高中数学解题中隐含条件的挖掘

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尹秀香

数学在高中阶段是十分重要的科目之一，对高中生的学业及生活都起到十分关键的作用.从高中生的角度来看，数学的学习任务相对繁重，需对把握大量知识点，所学习的内容也较为庞多和杂乱.因此，高中数学能够对大部分的高中生产生阻碍.对高中生而言，要想把数学学好，就须将高中数学的知识点融会贯穿，对高中数学题中具有的隐含条件进行挖掘，从而发现解题的思路，使数学问题能够得到顺利解决.本文旨在探讨如何通过对高中数学解题中隐含条件的挖掘，发现解题方法.

高中数学;解题;隐含条件;挖掘

数学问题的完整性寻常包括条件与目标两个方面.问题条件主要具有显性条件与隐含条件以及干扰项.显性条件在解答方面能够提供十分直接的帮助;隐含条件普遍都受忽略，因此需要学生独立挖掘;干扰项使题目难度增加，对学生的思考设置产生影响.在解题的过程中，学生只要对显性条件进行确认，对隐含条件进行挖掘，对干扰项进行排除，才可以使解题的效率得到提升.

一、意义

有些数学问题即使表面上看对比有难度，但是若是能够把数学题内存在的隐含条件挖掘出来，就可以使解题步骤得到快速简化，将题中具有的数量关系理清，使解决数学问题的效率提高[1].

二、方法

（一）已知条件方面

解决高中数学问题的过程，本质就是对学生规律思维的考察过程.分析题中存在的隐含条件就是通过规律思维进行的.在学习高中数学知识的过程中，虽然教师的讲解十分重要，但是学生进行练习也是十分关键的.学生进行数学的日常练习时，基本上都会把教师在课堂上传授的知识进行变形或者拓展，属于将知识进行延伸.所以，学生在练习时，题目难度就会变大.学生在进行具体题目的解决时，若是想得到其中存在的隐含条件，就需要全面分析与研究已知条件，对已知定理或者设定进行透彻理解与分析，确切找到题目条件所包含的定义与公式，再利用公式变形将题中存在的隐含条件找出.

例如：已知函数f（x）=loga（x+1）（a0，且a≠1），g（x）=loga（4-2x）.求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围.

题目自身较为繁杂，学生在表象认识方面存在困难.學生第一眼看到此题目时，会认为此题所给的条件不够，无法解答.有些学生还会被禁锢于题目浮现的简单条件之中，这时若是想在其中发现隐含的条件就十分困难了.因此，学生在做题时，必需将题面上所给的全部已知内容都找到，且在其中找到需要解决的问题与高中数学内一些定理的相像之处[2].

解析：令f（x）-g（x）0，得f（x）g（x），即loga（x+1）loga（4-2x）.当a1时，可得x+14-2x，解得x1.由于-1x2，所以1x2;当0a1时，可得x+14-2x，解得x1，由于-1x2，所以-1x1.综上所述，当a1时，x的取值范围是（1，2）;当0a1时，x的取值范围是（-1，1）.

由解析所表达的内容可以清楚地看到，此题的解题关键在于通过已知条件进行转化，从而找到该题目的解题核心即“令f（x）-g（x）0，得f（x）g（x）〞.在找到解题关键后，该题由已知条件不完整，变成了一道简单的不等式问题，这在极大程度上降低了解题难度.同时，在上述的题目解析中可以发现，高中数学问题的条件寻常不会直接浮现给解题者，而是需要解题者在利用平日课堂上所学内容的基础上，合理运用规律思维在题干中找到解题关键.因此我们可以说，高中阶段的数学题目正是为了有效考察学生的规律思维，并以此锻炼学生的思维能力.

（二）推理方面

学生在进行高中数学的学习时，只需对方法有一定的把握就能够使题目难度得到明显降低.题目内具有的隐含条件是将数学问题完全解决的重要内容.学生只有不断推理和探究题目，才能发现解决问题的方法，发现解题时需要的实质内容.但是一部分题目十分繁杂，很难挖掘其中存在的隐含条件，只有利用具有严密性的规律推理与求证，才能够将隐含条件推导出来，最终将问题解决[3].

例如：已知A+B+C=π，求证：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.

学生在看到此题时，第一反应就是题目中条件不够，没有方法解题.但是若是经过较为严密的推理就可以将此题中存在的隐含条件找到.

解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需证明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由两角和的正切公式的变形可得tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），结合三角形内角的关系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出结果.

证明：由于tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，

tan2C2+tan2B2≥2tanC2tanB2，

tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，

所以将三个不等式相加可得：

tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2tanB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，

即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.

由上述题目解析可知，仅凭题干的已知条件进行证明是无法直接解开此题的，需要学生进一步利用自身的知识积累来找到题中的隐含条件.类似于上述形式的数学题目，在高中阶段的“出镜率〞较高，并且具有一定的难度.但是通过上述解题过程不难发现，该类题目的出题意图在于考察学生的知识储存，学生只有把握固定的不等式关系，才能满足上述题目的解题要求.同时，学生在解题过程中，仍旧需要将自身积累的数学知识运用于解题过程中，从而为题目“凑齐〞解题条件.而这种思维在学生未来进行科学或学术研究时，能够为其起到一定的支撑作用.在学术研究过程中必需通过已知的知识来求证未知知识，在条件不满足的状况下，科研人员一定要具有上述的“拼凑〞思维，奇妙且合理地将所有知识及条件集聚在一起，才能解开未知的谜题.因此，学习与练习数学题目能够在一定程度上培养学生的思考能力，为其日后的工作及学习奠定良好的基础.

（三）定义方面

定义和性质是数学解题过程中的着手处，属于浅显的隐含条件，但若是不够重视就会成为十分隐蔽的隐含条件.例如，一元二次方程中的二次项系数不能是0，指数函数中底数必需是不是1的正数，等等.

例如：已知数列{an}中，a1=3，前n项和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求证：数列{an}是等差数列.

解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an-1，则（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，两式相减整理后利用等差中项公式可判断.

证明：由于Sn=12（n+1）（an+1）-1，

所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，

所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，

整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①

所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②

②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，

所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），

所以2an+1=an+2+an，

所以数列{an}为等差数列.

通过上述题目解析可知，在进行数学题目解答时，学生需要确切把握使数学概念成立的充分与必要条件.在高中阶段的数学学习过程中，好多定理的存在与成立都需要一定的固有基础，同时根据定理又能得到相应的固有结论.因此，在一般的数学题目中，既定的充要条件寻常不会直接浮现，学生需要通过自身对于定理的熟练把握在解题过程中自行进行补充，从而满足题目的解题需求.因此，教师在日常的数学教学中，需要对学生在该方面进行强调，并在讲解新定理的过程中要求学生对定理的结论及条件进行记忆.但需要注意的是，教师在课程中对学生提出定理记忆要求时，需要直接协同上述类型的题目要求学生进行练习，从而使学生直观感受到记忆定理的作用.

（四）联系方面

在单独地、孤立无援地对已知条件进行审视时，能够在已知条件的联系中发现新的隐含条件.

例如：锐角α，β满足条件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.

证明：由已知可设sin2αcosβ=cosθ，cos2αsinβ=sinθ，

则sin2α=cosθcosβ，①cos2α=sinθsinβ，②

①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，

所以θ=2kπ+β（k∈Z），

所以sin2α=cosθcosβ=cos2β，cos2α=sinθsinβ=sin2β，

由于α，β为锐角，所以sinα=cosβ=sinπ2-β，

所以α=π2-β，即有α+β=π2.

由上述类型的题目及对应解析可知，学生在进行数学习题解答的过程中，需要充分认识到题干中所存在的固有关系，而该类固有关系正是题目的隐含条件，学生只有及时发现该类隐含关系才能有效解开该类题目.此类题目在发现隐含条件后的整体运算并难，故需要教师在日常练习过程中帮助学生进行解答，并指导学生进行相应的积累.其中在要求学生进行积累时，教师要有所侧重的为学生指出解题重点，意在培养学生发现隐含条件的思维能力，切忌放任学生死记硬背.

（五）认知动因方面

在数学教学活动中，不但具备将认知动因进行激活的策略，也具备将认知内容和方法进行激活的策略，前面的内容依据联想，后面的内容依据类比[4].解题的过程不仅是联想的过程也是类比的过程.

例如：在等比数列中，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20等于多少？

分析：这是一道关于等比数列的题目，要回忆等比数列的前n项和的公式.首先，由已知条件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下来就可以利用等比数列的前n项和公式将其进行变形，进而得到关于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數列的前n项和公式进行解答就可以了.

解：由于S30=13S10，且数列为等比数列，所以q≠1.

由于S30=13S10，S10+S30=140，

所以S10=10，S30=130，

所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，

所以q20+q10-12=0，

所以q10=3，

所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.

从该类题目的解题过程中可以看出，此类题目能够很好地检验学生对题干的拆解能力，教师在为学生讲解过题目后，一定要重点对其隐含条件“q≠1〞及等比数到的特征进行总结，其目的在于吸引学生对题干的注意力，从而在后续解题过程中能够发现题干中的隐蔽条件.

（六）图形方面

一位法国数学家曾经说过，代数和几何一旦分道扬镳，那么它们的发展范围就会变得十分缓慢，它们在应用方面就十分狭窄，但是把它们相互结合、相互联系，它们就能相辅相成、相互影响，就能够加快发展的步伐，变得更加完善.

例如：已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A，B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标.

分析：从题中能够看出，若不通过数形结合，则很难算出P到A，B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标，因此，可以利用数形结合的方式进行解题，如下图所示.易得当B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大，设直线AB′的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB′的解析式，点P即是此函数与x轴的交点坐标.

解：设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，AB′，

则B′（3，5），PB′=PB，

所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，

则B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大.

设直线AB′的解析式为y=kx+b，

则有2=k+b，

5=3k+b，可得k=32，

b=12，

所以直线AB′的解析式为y=32x+12.

令y=0，可得x=-13，

所以符合题意的点P的坐标为-13，0.

数形结合不仅是数学发展历史中的重要发现，也是当下高中数学题