排列组合典型题大全包括

摆列组合典型题大全包含答案摆列组合典型题大全包含答案摆列组合典型题大全包含答案摆列组合典型题大全一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不可以重复的元素看作“客〞，能重复的元素看作“店〞，那么经过“住店法〞可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法？2〕有4名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果？3〕将3封不一样的信投入4个不一样的邮筒，那么有多少种不一样投法？【分析】：〔1〕34〔2〕43〔3〕43【例

2】

把6名实习生疏派到

7个车间实习共有多少种不一样方法？【分析】：达成此事共分

6步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有

7种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有

7种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有

76种不一样方案

.【例

3】8名同学抢夺

3项冠军，获取冠军的可能性有〔〕A、83

B、38

C、A8

3

D、3C8【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8名学生看作8家“店〞，3项冠军看作3个“客〞，他们都可能住进随意一家“店〞，每个“客〞有8种可能，所以共有83种不一样的结果。所以选A1、4封信投到3个信箱中间，有多少种投法？2、4个人抢夺3项冠军，要求冠军不可以并列，每个人能够夺得多项冠军也能够空手而还，问最后有多少种状况？3、4个同学参加3项不一样的比赛1〕每位同学一定参加一项比赛，有多少种不一样的结果？2〕每项比赛只许一名同学参加，有多少种不一样的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们抢夺这4项比赛的冠军，获取冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、〔全国II文〕5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报此中的一个小组,那么不一样的报名方法共(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只好有一个人来负责，负责人能够兼职，那么不一样的负责方法有多少种？8、4名不一样科目的实习教师被分派到3个班级，不一样的分法有多少种？思虑：4名不一样科目的实习教师被分派到3个班级，每班起码一个人的不一样的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B一定相邻且B在A的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右侧，那么本题相当于4人的全摆列，A4424种例2.7人站成一排,此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不一样的排法甲乙丙丁要求某几个元素一定排在一同的问题,能够用捆绑法来解决问题.马上需要相邻的元素归并为一个元素,再与其余元素一同作摆列,同时要注意归并元素内部也一定摆列.【例2】〔2021四川卷理〕3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假定男生甲不站两头，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不一样排法的种数是〔〕A.360B.288C.216D.96【分析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A22A42A22=432种此中男生甲站两头的有A12C32A22A32A22=144，切合条件的排法故共有288例2、6名同学排成一排，此中甲，乙两人一定排在一同的不一样排法有〔C〕种。A〕720B〕360C〕240D〕120三．相离问题插空法：元素相离〔即不相〕，可先把无地点要求的几个元素全排列，再把定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例1】七人并排站成一行，假如甲乙两个必不相，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余5个摆列数A55种，再用甲乙去插6个空位有A62种，不一样的排法种数是A55A623600种【例2】架上某有6本，新3本插去，要保持原有6本的序，有种不同的插法〔详细数字作答〕【分析】：A17A18A91=504或分【例3】高三〔一〕班学要安=排晚会的4各音目，2个舞蹈目和1个曲目的演出序，要求两个舞蹈目不排，不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数A55A62＝3600【例4】某工程有6工程需要独达成，此中工程乙必在工程甲达成后才能行，工程丙必在工程乙达成后才能行，又工程丁必在工程丙达成后立刻行。那么安排6工程的不一样排法种数是【分析】：依意，只要将节余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A52＝20种不一样排法。【例5】某市春晚会原定10个目，演最后决定增添3个与“抗冰救灾〞相关的目，可是灾目不排在第一个也不排在最后一个，而且已排好的10个目的相序不，晚会的目的排数种.【分析】：A1A1A1=99091011【例6】.路上有号1，2，3⋯，9九只路灯，要关掉此中的三，但不可以关掉相的二或三，也不可以关掉两头的两，求足条件的关灯方案有多少种？【分析】：把此看作一个排模型，在6亮灯的5个缝隙中插入3不亮的灯C53种方法,所以足条件的关灯方案有10种.明：一些不易理解的摆列合，假如能化熟习的模型如填空模型，排模型，装盒模型可使问题简单解决.【例7】3个人坐在一排8个椅子上，假定每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？【分析】：解法1、先将3个人〔各带一把椅子〕进行全摆列有A33，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都空位的排法有A14A33=24种.解法2：先取出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34=24种.【例8】泊车场划出一排12个泊车地点，今有8辆车需要停放.要求空车地点连在一同，不同的泊车方法有多少种？【分析】：先排好8辆车有A8种方法，要求空车地点连在一同，那么在每2辆之间及其两头的98个空档中任选一个，将空车地点插入有C1种方法，所以共有C1A8种方法.998注：题中*表示元素，○表示空.例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不可以连续出场,那么节目的出场次序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A64不一样的方法,由分步计数原理,节目的不一样次序共有A55A64种元素相离问题可先把没有地点要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两头四．元素剖析法〔地点剖析法〕：某个或几个元素要排在指定地点，可先排这个或几个元素；再排其余的元素。【例1】2021年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不一样工作，假定此中小张和小赵只好从事先两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不一样的选派方案共有〔〕A.36种B.12种C.18种D.48种【分析】：方法一：从后两项工作出发，采纳地点剖析法。A32A3336方法二：分两类：假定小张或小赵当选，那么有选法C1C1A324；假定小张、小赵都当选，那么有223选法A22A3212，共有选法36种，选A.【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相纪念，假定老师不站两头那么有不一样的排法有多少种？【分析】：老师在中间三个地点上选一个有A31种，4名同学在其余4个地点上有A44种方法；所以共有A31A4472种。.【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【分析】法一：A15A663600法二：A62A553600法三：A77A66A663600五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归纳为一排考虑，再分段办理。【例1】〔1〕6个不一样的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不一样的排法种数是〔〕A、36种B、120种C、720种D、1440种〔2〕把15人分红前后三排，每排5人，不一样的排法种数为〔A〕A155A105〔B〕A155A105A55A33〔C〕A1515〔D〕A155A105A55A33〔3〕8个不一样的元素排成前后两排，每排4个元素，此中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不一样排法？【分析】：〔1〕前后两排可当作一排的两段，所以本题可当作6个不一样的元素排成一排，共A66720种，选C.〔2〕答案：C〔3〕当作一排，某2个元素在前半段四个地点中选排2个，有A42种，某1个元素排在后半段的四个地点中选一个有A41种，其余5个元素任排5个地点上有A55种，故共有A41A42A555760种排法.7.8人排成前后两排,每排4人,此中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,能够把椅子排成一排.个特别元素有A24种,再排后4个地点上的特别元素丙有A14种,其余的5人在5个地点上随意摆列有A55种,那么共有A24A14A55种前排后排一般地,元素分红多排的摆列问题,可归纳为一排考虑,再分段研究.练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不可以坐，而且这2人不左右相邻，那么不一样排法的种数是346六.环排问题线排策略例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不一样点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并此后地点把圆形展成直线其余7人共有〔8-1〕！种排法即7！CBEAABCDEFGHAHG一般地,n个不一样元素作圆形摆列,共有(n-1)!种排法.假如从n个不一样元素中取出m个元素作圆形摆列共有1Anmn练习题：6颗颜色不一样的钻石，可穿成几种钻石圈120五．定序问题缩倍法〔等几率法〕：在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定的次序，可用减小倍数的方法.【例1】.A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如B一定站在A的右侧〔A,B能够不相邻〕那么不一样的排法种数是〔〕【分析】：B在A的右侧与B在A的左侧排法数同样，所以题设的排法不过5个元素全摆列数的一半，即1560种2A5【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的次序，有多少种不一样的插法？【分析】：法一：319A9法二：6A9A6【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，假定A、B、C一定按A在前，B居中，C在后的原那么〔A、B、C同意不相邻〕，有多少种不一样的排法？【分析】：法一：A63法二：16A33A6例4.7人排队,此中甲乙丙3人次序必定共有多少不一样的排法解:(倍缩法)对于某几个元素次序必定的摆列问题,可先把这几个元素与其余元素一同进行摆列,而后用总排列数除以这几个元素之间的全摆列数,那么共有不一样排法种数是：A77/A33(空位法)假想有7把椅子让除甲乙丙之外的四人就坐共有A74种方法，其余的三个地点甲乙丙共有1种坐法，那么共有A74种方法。思虑:能够先让甲乙丙就坐吗?〔插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人挨次插入共有方法定序问题能够用倍缩法，还可转变为占位插空模型办理练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高渐渐增添，共有多少排法？C105六．标号排位问题〔不配对问题〕把元素排到指定地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成.【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有〔〕A、6种B、9种C、11种D、23种【分析】：先把1填入方格中，切合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其余三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，此中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是〔〕A10种B20种C30种D60种答案：B【例3】：同室4人各写一张拜年卡，先集中起来，而后每人从中拿一张他人送出的拜年卡，那么4张拜年卡不一样的分派方式共有( )〔A〕6种〔B〕9种〔C〕11种〔D〕23种【分析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的拜年卡分别为a、b、c、d。第一步，甲取此中一张，有3种等同的方式；第二步，假定甲取b，那么乙的取法可分两类：1〕乙取a，那么接下来丙、丁取法都是独一的，2〕乙取c或d〔2种方式〕，不论哪一种状况，接下来丙、丁的取法也都是独一的。依据加法原理和乘法原理，一共有3(12)9种分派方式。应选〔B〕【例4】：五个人排成一列，从头站队时，各人都不站在本来的地点上，那么不一样的站队方式共有()〔A〕60种〔B〕44种〔C〕36种〔D〕24种答案：B4*2+4*3*3六．不一样元素的分派问题〔先分堆再分派〕：注意均匀分堆的算法【例1】有6本不一样的书按以下分派方式分派，问共有多少种不一样的分派方式？〔1〕分红1本、2本、3本三组；〔2〕分给甲、乙、丙三人，此中一个人1本，一个人2本，一个人3本；〔3〕分红每组都是2本的三个组；〔4〕分给甲、乙、丙三人，每个人2本；〔5〕分给5人每人起码1本。

【分析】：〔1〕C61C52C33〔2〕C61C52C33A33〔3〕C62C42C22〔4〕C62C42C22〔5〕A33C52C51C14C13C12C11A55A44【例2】将4名大学生疏派到3个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，那么不一样的分派方案有种〔用数字作答〕．【分析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分红三组，其分法有C42C21C11;A22第二步将分好的三组分派到3个乡镇，其分法有A33所以知足条件得分派的方案有C42C21C11A3336A22说明：分派的元素多于对象且每一对象都有元素分派经常用先分组再分派.【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校起码去一名志愿者，那么不一样的分派方法共有〔A〕150种(B)180种(C)200种(D)280种【分析】：人数分派上有1,2,2与1,1,3两种方式，假定是C53C21C1131,2,2，那么有A3＝60种，A22假定是1,1,3，C51C42C223那么有A3＝90种，所以共有150种，选AA22【例4】将9个〔含甲、乙〕均匀分红三组，甲、乙分在同一组，那么不一样分组方法的种数为〔〕A．70B．140C．280D．840答案：〔A〕【例5】将5名实习教师分派到高一年级的３个班实习，每班起码１名，最多２名，那么不一样的分派方案有〔〕〔A〕３０种〔B〕９０种〔C〕１８０种〔D〕２７０种【分析】：将5名实习教师分派到高一年级的3个班实习，每班起码1名，最多2名，那么将5C1C2名教师分红三组，一组1人，另两组都是2人，有5415种方法，再将3组分到3个班，A22共有15A3390种不一样的分派方案，选B.【例6】某外商方案在四个候选城市投资3个不一样的工程,且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不一样的投资方案有〔〕种A．16种B．36种C．42种D．60种【分析】：按条件工程可分派为2,1,0,0与1,1,1,0的构造，∴C42C32A22C43A33362460故选D；【例7】〔1〕5本不一样的书，全局部给4个学生，每个学生起码一本，不一样的分法种数为〔〕A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.〔2〕12名同学分别到三个不一样的路口进行车流量的检查，假定每个路口4人，那么不一样的分派方案有多少种？答案：C124C84C44A33A33【例8】有甲乙丙三项任务，甲需2人担当，乙丙各需一人担当，从10人中选出4人担当这三项任务，不一样的选法种数是〔〕A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种【分析】：先从10人中选出2人担当甲项任务，再从剩下的8人中选1人担当乙项任务，第三步从此外的7人中选1人担当丙项任务，不一样的选法共有C102C81C712520种，选C.【例9】.某高校从某系的10名优异毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，此中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不一样差遣方案？【分析】：因为甲乙有限制条件，所以依据能否含有甲乙来分类，有以下四种状况：①假定甲乙都不参加，那么有差遣方案A84种；②假定甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，而后安排其余学生有A83方法，所以共3A83；③假定乙参加而甲不参加同理也有3A83种；④假定甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方法，而后再安排其余8人到另两个城市有A82种，共有7A82方法.所以共有不一样的差遣方法总数为A843A833A837A824088种或许：8*8*A82+1*9*A82【例10】四个不一样球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？【分析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42种，再排：在四个盒中每次排3个有A3种，故共有C2A3144种.4441、有6本不一样的书均匀分红三份有多少种不一样的分法？均匀分派给三个人有多少种不一样的分法？分红三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不一样的分法？分派给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不一样的分法？分红三份，两分各1本，一份4本，有多少种不一样的分法？(6)分派给三个人，两个人各1本，此外一个人4本，有多少种不一样的分法？2、30名同学分红3个小组，每组10人，共有多少种不一样的分组方法？3、有15本不一样的小说、送给5名学生，每人3本，共有多少种不一样的分送方法？4、〔三校联考〕4名不一样科目的实习教师被分派到3个班级，每班起码一个人的不一样的分法有〔〕A．144种B．72种C．36种D．24种5、〔重庆理〕将4名大学生疏派到3个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，那么不一样的分派方案有6、〔宁夏理〕某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂起码安排一个班，不一样的安排方法共有

种．〔用数字作答〕7、〔全国

II

〕5名志愿者分到

3所学校支教，每个学校起码去一名志愿者，那么不一样的分派方法共有(

)A．150种8、〔西宁模拟此中把他们分红9、〔包头模拟

B．180种C．200种D．280种理〕3名乒乓国手参加“希望工程〞献爱心活动，他们准备资助7名失学少儿，1人，3人，3人三组后，再分给3名国手，那么这样的方案有____种。理〕将4名曾参加过奥运会的运发动分派到三个城市进行奥运知识宣传，每个城市起码分派一名运发动，那么不一样的分派方法有〔〕Ａ．3610〔、陕西理〕安排

Ｂ．483名支教老师去

Ｃ．72Ｄ．246所学校任教，每校至多2人，那么不一样的分派方案共有

种.〔用数字作答〕11、〔贵阳模拟理〕3本不一样的书分给6个人，每个人至多2本，那么不一样的分派方案有_种。〔用数字做答〕七．同样元素的分派问题隔板法：【例1】：把20个同样的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数许多于其编号数，那么有多少种不一样的放法？【分析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，而后再把这17个球分红3份，每份起码一球，运用隔板法，共有C162120种。【例2】10个三勤学生名额分到7个班级，每个班级起码一个名额，有多少种不一样分派方案？【分析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额当作10个同样的小球分红7堆，每堆起码一个，能够在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分派方案，故共有不一样的分派方案为C9684种.【例3】：将4个同样的白球、5个同样的黑球、6个同样的红球放入4各不一样的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其余盒子中球的颜色齐备的不一样放法有多少种？【分析】：1、先从4个盒子中选三个搁置小球有C43种方法。2、注意到小球都是同样的，我们能够采纳隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐备，能够在4个同样的白球、5个同样的黑球、6个同样的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C32、C42、C52种方法。3、由分步计数原理可得C43C32C42C52=720种例10.有10个运发动名额，分给7个班，每班起码一个,有多少种分派方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个缝隙。在９个空档中选６个地点插个隔板，可把名额分红７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。一班

二班

三班

四班

五班

六班

七班将n个同样的元素分红m份〔n，m为正整数〕,每份起码一个元素,能够用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个缝隙中，全部分法数为Cnm11练习题：1．10个同样的球装5个盒中,每盒起码一有多少装法？C942.xyzw100求这个方程组的自然数解的组数C1033八．多面手问题〔分类法---选定标准〕【例1】：有11名外语翻译人员，此中5名是英语译员，4名是日语译员，此外两名是英、日语均精晓，从中找出8人，使他们能够构成翻译小组，此中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单能够开出几张？C4C4C3C1C4C4C1C3C2C4C4C2C3C1C1C35452452454545214十．排数问题〔注意数字“0〞〕【例1】〔1〕由数字0，1，2，3，4，5构成没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有〔〕A、210种B、300种C、464种D、600种【分析】：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种状况，分别有A55个，A41A31A33,A31A31A33,A21A31A33,A31A33个，归并300个,B.〔2〕从1，2，3，⋯，100100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法〔不序〕有多少种？【分析】：将I1,2,3L,100分红四个不订交的子集，能被4整除的数集A4,8,12,L100；能被4除余1的数集B1,5,9,L97，能被4除余2的数集C2,6,L,98，能被4除余3的数集D3,7,11,L99，易四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数切合要；从B,D中各取一个数也切合要求；从C中任取两个数也切合要求；别的其余取法都不切合要求；所以切合要求的取法共有C2C1C1C2种.25252525例2.由0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解:因为末位和首位有特别要求,应当优先安排,免得不合要求的元素占了这两个地点.先排末位共有C31而后排首位共有C413131最后排其余地点共有A4C4A4C3由分步计数原理得C1C1A3288434十一．染色问题：涂色的常用方法有：〔1〕可依据共用了多少种色分;〔2〕依据相地区能否同色分;〔3〕将空平面化，化成平面地区涂色。