(x0)=y0，记为φ:(X,x0)→(Y,y0)。假设φ:(X,x0)→(Y,y0)，φ诱导了一个φ∗:π1(X,x0)→(Y,y0)，定义为φ∗([f])=φ◦f2同伦。φ是群同态：如果f1f2是两个环路(φ◦f1·(φ◦f2φ◦(f1·f2)。诱导有如下性质： (φψ)∗=φ∗ψ∗，对于复合 (X,x0)−→(Y,y0)−→(Z,z0)。这是因为复合满足结合律：(φψ)f=φ(ψf)。id∗=id，也就是说，恒 id:X→X诱导基本群上的恒 。由此 定理5.11.基本群是从带基点的拓扑空间及其上连续组成的范畴到群及群同态组成的范定理5.12.如果φ:X→Y是同伦等价，则诱导φ∗:π1(X)→π1(Y)是一个同构回忆一下收缩的概念：设A是X的子集，i:A→X；r:X→A称为一个收缩如果r◦i=id:A→A。A称为X的形变收缩核如果还有i◦r≃id:X→X。推论5.13.如果r:X→A是一个收缩，则有i∗:π1(A,x0)→π1(X,x0)是单射；特别地AX的形变收缩核，则i∗是一个同构。证明.只需证明前面一部分，后一部分由上一定理给出。事实上，因为r◦i=id:A→A，r∗◦i∗=id∗=id:π1(A)→i∗5.14.π1(R2\{0})=Zn>2，π1(Rn\{0})=05.15(Möbius带的基本群).MöbiusZ习习题5.1.X是离散的拓扑空间，x0∈X。证明：π1(Xx0是平凡群习题5.2.X是单连通的拓扑空间，γ1γ2Xγ2习题5.3.ωω′是拓扑空Xx0x1的两个道路类。证ω=ω′:π1(Xx0)π1(Xx1)当且仅当ω−1ω′属于π1(Xx1)5.4.x0x1Xx0x1的任一道路类决定相同的基本群的同构当且仅当π1(X,x0)是交换群。习题5.5.设X是Möbius带，A是它的边界，x0∈A。证明包含ι:A→X诱导的同ι∗:π1(Ax0)→π1(Xx0)不是同构。5.6.证明Möbius第六周：VanKampen定理、复迭对于一些复杂的空间，根据定义往往很难计算出它的基本群。但是这些更复杂的空间由一些非常简单的部分组成，这些简单的部分的基本群往往很简单。nKampn定理说，复杂空间的基本群可以由组成它的简单的部分的基本群得出。群的乘假设G1,G2是两个群。G1与G2的乘积，记为G1∗G2，定义如为集G1∗G2={x1x2···xn|n≥0,xi∈(G1\{e})∪(G2\{e}),且xi与xi+1不同时在同一个群中}其中规定n=0的元素只有一个，记为e。乘法如此定义：对于x1x2···xn,y1y2···ymG1G2xny1exn−1y2e···xn−lyl+1exn−l−1yl+2̸e{(xx···x)·(yy···

)= x1x2···(xn−l−1yl+2)yl+3··· xn−l−1,yl+2在同一个1 1

x1x2···xn−l−1yl+2yl+3··· xn−l−1,yl+2不在同一个群中G1∗G2问题.给出乘积的单位元，逆元问题.设G1,G2是两个群。它们的乘积跟它们的乘积有什么区别VanKampen定定理6.1(VanKampen).如果拓扑空间X=X1X2并且X0X1X2非空且道路连通，则对x0∈X0，有π1(X,x0)=π1(X1,x0)∗π1(X2,x0)/[{(i1)∗(α)(i1)∗(α−1)|α∈π1(X0,其中：i1:X0→X1,i2:X0→X2是包含，∗是乘积，[A]是由A生成的正规子（A的最小正规子群注记6.2.VanKampenX1X2X0是它的一个邻域的一个形变推论 (1)如果X0是单连通的，则π1(X,x0)=π1(X1,x0)∗π1(X2,x0)(2)X2π2(Xx0)=π1(X1x0)/[Im((i1)∗)]VanKampen例6.4.π1(S1∨S1)=Z∗Z。更一般地 S1)=Z∗Z∗···∗Z（共n次，称为秩为的有限生成的群例 (1)R2中去掉1个点、2个点、3个点S21个点、2个点、3T21个点、2个点、3的证明.T2=aba−1b−1X1a,b的一个邻域，注意X1=S1∨S1；令X2T2\X1X2是可缩的。因此π1(T2)=π1(X1)/[Im((i1)∗)]=⟨a⟩∗⟨b⟩/[aba−1b−1]=Z×其余的情形留作习题。在上述证明过程中，可以看到T 去掉一点就是同伦等价S1∨S1，从而其基本群为秩为2的有限生成的群命题6.6(闭曲面的基本群).设X是二维闭曲面。{ F(a1,···,am)/[a2···a2 X=mPπ1(X) F(a1,b1,···,an,bn)/[a1b1a−1b−1··· X 特别地，有

∼Z2命题6.7(代数基本定理).复数域上次数大于0的多项式证明.用反证法。pn(z)=anzn···a1za0C上没有根。a0̸=0，否r≥0P(z)

Pr(z)≃P0(z)=a0/||a0||。同时当r→∞Pr(z)≃zn。后者不零伦，从而导出矛复迭空间定义6.8(复迭空间).假设X是一个道路连通且局部道路连通的拓扑空间。X的一个复迭空间是一个拓扑空间˜和 p:˜→X满足如下条件：存在X的一个开覆盖{Uα}，使得对任意的α，p−1(Uα)是˜中一组互不相交的开集，且在每个开集上p是同构。这里，p:˜→X称为复迭 例6.9.p:R→S1;t7→e2πti是一个复迭例6.10.任给n∈N，p:S1→S1;z7→zn是一个复迭6.11.RP2S2={(xyz)∈R3:x2y2z2=1}上引进等价关x∼x′⇐⇒x=±x′，并令RP2=S2/∼。p: −→ 是一个复迭，fnid，且0<m<nfm没有不动点。规X上得等价关系x∼x′当且仅当存在l使得fl(x)=x′。记商空间为X/f，并记p:X→X/f为商。定理6.12.XHausdorff空间f:X→Xp:X→X/f是复迭证明.y∈X/f，设p−1(y)={xf(x)···fn−1(x)}因为X是Hausdorff空间所以可x的开邻域V使得Vf(V)···fn−1(V两两不相交。记U=p(V)p−1(U)=有U是开集，并且p把fi(V)同胚地映为U，根据定义p是复迭例6.13(Klein瓶).在T2=S1×S1上引入如下f T −→T(z,w)−→(1,z则p:T2→T2/f为复迭，且K:=T2/f为Klein瓶

n−1fi(V)证明.复迭根据上面的定理是显然的。要证K是Klein瓶。根据曲面的分类定理T2有如下标准多边形表示：aba−1b−1，而Kleinabab−1（非标准f多边形表示下把(xy映成(−xy+1)，其商空间的多变形表示正好就是abab−1，从而K2Klein例6.14.S1∨S1Hatcher58页（讲义下一页 Chapter TheFundamentalSomeCoveringSpacesofS1∨( bha,b2,bab-(a ha2,b2,( ha2,b2,a1,bab-( ha,b2,ba2b-1,baba-1b-( -1-b ha3,b3,ab,b ( bb ha3,b3,ab, ( ab 2b ha,b,ab,ba,ab ( a2 b ha,b,(ab),(ba),ab ( ha2,b4,ab,ba2b-1,bab-2(10) hb2nab-2n-1,b2n+1ab-2n|n∈Z( hbnab-n|n∈Za( (ba( ha,bab-假设p:˜→X是一个复迭。f:Y→X的一个提升是指一个f˜:Y→pf˜f7f˜ Y 定理6.15(提升的唯一性).假设p:(˜,˜0)→(X,x0)是复迭。设Y是道路连通且局部道路连通的fYy0)→(Xx0)是连续。f的两个提升f˜1f˜2如果Yy重合f˜1f˜2Y的所有点重合f˜1f˜2。˜证明.只要证明V{y∈˜|f˜1y)=f˜2(y)}Y中既开又闭的非空子集。首先，V是非空的，因为y∈V。˜其次，Vy∈Yf(y)U

)=U

˜α212˜1˜22121UU′p−1(U′∩Up−1(U′∩1

U

f˜1(y̸f˜2(y)，f˜1f˜2y的一个邻域上不相V是闭再次，V是开集。如上，如果f˜1(y)=f˜2(y)，f˜1与f˜2在y的一个邻域上都是相等的，因为p◦f˜1=p◦f˜2而p局部上是同构。从而 有V是开集。习6.1.R33R33三角形将三条边按照aaa田字习题6.2.(Xx0)是一个带基点的拓扑空间，AXx0的道路连通的子空间。证明：由包含A,→X诱导的基本群之间的π1(A,x0)→π1(X,x0)是满射当且仅当X中端点在A中的道路都（定端）同伦于A中的道路。习题6.3.p˜→X是复迭，且X是连通的。证明#p−1(x)x的选取无关习题6.4p1X˜1X1p2X˜2X2是复迭。证明：p1p2X˜1X˜2X1X2也是复迭。习题6.5.XR3X第七周：复迭定义7.1(复迭空间).假设X是一个道路连通且局部道路连通的拓扑空间。X的一个复迭空间是一个拓扑空间˜和 续p:˜→X满足如下条件：存在X的一个开覆盖{Uα}，使得对任意的α，p−1(Uα)是˜中一组互不相交的开集，且在每个开集上p是同构。这里，p:˜→X称为复迭。假设p:˜→X是一个复迭。f:Y→X的一个提升是指一个f˜:Y→pf˜f7f˜ Y 定理7.2(提升的唯一性).假设p:(X˜,˜0)→(X,x0)是复迭。设Y是道路连通且局部道路连通的拓扑空间，且f:(Y,y0)→(X,x0)是连续。f的两个提升f˜1,f˜2如果在Y的某yf˜1f˜2Y的所有点重合，即f˜1=f˜2。7.3(同伦提升引理).给定一个复迭p:˜→X、一个ft:Y→X以f0:YX的一f˜0:Y→X˜的一f˜t:Y→X˜提升同伦ft证明.证明分三步。记同伦ft:Y→X为F:Y×I→ 首先证明，对于任给的y0∈Y，存在y0的一个邻域N，使得有提升F˜:N×I→X˜。事实上，因为F是连续，对于任给的(y0,t)，存在该点的一个邻域Nt×(at,bt)使F(Nt(atbt⊂Uα，对某个αI是紧的，对I的开覆盖{(aibi)}存在有限覆盖I=∪m(a,b)。考虑与(a,b)对应的N,i=1,2,···,m，并令N=∩mN i=1

i=1F(N(aibi))Uααα因为{(ai,bi)}m是I的开覆盖，可以取0=t0<t1<···<tn=1使得[tj,tj+1]在某个(ai,bi)当中。假设F˜:N×[0,tj]→˜已经定义好，要延续F˜到N×[0,tj+1]上。这是可以做到的：因为[tj,tj+1]⊂(ai,bi)，假设在p−1(Uα)中U˜ ˜(y0过同构p:U˜α→Uα， 可以延拓F˜到N×[0,tj+1]上。如此经过有限步，可以把F˜定义到N×I上。α其次证明F˜:N×I→˜的唯一性。这个由同伦提升的唯一性得 YI上是定义上述引理的两个特Y包含一个{y}。对于任给的一个路fIXf(0x；则对于任给˜x使得p(˜)=x，有f˜:I→˜使得p◦f˜=f。这一性质被称为道路提升引理˜ftIXf0的一个同伦，则存在f˜0f˜t使得ftpf˜t；并ftf˜t也定端基本群与复迭7.4p:(˜,˜0)→(Xx0是复迭，则诱导p∗:π1(˜˜0)→π1(Xx0是单π1(˜˜0)π1(Xx0的子群。p∗π1(Xx0中的像是那些x0出发的一些环路的同伦类，这些环路提升到˜中是从x˜0出发的环路。证明.要证明kerp∗={0}。对于任给的[γ]∈kerp∗，pγ同伦于常值。因此根据同伦提升引理，pγ有一个提升同伦于˜中的常值。根据提升的唯一性，这个pγ的提升就是γ，从而我们有γ同伦于常值，从而kerp∗={0}。定理的后半部分由同伦提升引理得定理7.5(提升引理)假设p(˜˜x0)→(Xx0是复迭。设Y是道路连通且局部道路连通的拓扑空间fYy0→(Xx0是连续。f存在一个f˜:(Yy0→˜,˜0)当且f∗(π1(Y,y0))⊂p∗(π1(˜,˜0))。∗证明必要性。因为fpf˜，f∗pf˜，从而f∗(π1(Yy0p∗(π1(˜,x0))∗，充分性假设f∗(π1(Y,y0))⊂p∗(π1(˜,˜0)) 有对于任给的γ:I→Y,γ(0)=y0,γ(1)=y∈Y，考虑fγ:I→X,fγ(0)=x0。根据道路提升引理，fγ有提升，设为fγ。有γ(0)=x˜0。定义f˜(y)=fγ(1)。，要证明f˜(y)不依赖于γ的选取。事实上，假 有γ′:I→Y满足γ′(0) y0,γ′(1)=y，则γ(γ′)−1是以y0为起点的回路。注意到f∗(π1(Y,y0))⊂p∗(π1(˜,˜0))， ^ ′ ′10f(γ(γ′)−1)同伦于pα^ ′ ′10

的回路。根据同伦提升引理，f(γ(γ′)−1))一个提f(γ(γγ

) 有f(γ(γ γγ 得到f的定义不依 定理7.6.假设p:E→B是复迭。如果E是道路连通的，则对任给的˜1,x˜2∈p−1(x)，Hx˜1p∗(π1(E˜1))Hx˜2:=p∗(π1(Ex2))共轭，也即存在π1(Bx)中的g使得Hx˜=g·Hx˜·g−1。 证明.事实上，因为E是道路连通的，取从x˜1到x˜2的一个道路γ。有pγ是X中的个环路，且有如下(˜˜2(˜,x1π1(X,/π1(X,其中上面一行的是[f˜]7→[γ·f˜·γ−1]，下面一行的是[g]7→[(pγ)·g·(pγ)−1]。g Hx˜g·Hx˜·g−1。证毕 定义7.7.拓扑空间X的子集A称为半单连通子集如果A道路连通且包含诱导的基本群同态i∗:π1(A)→π1(X)是平凡的。X称为局部半单连通的(semi-locallysimply-connected)如X的每一点都有一个半单连通邻域。定理7.8.(X,x0)是带基点的拓扑空间X是道路连通、局部道路连通且局部半单连通的。对于任π1(Xx0的一个子GX的一个复迭˜以及˜上的˜0，π1(˜,˜0)=G。特别地，有定理7.9.(X,x0)X是道路连通、局部道路连通且局部半单连通的。有复迭空间p:(˜,˜0)→(X,x0)，其中(X˜,˜0)是单连通的。称(˜,˜0)是(X,x0)的万有复迭空间(universalcoveringspace)。证明.X˜˜x0y˜0∈X˜˜0y˜0的道路的同伦等价类只有一个，不妨记y˜0]。反过来，这个同伦等价类通p(˜x0)→(Xx0投射下来，就X中一个道路的同伦等价类。这就启发定义˜如下。X是道路连通、局部道路连通且局部半单连通的拓扑空间，x0X˜{[γ]|γI→Xγ(0)=x0,其中同伦为定端同伦并令p:˜→X为p([γ])=γ(1)。首先定义˜上的拓扑；其次，证明p:˜→X是复迭；最后，证明˜是单连通的。•定义˜上的拓扑。设U是X的一个道路连通的开集，且π1(U)→π1(X)是平凡UUUV也在U中，因为复合π1(V)→π1(U)→π1(X)是平凡的。因此，如果X是局部道路连通且局部半单连通的，U形成X的一个拓扑基（回忆拓扑基的概念。给定一个开集U∈U和一个道路γI→X，γ(0x0γ(1∈U，U[γ]={[γ·η]:η是U中的一条道路，且γ(1)=注意到U[γ]仅仅依赖于γ所在的同伦类。 有：p:U[γ]→U是满射，这是因为U是道路连通的；同时p是满射，这是因为π1(U)→π1(X)是平凡的。p还具有如下性质：如果[γ′]∈U[γ]，则U[γ]=U[γ′]。这是因为如果γ′=γ·η，则U[γ′]中的元素都具有[γ·η·的形式，从而在U[γ]中；反之，U[γ]中的元素都具有[γ′·µ]=[γ·η·η−1·µ]由此可以得出{U[γ]}形成˜的一个拓扑基。这是因为，对于任给的γ′′满足[γ′′]V[γ′]，有U[γ′′]=U[γ],V[γ′′]=V[γ′]，从而当W∈U且W⊂U∩V，有⊂U[γ′′]∩V[γ′′]证明p:˜→X是复迭 出p是连续的，并且在局部上是同构。˜˜˜[γ]是γ在[0,t]上的限制。这样 得到t7→[γt]是˜上的一个道路，这个道路连接和[γ]。这样 就有

是连通的。下面说明

是单连通的。因 已经证p:˜→X是复迭 只要说明p∗(π1(˜))的象在π1(X)中是平凡的就可以了。事实上，p∗的象是那些从x0出发的、并且提升到˜中仍然是环路的环路。设这个环路在X中是γ。我们已经证明对于这个γ，t7→[γt]是γ的一个提升，这个提升是一个环路导致有[γ1]=[Const]。注意到γ1=γ，有γ≃Const。定理7.8的证明.˜上引进等价关系：[γ]∼[γ′当且仅当γ(1)=γ′(1)且[γ·(γ′)−1]∈G。并令pG:X˜G→X pG([γ])=有pG:X˜G→X为复 ，且π1(˜G)=H。这个论 这里就不证明了现在底空间相同的诸复迭空间之间的关系。设(E1,p2),(E2,p2)都是B上的复迭空间。如果续h:E1→E2满足p2◦h=p1，也即h是p1关于p2:E2→B的一个提升，则称h是(E1,p1)到(E2,p2)的同态。如果同态是一同胚，则称h是一同构。如果两个复迭空间(E1,p2),(E2,p2)之间存在一个同构，则称这两个复迭空间是等价的。7.10.(E1p2)(E2p2)B上道路连通的复迭空间。则(E1p2)(E2p2)等价当且仅当p1∗(π1(E1))和p2∗(π1(E2))属于π1(B)的同一个子群的共轭类。证明.充分性。取e1∈p−1(b)e2∈p−1(b)(p2)∗(π1(E1e2))=(p2)∗(π1(E2p2))。 定理7.5，有同态h:E1→E2和k:E2→E1，使得h(e1)=e2,k(e2)=e1。于是khE1→E1E1的自同态，满kh(e1e1idE1→E1也是满足id(e1e1的自同态，根据提升唯一性定理，khidE1→E1。同hhidE2→E2。因是同胚，从而(E1p1)与(E2p2)等价1必要性。设hE1E2是同构。e1p−1(b)e2h(e1)1(p1)∗(π1(E1,e1))=(p2)∗◦h∗(π(E1,e1))=(p2)∗(π1(E2,于是(E1,p1)和(E2,p2)所决定的子群的共轭类都是(p1)∗(π1(E1,e1))所在的那个共轭类。总结如上定理，有如下关于复迭空间的分类定理：定理7.11(分类定理).设X是道路连通、局部道路连通且局部半单连通的拓扑空间。有π1(Xx0的子群到(Xx0)的复迭空间˜,x0)之间的一一对应；如果不考虑基点，则π1(XX习习题 (1)设f:S2→T2连续，证明f零伦(2)fP2T2连续，证明g零伦习题7.2.设p1:E1→B和p2:E2→B是空间B上的两个复迭空间。证明：如果续h:E1→E2满足p1=p2◦h，则h本身是复迭。（这样的h称为从E1到E2的同第八周单纯复形同调群是拓扑空间范畴到交换群范畴的一个协变函子，是拓扑空间的非平凡性的最重要的一个不变量。同调群所发展出来的思想和工具在几乎所有的数学领域都有重要的应用。设{a0···an}为欧氏空间中处于一般位置n+1 (a0a1···an)

λ0a0+λ1a1

··

+λnan

λi=1,λi≥n+1n维单纯形或单形。如果上述顶点集合中去掉若干个点，常，如果s是t的面，记作s≺t。8.1(单纯复形).K{tα}tα是单纯形，K如果tαK，且tβtα的一个面（即tβtα）tβK有了单纯复形的概念，来看几个关于同调群刻画拓扑空间的不变量的例子例8.2.1σ101维同调群（0和Z链复形和链8.3.一个链复形{C=Cqq}AbelCq(q维链群）∂q:CqCq−1(q维 ···−→Cq+1−→Cq−→CQ−1−→Cq−2−→···q∂q∂q+1=0定义8.4.C={Cqq}q维Zq(C):=Cq维闭链；Cq维Bq(C):=Cq维边缘链∂2=0Bq⊂Zq⊂CqHq(C):=Cq维同调群Cq维同调类,zq∈Zq(C)[zq]∈Hq(C)。常把所有维数的同调群放在一起，写成H∗(C)={Hq(C)}8.5(结合代数的Hochschild同调).AKCq:=A⊗A⊗···⊗ { q+∂qCqCq−1∂q(a0,a1,···,aq) (−1)i(a0,···,aiai+1,···,aq)+(−1)q(aqa0,a1,···,∂q∂q+10AHochschild链复形，其同调群称为A的Hochschild同调群。8.6(Lie代数的Chevalley-Eilenberg复形).设gKC:=g∧g∧···∧∂qCqCq−1∂q(g1∧g1∧···∧gq)

∑

| { qj1i,同样，可以验证∂q◦∂q+1=0，由此得到的链复形称为李代数g的Chevalley-Eilenberg链复形，其同调群称为g的(Chevalley-Eilenberg)同调群。定义8.7.设C,D是链复形。一个链f:C→D是一串同态f={fq:Cq→Dq},满足条件：对每个维数q都有即下面的

∂q◦fq=fq−1◦ ·· / / /·· ··

q

/··定理8.8.链复形及其上的链组成一个范畴，简称为“链复形的范畴写成{链复形，命题8.9.链f:C→D诱导同调群的同