改善最小二乘多项式的数值不稳定性

实验目的：探索改善最小二乘多项式的数值不稳定性的可能实验内容：在［T,1］区间取n=20个等距节点，以相应节点上球的值作为数据样本，以Legendre多项式匕⑴,P1(x),,p⑴为基函数，作出l=3,5,7,9,11,13,15次的最小二乘多

项式，画出ln(Cond(A))〜l之间的曲线。其中，A是确定最小二乘多项式系数的矩阵。计算出不同多项式的最小偏差3(l)=£(y(x)-y)2，并与实验二作比较。iii=1实验结果：设拟合多项式为S(x)=aP(x)+aP(x)+aP(x)++aP(x)l001122ll其中，P(x)其中，P(x)=1,P(x)=1dn2nn!dxn{(x2-1)n}(n=1,2,).利用MATLAB中的函数legendre(n,X)可以计算出P(x)的具体数值。n对于不同的l值，求得对应的多项式系数［a。,a「，匕］及偏差3(l)列入表中表1l次最小二乘多项式系数及偏差l[a,a,,a]3(l)实验二中3(l)31.175671.103780.3602340.07079953.1369e-043.1369e-0451.17521.103640.3578330.07045750.01000090.001102462.2457e-082.2457e-0871.17521.103640.3578140.07045560.009965270.001099599.96373e-0057.62962e-0064.0116e-134.0116e-1391.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94548e-0057.62056e-0065.06791e-0072.9722e-0082.2582e-182.2582e-18111.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94543e-0057.62054e-0065.06472e-0072.97181e-0081.56039e-0097.41442e-0114.4173e-247.5119e-24131.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94543e-0057.62054e-0065.06472e-0072.97181e-0081.56089e-0097.41995e-0113.21999e-0121.30109e-0131.0606e-299.0515e-23151.17521.103640.3578140.07045560.009965130.001099599.94543e-0057.62054e-0065.06472e-0072.97181e-0081.56089e-0097.42165e-0113.22934e-0121.54797e-0131.20189e-0142.1157e-0144.1766e-293.4205e-21876421012141625图1ln(Cond(A)2)〜l关系曲线876421012141625从图中可以看出，随着拟合多项式的次数增大，A的条件数迅速增大，但要远小于实验二中以1,工，，近为基函数时的条件数。从偏差中反映，次数l9时两种方法的偏差基本相同，而随着次数继续增加，以Legendre多项式为基的偏差要小于相同次数下实验二中的偏差。而且用这种方法直到次数达到15偏差才转而变大，说明最小二乘多项式的数值不稳定性得到了改善。［以匕3),P(x),,p(x)为基函数的Matlab程序］x=1:2/19:1y=exp(x)acond=zeros(1,7)delta=zeros(1,7)P=zeros(16,20)forn=0:15P=legendre(n,x)(n+1,:)=Pt(1,:)endfp=fopen('c.txt','w')forl=3:2:15=zeros(l+1)=zeros(l+1,1)fori=1:l+1forj=i:l+1(A,j)=P(i,：)*P(j,：)'A,i)=A(i,j)end五，1)=P(i,:)*y'end=(A\B)'y=c*P(1:l+1,:)delt((l1)/2)=sum((yfy).人2)fprint(fp,'%d:\n',l)fprint(fp,'%g',c)fprint(fp,'\