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文档简介
《集合》公式汇总《集合》公式汇总《集合》公式汇总xxx公司《集合》公式汇总文件编号:文件日期:修订次数:第1.0次更改批准审核制定方案设计,管理制度《集合》公式汇总集合(简称集)是数学中一个基本概念,它是集合论的研究对象,集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法,即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义,集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”,叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素,则记作x∈A。集合中的元素有三个特征:1.确定性(集合中的元素必须是确定的)2.互异性(集合中的元素互不相同。例如:集合A={1,a},则a不能等于1)3.无序性(集合中的元素没有先后之分。)并交集并集定义:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。交集定义:由属于A且属于B的相同元素组成的集合,记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。若A包含B,则A∩B=B,A∪B=A补集相对补集定义:由属于A而不属于B的元素组成的集合,称为B关于A的相对补集,记作A-B或A\B,即A-B={x|x∈A,且xB'}绝对补集定义:A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集,记作A'或?u(A)或~A。·U'=Φ;Φ‘=U(一)元素与集合
1、元素与集合的关系:
若是集合的元素,就说属于,记作:,读作“属于”若不是集合的元素,就说不属于,记作:,读作“不属于”。2、集合的表示:
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.形如:{1,2,3,5}描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素.形如:{x|x2+2x-3>0}}图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
3、常见数集的符号表示:
自然数集(非负整数集);
正整数集或;
整数集;
有理数集;
实数集;正实数集符号法N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}N*或N+:正整数集合{1,2,3,…}Z:整数集合{…,-1,0,1,…}Q:有理数集合Q+:正有理数集合Q-:负有理数集合R:实数集合(包括有理数和无理数)R+:正实数集合R-:负实数集合C:复数集合:空集合(不含有任何元素的集合称为空集合,又叫空集)(二)集合间的基本关系概念写法含义相等子集读作“包含于”或“包含”(1)
(2)
(3)真子集读作“真包含于”或“真包含”(1)
(2)非空真子集且A≠空集空集是任何集合的子集注:1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。2、集合个数:★★★★★
集合A中有n个元素,则集合A的子集有()个,真子集有()个,非空真子集有()个元素子集真子集非空子集非空真子集
(三)集合的基本运算及运算法则集合韦恩图数轴表示交集
在画数轴时,要注意层次感和实心空心!并集只要是线下面的部分都要!补集注:
1、集合运算法则:从括号内开始,由内而外
Cu(A∩B)=CuA∩CuB
Cu(A∪B)=CuA∪CuB
2、常见结论:
若A∪B=B,则
若,则一.知识归纳:1.集合的有关概念。1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。②集合中的元素具有确定性(aA和aA,二者必居其一)、互异性(若aA,bA,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类:有限集,无限集,空集。4)常用数集:N,Z,Q,R,N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1)子集:若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或,且)3)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}4)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}5)补集:CUA={x|xA但x∈U}注意:①A,若A≠,则A;②若,,则;③若且,则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1)与、的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。5.交、并集运算的性质①A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪=A,A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。二.例题讲解:【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一:从判断元素的共性与区别入手。解答一:对于集合M:{x|x=,m∈Z};对于集合N:{x|x=,n∈Z}对于集合P:{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。分析二:简单列举集合中的元素。解答二:M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。=∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。变式:设集合,,则(B)A.M=NB.MNC.NMD.解:当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B【例2】定义集合A*B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为A)1B)2C)3D)4分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。解答:∵A*B={x|x∈A且xB},∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。变式1:已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6a∈M,那么集合M的个数为A)5个B)6个C)7个D)8个变式2:已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.解:由已知,集合中必须含有元素a,b.集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x24x+r=0},且A∩B={1},A∪B={2,1,3},求实数p,q,r的值。解答:∵A∩B={1}∴1∈B∴124×1+r=0,r=3.∴B={x|x24x+r=0}={1,3},∵A∪B={2,1,3},2B,∴2∈A∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,∴∴变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.解:∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m2+6=0,m=-5∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4∴b=-4,c=4,m=-5【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。解答:M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM①当时,ax-1=0无解,∴a=0②综①②得:所求集合为{-1,0,}【例5】已知集合,函数y=log2
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