99状态方程2学时(阅读)课件

9.9状态方程分析过渡过程的方法：高阶微分方程傅氏变换拉氏变换古典控制理论的基础经典法变换法时域频域复频域适用于线性、非线性系统单输入、单输出系统联立一阶微分方程组状态变量法时域现代控制理论基础多输入，多输出系统线性，非线性系统9.9状态方程分析过渡过程的方法：高阶微分方程傅氏变换19.9.1基本概念一、状态和状态变量Y(t)(tt0)可以确定状态、状态变量、状态方程和输出方程。状态(state)：电路在任何时刻所必需的最少信息，它们和自该时刻以后的输入(激励)足以确定该电路的性状。状态变量(statevariable)：描述电路的一组最少数目独立变量，如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。X(t0)e(t)tt0

已知9.9.1基本概念一、状态和状态变量Y(t)(t2

X(t)=[x1(t)、x2(t)、x3(t)…xn(t)]T状态变量在t=0时的值称为初始状态，即，

X(0)=[x1(0)、x2(0)、x3(0)…xn(0)]T也可选电荷q(t)

和磁链ψ(t)

作为状态变量。能完整、确定地描述动态电路时域性质的最少变量为状态变量，状态变量具有独立性和完备性，若状态变量有n个，则通常选电容电压uC(t)和电感的电流iL(t)为状态变量。一个电路中，状态变量的个数等于独立储能元件的个数n。n=m-p-qX(t)=[x1(t)、x2(t)、x3(t)…3解例5uc(0)=3V和us=10V，求uc,iC,uR确定状态变量uC2KΩicucusuRt=01μF已知状态变量uC在uc(0)=3V和us=10V，可以确定t>0电路的响应uc,iC,uR。解例5uc(0)=3V和us=10V，求uc,iC,4解例6输出:

uc,iC,uRRicucusuRt=0若已知状态量uC在uc(t1)=3V和us=10V，也可以确定t>t1电路的响应uc,iC,uR。可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t=t1时uC，

iL和t

t1后的输入uS(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状态变量及初始值。解例6输出:uc,iC,uRRicucusuR5状态方程(stateequations)：由状态变量及其一阶导数和激励描述电路动态过程的一阶微分方程组。二、状态方程(stateequations)任意一个状态变量的一阶导数都能用状态变量和激励线性表示。状态方程(stateequations)：由状态变量及其一6状态方程的矩阵形式设电路输入向量用v(t)表示，v(t)=[v1

v2…vm]T状态变量用x(t)表示，[x(t)]=[x1

x2…xn]T状态变量的一阶导数式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。状态方程为状态方程特点：联立的一阶微分方程组左端为一个状态变量的一阶导数(3)右端为状态变量和输入量的线性表示(4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数状态方程的矩阵形式设电路输入向量用v(t)表示，v(t)=[7状态方程的一般矩阵形式\nn\nm系数矩阵由电路结构和参数状态方程的一般矩阵形式\\系数矩阵由电路结构和参数8三、输出方程特点：(1)代数方程；(2)输出量用状态变量和输入量线性表示。RuLCuS(t)+uCiCuR+++LiLiL2输出方程——由状态变量和输入表示输出量的方程设输出向量用y(t)表示，输出方程一般形式为式中，C、D为系数阵，由电路结构和参数确定。例7输出:

uL,iC,uR,iR的方程

三、输出方程特点：(1)代数方程；RuLCuS(t)+u917.2状态方程的列写1、直观编写状态方程RiLucusuRt=0uL选电容电压uc(t)和电感的电流iL(t)为状态变量用一阶方程来描述电路的动态过程，一阶微分方程为简化，写成矩阵形式17.2状态方程的列写1、直观编写状态方程RiLucusu10例8列写状态方程。解选uC,iL

为状态变量列微分方程RuLCuS(t)+uCiCuR+++LiLiR2整理得状态方程例8列写状态方程。解选uC,iL为状态变11特点：左端为状态变量的一阶导数列向量；(2)右端含状态变量列向量、输入量列向量和系数矩阵；整理为矩阵形式系数矩阵状态变量输入量特点：左端为状态变量的一阶导数列向量；整理为矩阵形式系数矩阵12上例中也可选uC和duC/dt为状态变量RuLCuS(t)+uCiCuR+++LiLiL2令x1=uC,x2=duC/dt即则x1x2上例中也可选uC和duC/dt为状态变量RuLCuS(t)13(2)一般选择uC和

iL为状态变量，也常选

和

q为状态变量。(3)状态变量的选择不唯一。小结状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于独立的储能元件个数。(2)一般选择uC和iL为状态变量，也常选和q14选uC,i1,

i2为状态变量例9编写状态方程解uCR1+uSCiSiRR2i2L2L1

+i1

ic为获得diL/dt和duC/dt，需对仅连一个电容的节点用KCL，对只含一个电感的回路用KVL选uC,i1,i2为状态变量例9编写状态15状态方程为状态方程为16选u1,u2,i3,

i4为状态变量消去非状态量

i5,i6i5=(u2u1)/R5i6=i4i3代入上式，整理L3i3uSR6R5C2C1L4+i5i6i4++u1u2例10列写图示电路的状态方程。解选u1,u2,i3,i4为状态变量消去非17将状态方程整理为矩阵形式为将状态方程整理为矩阵形式为18二、叠加法编写状态方程将电源、电容、电感均抽到网络外。(2)电容用电压源替代，电感用电流源替代。(3)用叠加定理求iC,uL。

则uS、iS、uC、iL共同作用下的iC,uL

iC,uL为：iC=a11uC1+a12iL+

b11uS+b12iS

uL=a21uC1+a22iL+

b21uS+b22iSiL+uCuCuSR电阻网络+iS+iL二、叠加法编写状态方程将电源、电容、电感均抽(2)电容用电压19例11

设uC1、uC2、iL为状态变量

(1)uC1单独作用iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0解求：iC1，iC2,uL。列写图示电路的状态方程分量！iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++++R1R2uC1iC1iC2uL++例11设uC1、uC2、iL为状态变量(1)u20

(2)uC2单独作用(iL=0，iS=0，uS=0,uC1=0)

(3)iL

单独作用(iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uC2iC1iC2uL++R1R2iC1iC2uLiL+(2)uC2单独作用(iL=0，iS=0，uS=021(4)uS

单独作用(iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)(5)iS

单独作用(uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uSiC1iC2uL++iSR1R2iC1iC2uL+(4)uS单独作用(iS=0，iL=0,uC122uC1uC2iL

uS

iS

(6)整理成标准形式uS、iS、uC、iL共同作用下的iC,uL为：uC1uC223(1)对电容节点列KCL方程，对电感回路列KVL方程(2)用叠加法消去非状态量uR1，uR20.60.40.60.41.21.21.21.2uCiL1iL2uS(t)uR1uR2例12uR1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)uR2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)+uS(t)2F+uC33HiL1uR1+24HiL2uR2+(1)对电容节点列KCL方程，(2)用叠加法消去非状态24=

0.2uC+0.6iL1+0.4iL2+0.2uS(t).3iL1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)

2uC=iL1

0.2uC

0.4iL1+0.4iL2+0.2uS(t).4iL2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)

.uR1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)uR2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)将代入得=0.2uC+0.6iL1+0.4iL2+25三、系统法编写状态方程1.选择一组独立的状态变量，通常取独立的电容电压和电感电流。2.选择一树T，原则为（1）电容支路、电压源支路为树支；（2）部分电阻支路为树支；（3）电感支路和电流源支路为连支（4）部分电阻支路为连支；3.列写状态方程：（a）对只含一个独立电容的节点或割集由KCL列相应的电流方程；三、系统法编写状态方程1.选择一组独立的状态变量，通常取独立26（b）对只含一个独立电感的基本回路由KVL列写电压方程（应包括尽可能少的非状态变量）；（c）消去所列的方程中出现的非状态变量：对不含独立电容的节点或割集由KCL列方程；对不含独立电感的回路由KVL列方程。（3）求解状态方程得到状态变量的解。（4）列输出方程并由步骤(3)中得到的状态变量求解输出变量。（b）对只含一个独立电感的基本回路由KVL列写电压方程27iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++++i1i2例13列写状态方程解1.选状态变量为uC1、

uC2、

iL2.选状态变量为iC1、

iC2、

iL支路为树支3.列写状态方程对仅含电容支路的割集列KCL方程i1ic2isiLic1i2iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++28对仅含电感支路的回路列KVL方程消去所列的方程中出现的非状态变量i2iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++++i1i2i1ic2isiLic1i2对仅含电感支路的回路列KVL方程消去所列的方程中出现的非状态2999状态方程2学时(阅读)课件30方程的矩阵形式为方程的矩阵形式为31列出图示电路的状态方程和以节点电压为输出变量的输出方程。其中C2=0.5F，C3=C4=0.1F，L7=2H，L8=1H，G1=1S，R6=1Ω。4①⑤②③④01234567980C2C3C4L7L8R6G5us1is9①②③④⑤例14解

选择电容电压和电感电流iL7、iL8为状态变量，列出图示电路的状态方程和以节点电压为输出变量的输出方程。其中32画出特有树T{1,2,3,4,5}对由树支2、3、4构成的基本割集{2,7}、{3,6,7}、{4,6,8,9}根据KCL分别列方程，有：画出特有树T{1,2,3,4,5}对由树支2、3、4构成的33状态方程为状态方程为34

令，，，，，则有

令35节点电压分别为整理并写成矩阵形式的输出方程为节点电压分别为整理并写成矩阵形式的输出方程为369.8.3状态方程的求解时域法频域法状态方程标准形式为解析法数值法其中为A、B常数矩阵，X、V是t的函数两边取拉氏变换，得对上式作拉氏反变换，得单位阵9.8.3状态方程的求解时域法状态方程标准形式为解析法37例14.用状态变量法求开关合上后

uL(t)。解先列状态方程，求状态量uC，

iL。uCiLuL20uC20ViL0.2H0.5F1WuC+++uLS例14.用状态变量法求开关合上后uL(t)。解先列状态方程38AB

备忘AB备忘39反变换得反变换得409.9状态方程分析过渡过程的方法：高阶微分方程傅氏变换拉氏变换古典控制理论的基础经典法变换法时域频域复频域适用于线性、非线性系统单输入、单输出系统联立一阶微分方程组状态变量法时域现代控制理论基础多输入，多输出系统线性，非线性系统9.9状态方程分析过渡过程的方法：高阶微分方程傅氏变换419.9.1基本概念一、状态和状态变量Y(t)(tt0)可以确定状态、状态变量、状态方程和输出方程。状态(state)：电路在任何时刻所必需的最少信息，它们和自该时刻以后的输入(激励)足以确定该电路的性状。状态变量(statevariable)：描述电路的一组最少数目独立变量，如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。X(t0)e(t)tt0

已知9.9.1基本概念一、状态和状态变量Y(t)(t42

X(t)=[x1(t)、x2(t)、x3(t)…xn(t)]T状态变量在t=0时的值称为初始状态，即，

X(0)=[x1(0)、x2(0)、x3(0)…xn(0)]T也可选电荷q(t)

和磁链ψ(t)

作为状态变量。能完整、确定地描述动态电路时域性质的最少变量为状态变量，状态变量具有独立性和完备性，若状态变量有n个，则通常选电容电压uC(t)和电感的电流iL(t)为状态变量。一个电路中，状态变量的个数等于独立储能元件的个数n。n=m-p-qX(t)=[x1(t)、x2(t)、x3(t)…43解例5uc(0)=3V和us=10V，求uc,iC,uR确定状态变量uC2KΩicucusuRt=01μF已知状态变量uC在uc(0)=3V和us=10V，可以确定t>0电路的响应uc,iC,uR。解例5uc(0)=3V和us=10V，求uc,iC,44解例6输出:

uc,iC,uRRicucusuRt=0若已知状态量uC在uc(t1)=3V和us=10V，也可以确定t>t1电路的响应uc,iC,uR。可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t=t1时uC，

iL和t

t1后的输入uS(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状态变量及初始值。解例6输出:uc,iC,uRRicucusuR45状态方程(stateequations)：由状态变量及其一阶导数和激励描述电路动态过程的一阶微分方程组。二、状态方程(stateequations)任意一个状态变量的一阶导数都能用状态变量和激励线性表示。状态方程(stateequations)：由状态变量及其一46状态方程的矩阵形式设电路输入向量用v(t)表示，v(t)=[v1

v2…vm]T状态变量用x(t)表示，[x(t)]=[x1

x2…xn]T状态变量的一阶导数式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。状态方程为状态方程特点：联立的一阶微分方程组左端为一个状态变量的一阶导数(3)右端为状态变量和输入量的线性表示(4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数状态方程的矩阵形式设电路输入向量用v(t)表示，v(t)=[47状态方程的一般矩阵形式\nn\nm系数矩阵由电路结构和参数状态方程的一般矩阵形式\\系数矩阵由电路结构和参数48三、输出方程特点：(1)代数方程；(2)输出量用状态变量和输入量线性表示。RuLCuS(t)+uCiCuR+++LiLiL2输出方程——由状态变量和输入表示输出量的方程设输出向量用y(t)表示，输出方程一般形式为式中，C、D为系数阵，由电路结构和参数确定。例7输出:

uL,iC,uR,iR的方程

三、输出方程特点：(1)代数方程；RuLCuS(t)+u4917.2状态方程的列写1、直观编写状态方程RiLucusuRt=0uL选电容电压uc(t)和电感的电流iL(t)为状态变量用一阶方程来描述电路的动态过程，一阶微分方程为简化，写成矩阵形式17.2状态方程的列写1、直观编写状态方程RiLucusu50例8列写状态方程。解选uC,iL

为状态变量列微分方程RuLCuS(t)+uCiCuR+++LiLiR2整理得状态方程例8列写状态方程。解选uC,iL为状态变51特点：左端为状态变量的一阶导数列向量；(2)右端含状态变量列向量、输入量列向量和系数矩阵；整理为矩阵形式系数矩阵状态变量输入量特点：左端为状态变量的一阶导数列向量；整理为矩阵形式系数矩阵52上例中也可选uC和duC/dt为状态变量RuLCuS(t)+uCiCuR+++LiLiL2令x1=uC,x2=duC/dt即则x1x2上例中也可选uC和duC/dt为状态变量RuLCuS(t)53(2)一般选择uC和

iL为状态变量，也常选

和

q为状态变量。(3)状态变量的选择不唯一。小结状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于独立的储能元件个数。(2)一般选择uC和iL为状态变量，也常选和q54选uC,i1,

i2为状态变量例9编写状态方程解uCR1+uSCiSiRR2i2L2L1

+i1

ic为获得diL/dt和duC/dt，需对仅连一个电容的节点用KCL，对只含一个电感的回路用KVL选uC,i1,i2为状态变量例9编写状态55状态方程为状态方程为56选u1,u2,i3,

i4为状态变量消去非状态量

i5,i6i5=(u2u1)/R5i6=i4i3代入上式，整理L3i3uSR6R5C2C1L4+i5i6i4++u1u2例10列写图示电路的状态方程。解选u1,u2,i3,i4为状态变量消去非57将状态方程整理为矩阵形式为将状态方程整理为矩阵形式为58二、叠加法编写状态方程将电源、电容、电感均抽到网络外。(2)电容用电压源替代，电感用电流源替代。(3)用叠加定理求iC,uL。

则uS、iS、uC、iL共同作用下的iC,uL

iC,uL为：iC=a11uC1+a12iL+

b11uS+b12iS

uL=a21uC1+a22iL+

b21uS+b22iSiL+uCuCuSR电阻网络+iS+iL二、叠加法编写状态方程将电源、电容、电感均抽(2)电容用电压59例11

设uC1、uC2、iL为状态变量

(1)uC1单独作用iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0解求：iC1，iC2,uL。列写图示电路的状态方程分量！iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++++R1R2uC1iC1iC2uL++例11设uC1、uC2、iL为状态变量(1)u60

(2)uC2单独作用(iL=0，iS=0，uS=0,uC1=0)

(3)iL

单独作用(iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uC2iC1iC2uL++R1R2iC1iC2uLiL+(2)uC2单独作用(iL=0，iS=0，uS=061(4)uS

单独作用(iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)(5)iS

单独作用(uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uSiC1iC2uL++iSR1R2iC1iC2uL+(4)uS单独作用(iS=0，iL=0,uC162uC1uC2iL

uS

iS

(6)整理成标准形式uS、iS、uC、iL共同作用下的iC,uL为：uC1uC263(1)对电容节点列KCL方程，对电感回路列KVL方程(2)用叠加法消去非状态量uR1，uR20.60.40.60.41.21.21.21.2uCiL1iL2uS(t)uR1uR2例12uR1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)uR2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)+uS(t)2F+uC33HiL1uR1+24HiL2uR2+(1)对电容节点列KCL方程，(2)用叠加法消去非状态64=

0.2uC+0.6iL1+0.4iL2+0.2uS(t).3iL1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)

2uC=iL1

0.2uC

0.4iL1+0.4iL2+0.2uS(t).4iL2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)

.uR1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)uR2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)将代入得=0.2uC+0.6iL1+0.4iL2+65三、系统法编写状态方程1.选择一组独立的状态变量，通常取独立的电容电压和电感电流。2.选择一树T，原则为（1）电容支路、电压源支路为树支；（2）部分电阻支路为树支；（3）电感支路和电流源支路为连支（4）部分电阻支路为连支；3.列写状态方程：（a）对只含一个独立电容的节点或割集由KCL列相应的电流方程；三、系统法编写状态方程1.选择一组独立的状态变量，通常取独立66（b）对只含一个独立电感的基本回路由KVL列写电压方程（应包括尽可能少的非状态变量）；（c）消去所列的方程中出现的非状态变量：对不含独立电容的节点或割集由KCL列方程；对不含独立电感的回路由KVL列方程。（3）求解状态方程得到状态变量的解。（4）列输出方程并由步骤(3)中得