人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2《双曲线》教学分析

8/8《双曲线》教学分析一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，以及它的简单几何性质.难点：双曲线的形成及其渐近线的发现.三、教科书编写意图及教学建议本节主要内容是双曲线的概念和标准方程，以及它的简单几何性质.双曲线的研究是完全类比椭圆的研究方法进行的，教学时应特别强调通过类比学习本节内容.3.2.1双曲线及其标准方程1.类比椭圆的概念提出双曲线的问题研究了椭圆之后，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？它揭示了椭圆与双曲线在概念内涵属性上的异同，相同的是它们都是平面内与两个定点的距离具有某种确定关系的点的轨迹，而且这种确定关系是通过代数运算得到的；不同的是所用的运算方法.2.运用信息技术探索双曲线的几何特征问题提出后，教科书通过“探究”，创设情境并运用信息技术探索双曲线的图形特征，进而抽象出双曲线的概念.实际上,这是一个将椭圆与双曲线的定义统一在一起的几何情何.情境中直线上的定长线段就是椭圆、双曲线的一个几何要素,两个定点是它们的另一个几何要素,直线上的动点与线段的位䔜关系的变化决定了轨迹的形状.当点在线段上运动时,如果,那么两圆相交,其交点的轨䢒是椭圆；如果,那么两圆不相交,不存在交点轨迹.在的条件下,一个自然的问题是:点在线段外运动,两圆是否相交?如果相交,交点的轨迹是什么形状?为此,运用信息技术工具，可以让学生看到两圆相交,而且交点的轨迹是不同于椭圆的曲线,它分左右两支,而且是不封闭的曲线，这样,教科书在直观呈现双曲线几何特征的基础上，水到渠成地抽象出双曲线的概念.教科书是从数学内部提出问题的,从“距离之和”到“距离之差”非常自然,但要象出双曲线,却需要很高水平的想象力.这时,发挥信息技术的作用是必须的.教学时,要用好教科书的这个情境,给学生充分的几何直观的同时，使学生认识椭圆、双曲线之间的联系与差异,提升发现和提出问题的能力.在利用信息技术探索双曲线的图形特征时,需要把几何条件转变为信息技术能够实现的方式,这种方式需要根据几何要素进行构造.这个过程体现了几何条件的转化.对于培养直观想象、逻辑推理素养都有帮助.3.双曲线定义中的“非䨐常数”对于双曲线定义中的“非零常数(小于)”,学生容易忽略“非零”.教学时可以引导学生进一步思考:平面内与两个定点的距离的差等于零的点的轨迹是什么?进而讨论平面内与两个定点的距离的差的绝对值不小于的点的轨迹.通过这两个问题的讨论,可以加深学生对双曲线定义的认识.4.双曲线的标准方程教科书通过类比椭圆标准方程的研究过程与方法,建立双曲线的方程.教学中要在对比椭圆、双曲线定义的基础上,让学生自主推导双曲线的标准方程;并对椭圆、双曲线的标准方程进行比较,分析它们的结构特点,发是不同点以及不同形式的标准方程.（1）建立适当的平面直角坐标系观察发现双曲线具有对称性,与求椭圆方程的建系过程完全类似,建立以点和所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴的平面直角坐标系.教学中应再次强调,把握所研究的几何对象的基本特征（如对称性、特殊的点等),对于合理建立坐标系、简化代数运算、得出特征明显的代数方程等都是非常重要的.（2）写出曲线上的点所满足条件的集合求曲线方程的实质是要找到曲线上的点所满足的条件.一般情况下,可以由确定曲线的几何条件得到.根据双曲线的定义,双曲线上的点满足条件的集合是,.教学中可以让学生类比椭圆标准方程的建立过程,认识把与两个定点的距离的差的绝对值设为,可以为运算带来方便，并且使标准方程的表达式简洁.教学时还应让学生认识它的几何意义,以及它与椭圆长轴长的区别.（3）根据点的坐标满足条件的集合写出方程将中的等式解析化,也就是用坐标表示集合中的等式,得到关于的方程,记为.教学中应指明,坐标法的基础是建立平面直角坐标系,然后由集合得到方程,把几何条件代数化,从而获得方程.（4）化简方程为用方程研究曲线的性质,需要化简方程.教科书将等价变形为,然后类比椭圆标准方程的化简过程,得到.教学中要通过让学生自主解决教科书边空中的问题:你能在轴上找一点,使得吗?使学生认识的几何意义,并要与椭圆标准方程进行对比,认识双曲线中的与㮁圆中的之间的差异.（5）“双曲线的方程”与“方程的双曲线"与前面的学习一样，在推导出方程后，教科书结合化简过程,对双曲线与方程之间的关系进行了讨论.教学时应通过问题,让学生再一次体会这种讨论的必要性.（6）焦点在轴、y轴上的双曲线标准方程的比较得到焦点在轴上的双曲线的标准方程后,应让学生按教科书中的“思考”,回答焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么.当学生类比焦点在轴上的椭圆的标准方程,回答后,可通过如下两个方面对进行比较:一是两个焦点的位置（在轴上还是在轴上）与负号的位置,二是方程中与的对应位置,要使他们认识到:若项的系数是正数,则双曲线的焦点在轴上;若项的系数是正数,则双曲线的焦点在轴上.对于双曲线,要强调不一定大于,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上.5.椭圆、双曲线标准方程的比较获得双曲线的标准方程后，教师可指导学生将椭圆、双曲线的标准方程列表进行对比，以弄清它们的区别与联系.6.例1、例2的教学本小节安排了两个例题.安排例1的目的是熟悉双曲线的定义和标准方程，明确确定双曲线的几何要素，并会用待定系数法求双曲线的标准方程，其中需要识别，熟练应用解决双曲线的相关问题.例2是双曲线的实际应用，它可以使学生在例1的基础上进一步熟悉双曲线的定义，把握实际问题解决的过程.教学时，要让学生在分析与解答中再次体会依据不同条件求曲线方程的方法.教科书在这道例题之后给出了利用双曲线进行点的定位问题的一般性论述，教学时可以考虑设计一个具体问题，让学生在课堂解决或作为作业.7.关于第121页的“探究”这个“探究”与“椭圆”中的例3相呼应，那时斜率之积是一个负的常数，此时斜率之积是正的常数.“探究”结论的一般化表述是：如果动点与两个定点所连直线的斜率之积是一个正数,那么动点的轨迹是双曲线.3.双曲线的简单几何性质1.如何研究双曲线的几何性质教科书给出的“思考”提出了类比椭圆几何性质的研究方法,对双曲线,）的几何性质进行研究.教学中,要让学生通过类比,提出可以研究双曲线的哪些性质,构建研究路径,给出研究方法并自主探究得出结论.当然,对于双曲线的渐近线问题,教师要加强引导.2.双曲线的范围、对称性、顶点类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程研究双曲线的范围、对称性、顶点.（1）范围观是双曲线,可以直观发现双曲线上的点的横坐标的范围是或,纵坐标的范围是.这是“形”的角度，接着从“数”的角度予以确认.根据方程,得到,从而,或.由的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线.对于双曲线的范围,教学时要讲清两点,一是只有当时,方程(1)中的才有与之对应的值;二是对任意实数,方程中都有的值与之对应,且满足.由上可知,位于两条直线与之内的区域没有双曲线上的点,所以,双曲线位于直线及其左侧,以及直线及其右侧的区域,并且两支都向外无限延伸.（2）对称性观察双曲线,从图形直观上可以发现双曲线既关于坐标轴对称,又关于原点对称.教学时，应让学生根据方程回答为什么双曲线关于坐标轴、原点都对称.此时,可以完全类比㮋圆对称性的研究过程:用代代分别代,方程的形式不变,从而说明双曲线关于坐标轴、原点对称.（3）顶点观察双曲线,从图形直观上可以发现双曲线与轴有两个交点和,与轴没有公共点.这与椭圆不同.教学时，应让学生根据方程说明双曲线与轴有两个交点,与轴没有公共点.对于教科书为什么把两点画在轴上,并把线段称为双曲线的虚轴,学生会有疑问.教学时可以通过教科书之前安排的边空问题“你能在轴上找一点,使得吗?"启发学生，线段有明显的几何意义,即是直角三角形,且,并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它.3.渐近线对圆双曲线来说,渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能较为精确地画出它的图形.在学习双曲线的渐近线前,教科书设置了一个“探究",要求在双曲线位于第一象限的曲线上画一点,测量点的横坐标及它到直线的距离,向右拖动点，观察与的大小关系,你发现了什么?这个“探究”目的在于让学生通过操作，直观感受,在向右拖动点时(无限)增大),逐渐减小，（无限）趋向于零.教科书指出：可以看到,双曲线的各支向外延伸时,与两条直线逐新接近,我们把这两条直线叫做双曲线的新近线.也就是说,双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交.这里没有给出双曲线的新近线严格定义,只是一种描述.对于“无限接近”也只能是直观感受,操作确认.教科书在本节末的“探究与发现”栏目中,解释了为什么是双曲线的渐近线.供学生阅读参考,以便完善对双曲线渐近线的正确认识.4.离心率首先，教科书给出“思考”,要求学生探索双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征.双曲线的离心率同样用表示.在椭圆中,;而在双曲线中,.类比椭圆的离心率,我们猜想双曲线的离心率刻画的也是某种“扁平程度".由可知,当逐新增大时，逐渐增大,即双曲线的新近线的斜率逐渐增大,此时双曲线的“张口”逐新增大,反之也成立.此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”.因此,双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.由上可知,两者均能刻画双曲线的“张口”大小,从三角函数的角度看,,其中是直线的倾斜角,这也同时回答了教科书边空中所提的问题“用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的'张口'大小吗?它与用离心率刻的‘张口’大小有什么联系和区别?”另外,教学时还可通过信息技术工具的演示,增强学生对“双曲线的离心率是如何影响双曲线‘张口’大小的认识.5.例3~例6的教学教科书安排例3的目的是巩固对双曲线中的几何要素及其几何性质的认识.在得到双曲线的标准方程后，先确定实半轴长和虚半轴长，然后确定焦点的坐标，进而确定离心率、渐近线关键是a，b，c的确定，并认识它们的几何意义，以及三者之间的关系.教学时，可以画出草图，结合图形，直观认识双曲线中的几何要素，以及这些要素之间的关系，获得相应的几何性质.例4综合运用待定系数法和双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，基础是建立适当的坐标系，获得“数”与“形”的对应，即坐标与点，方程与曲线的对应.其中B，C两点纵坐标的表以及相关方程组的求解，需要引导学生正确消元，进而获得问题的解决.与“3.1椭圆”中的例6类似，例5通过具体例子让学生感受双曲线的另一种定义方式将其一般化是椭圆、双曲线以及下面学习的抛物线等圆锥曲线的统一定义.本节习题的“综合运用”中给了一个题目，是对本例的一般化.教学时，可以根据学生的实际情况，结合本例的解决，提出完成这个题目的要求，使学生对“统一定义”