眼科医院的病床安排

眼科医院的病床安排眼科医院的病床安排眼科医院的病床安排资料仅供参考文件编号：2022年4月眼科医院的病床安排版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：原队号：86翟晨曦郑心如原队号：86翟晨曦郑心如梁乐摘要解决眼科医院病床的安排问题属于统计学的范畴。在对既给数据进行统计分析后，针对不同问题，我们分别采用了层次分析法（APH法）、加权排队模型、单母体正态分布区间估计、多目标优化模型，就充分利用医院的有限资源建立模型解决病床合理安排的问题。问题一，针对问题，筛选确定评价指标，包括病床周转率、病人入院等待时间、病人术前等待时间、量化公平度（用各类疾病平均入院等待时间的方差量化）。利用APH法科学计算权重，最终确定综合指标，综合指标越小，表示安排模型越好。根据题目所给所有出院病人信息，对于现有的安排模型进行评价，计算得到综合指标为4.703。问题二首先运用蒙特卡罗方法建立随机仿真模型，对已做手术病人的出院时间进行模拟，从而得到第二天拟出院病人数。再根据一定的优先规则建立基于优先级的病床分配模型，确定第二天应该安排哪些病人住院。最后用问题一中建立的评价体系对分配方案进行评价，得综合评价指标为4.424,比按照FCFS原则得到综合评价指标要小，说明所见模型能改善医院病床安排现状。 问题三，为了能够让病人在门诊时就能被告知大致入住医院的时间区间，我们根据对2008年9月12日以后拟入院病人的数据，统计得到除急症病人外，其他病人的平均入院等待时间，然后建立区间估计模型，对门诊病人的入住时间进行估计。在不考虑外伤的情况下，可近似认为每种病的患者的入院等待时间服从正态分布，在总体方差未知情况下对入院等待时间做区间估计，得入住时间区间如下表所示：病种外伤白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病入住时间区间1[10,13][9,11][10,13][14,18]问题四要求在医院周六、周日不安排手术的情况下对病床分配及手术安排进行讨论。首先仍然按照第二问中的模型安排病床并重新对其进行评价，得到评价的结果不好，说明不能采用第二问中的安排模型；然后分析第二问模型分配不合理的原因，说明无法通过病床安排改善模型，必须调整医院手术时间安排，并对调整后得到的模型进行评价。最终我们得到将周一、周三的白内障手术改放在周三、周五做时模型最优。问题五，基于各类病人占用病床比例大致固定的思想建立多目标病床比例优化分配模型。在考虑病人平均逗留时间最短之后，再考虑使得医院效益最大化，即在平均逗留时间最短的前提下，让病床周转率最大，病床利用率固定为100%。最终选择最优床位数目为：类型白内障（单眼）白内障（双眼）青光眼视网膜疾病外伤病床分配/位141571726最后给出模型评价和推广。关键词：APH法优先级蒙特卡罗法区间估计多目标优化问题重述由于床位数目的限制，对于床位的安排需要考虑排队的方法。考虑某医院眼科病床的合理安排，此医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（FirstCome,FirstServe）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。针对2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。同时就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并利用指标体系作出评价。同时根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，分析确定在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。考虑到住院部周六、周日不安排手术，重新安排病人的住院情况，并且综合评价。在各类病人占用病床的比例大致固定的情况下，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。问题分析对于问题一，分析所给表格以及查阅相关资料，确定综合评价体系中的每个指标，进而运用层次分析法确定综合指标中每个指标的权重。进而建立综合评价模型，对于现有病床安排模型进行评价。对于问题二，要建立床位安排模型，首先需要对第二天出院病人数进行模拟，确定空床数。然后对病床进行分配，此时我们需要根据医院的实际手术安排情况和疾病的特点确定病人住院的优先级，再根据优先级求取合理的分配方案。对于问题三，对2008年9月12日拟出院病人的数据，统计得到除急症病人外，其他病人的平均入住等待时间，然后建立区间估计模型，对门诊病人的住院时间进行估计。对于问题四，若该住院部周六、周日不安排手术，其实就是问题二的模型在遇到特殊情况时，进行一定的调整使病床的分配趋于合理，在无法通过改变病人住院优先级得到合理的病床分配方案时，我们考虑对医院的手术时间安排作出相应调整以保证模型最优。对于问题五，在考虑病人平均逗留时间最短之后，再考虑使得医院效益最大化，即在平均逗留时间最短的前提下，让病床周转率最大化，病床利用率固定为1，建立多目标优化模型。模型假设医院康复的病人当天出院时，安排在当天入住的病人必须住院；手术费用及住院期间每天的治疗费用不变；在所考虑的时间段内医院不会改进医院基础设施；除外伤外无其他急症；医院的手术条件充分，不会因为医生和设备条件问题耽误手术时间；手术都能成功进行，病人享受同等医疗待遇；病人在等待入住时不会中途转到其它医院或者放弃手术；白内障（双眼）患者在同一周完成手术，即周一先做一只，在同一周的周三做另外一只，并且不能够和其他的眼科手术（急症除外）安排在一天。模型建立与求解4.1问题一病床安排评价模型 首先约定如下的符号：符号说明r病床周转率t病人入院等待时间t’病人入院治疗时间pi第i天入住病人人数pi’第i天出院病人人数pi’’第i天门诊病人人数P病人总数N病床总数sj第j个病人门诊时间sj’第j个病人入院时间sj’’第j个病人手术时间sj’’’第j个病人出院时间E公平度g综合评价指标病床安排模型的评价包括多种因素，针对所给数据分析选定以下几个因素进行考虑[1]。病床周转率病床周转率是反映医院工作质量指标之一。每天均会有病人出院，不同时间出院人数不同，病床周转率即为平均每张床在一定时期内周转的次数，说明在一定时期内，平均每一张病床收治了多少病人，从而了解病床的利用情况和治疗情况。则前天内每天病床周转率为：当越大，表示在相同天数病床周转次数越大，则对于有限数目的病床的利用率越高，对于医院来说，其满意度越高，则病床安排越合理。此指标为正向指标。病人入院等待时间在病人门诊后并不能够马上入院，必须依据排队的原则具体安排入院时间。故在病人门诊后和入院之间有一定时间间隔，间隔的长短，则可视作医院处理病人的效率的评价。故可将此指标看作对于病床安排评价的指标。 对于病人来讲，入院等待时间越短，其满意度越高，且存在着由于等待时间过长病人自动退出等待队列的可能性。则等待时间越短，病床安排越合理。则此指标为负向指标。病人术前等待时间对于不同病情，考虑到手术的准备时间，以及对于白内障病人必须在周一和周三两天进行手术以及白内障手术与其他手术（急症除外）不安排在同一天做。从入住到进行手术需要一定的等待时间。 对于病人来讲，手术前等待时间越短，其满意度越高，则病床安排越合理。则此指标为负向指标。公平度在现有的病床安排的规则下，非急症病人均按照FCFS的规则进行排队。病人在门诊后需要等待病床，一旦有空床哪一类病人先入住必须要兼顾到公平性。定义公平度E为四类病人（不考虑外伤病人）的入院等待时间归一化后的方差。公平度越大表示四类病人的平均入院等待时间的差别越大，也就是越不公平，病床安排方法越不合理。则此指标为负向指标。对于以上指标，利用APH法[2]来确定上述四个指标的权重，综合指标确定层次结构图如下：病床安排的评价病床安排的评价病床周转率r入院等待时间t术前等待时间t’公平度E待评价方案图1综合指标层次结构图首先根据专家打分来确定成对比较矩阵，由于总共有4个指标，故可得到一个四阶的成对比较矩阵如表1所示：表1四个指标的成对比较矩阵表周转率r入院等待时间t术前等待时间t’公平度E周转率r1437入院等待时间t0.25115术前等待时间t’0.333115公平度E0.1430.20.21即构造矩阵：然后进行一致性检验，定义一致性指标CI和一致性比率CR： 其中，为成对比较矩阵的最大特征根，由于指标的个数为4，RI取为0.90[3]。当0.1时，通过一致性检验，否则不通过检验。经计算最大特征根为4.1125，计算得CR=0.0417<0.1，通过了一致性检验，则成对比较矩阵设置合理。计算可得最大特征根所对应的特征向量，经归一化为：即为每个指标的权重。再根据各指标的正负性得综合评价指标为： g越小，表明病床安排越合理。统计2008年7月13日至2008年9月11日之间的病人信息可得r=0.002116、t=12.495、t’=2.6793、E=0.000143，最后计算得综合指标为：4.2问题二病床安排模型 首先约定如下的符号：符号说明t病人术后观察时间ξ服从U(0,1)的随机数q病型优先级ti入院等待时间优先级p病人入院优先级为了合理安排病床，我们首先在以往数据的基础上运用蒙特卡罗算法建立随机仿真模型，模拟出已住院病人术后观察时间，进而确定其出院时间。然后根据一定的优先规则得到每位病人每天的优先级，将这些病人按优先级进行排队。由已知第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。最后运用第一问的评价对该病床安排模型进行评价。4.2.1病人出院时间随机仿真模型(1)术后观察时间的分布由于病人手术后康复的速度不同导致其在手术后的术后观察时间t不同，具有一定的随机性，对于白内障双眼患者，其术后观察时间从第一次手术后开始算起.通过对以往病人术后观察时间进行统计分析得到不同种类的病的术后观察时间其分布情况如下图所示：白内障白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病外伤图2各病症术后观察时间分布图(2)残缺分布下的仿真 下面我们以青光眼为例说明随机产生该病的术后观察时间t的过程。由以上的统计结果可得到青光眼术后观察时间的频数及频率统计如下表所示。表2青光眼频数及频率统计表 从上表可知该病的术后观察时间对应于上的8个区间（准确的讲是8个时间点），即。当要知道某一位患该病的病人的术后观察时间时，我们运用蒙特卡罗方法[4]产生一个随机数服从U(0,1)均匀分布的随机数，判断的值落在上表中的哪个区间，这个区间所对应的就是这个病人的术后观察时间。考虑到实际情况中没有在9月11号之前出院的患者，所以此处，我们建立残缺分布下的蒙特卡洛仿真模型。即当按照完全分布仿真出现与现实相矛盾的情况时，认为该模拟出院时间无效，继续进行模拟，重新仿真直到得到有效的值为止。 该过程利用MATLAB编程实现。将部分结果示于下表。表3病人拟出院时间安排表序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1视网膜疾病2008/8/152008/8/292008/8/31/2008/9/132视网膜疾病2008/8/162008/8/292008/8/31/2008/9/133白内障(双眼)2008/8/192008/9/12008/9/82008/9/102008/9/14……71视网膜疾病2008/8/302008/9/112008/9/13/2008/9/2672外伤2008/9/42008/9/52008/9/6/2008/9/1673外伤2008/9/52008/9/62008/9/7/2008/9/1274外伤2008/9/52008/9/62008/9/7/2008/9/134.2.2基于优先级的排队模型 经过上述对病人出院时间的仿真，我们确定了9月11日以后病人的出院时间。下面我们将按照基于优先级的排队模型对已门诊的102位患者的入院时间进行确定。排队病人优先级的确定。 在确定病人优先级的时候，我们需要明确医院在一周内手术时间的安排，知道各类病人术后住院时间的长短，以便最大程度上减少患者住院空等的时间，提高病床使用效率，缩短病人平均等待时间。同时我们考虑病人等待时间越长，病人的不满意度越大，队长可能变得长，因此，我们设定病人等待时间越长，其优先级越高。综合上述讨论，我们遵循如下规则确定病人队列的优先级： 1．外伤最优先考虑，入院后第二天即安排手术； 2．白内障病人准备一天即可手术； 3．青光眼及视网膜病人准备两天才可手术； 4．白内障单眼最适合在周二，周日入住； 5．白内障双眼眼最适合在周日入住； 6．病人术前等待时间尽量接近相应必需的准备时间，以缩短空等时间，提 高病床使用率。 7．病人等待时间越长，其优先级越高； 因此优先级安排按以下两方面确定：对于一个星期中的某一天，考虑住院安排的原则，不同类型患者的优先级不一样，记此优先级为q，按划分的等级数确定它的大小，将优先级划分为四个等级，则其值有四个，即104，103，102，10。在优先级相同的情况下，我们进一步考虑等待时间的因素，患者等待的时间越长，优先级越高，记此优先级为ti。总的优先级等于两部分之和p=q+ti。外伤始终为最高优先级。 按此规则，我们排出了如下优先级表：表4优先级白内障白内障双眼青光眼视网膜疾病星期一104+ti10+ti103+ti102+ti星期二星期三102+ti10+ti104+ti103+ti星期四星期五星期六103+ti104+ti103+ti102+ti星期日入院安排及结果。 按照上述优先级，我们将正在等待的病人进行优先级排队，然后按此排队顺序依次给病人安排入院。利用MATLAB编程实现，安排结果部分示于下表。表5病人拟入院安排表序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1白内障双眼2008/8/302008/9/132008/9/152008/9/172008/9/202视网膜疾病2008/8/302008/9/192008/9/21/2008/9/273青光眼2008/8/302008/9/122008/9/14/2008/9/26……99视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/8100白内障2008/9/112008/9/212008/9/22/2008/9/25101视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/3102视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/2 按照4.1中模型一的评价标准对此模型评价。得病床周转率r=0.1174，平均入院等待时间t=12.961，术前等待时间t’=1.6863，公平度E=0.0318。最终综合评价指标为：同4.1中FCFS方案对比知，本模型得出的方案要优于FCFS模型。具体从各指标来看，病床周转率大大提升，术前等待时间显著缩短，这说明了医院的工作效率提高了，公平度也大有提高。但病人平均等待时间略有增加。通过进一步分析模型和结果，我们可以进一步抽象出一种分配的更一般准则，称为“最优分配准则”，总结为在一天中对住院优先级最高的病人优先安排入院，后面的依次，直至没有空床为止。即每一天中优先级高者优先入院。这样就给出了一个更简单直观的准则，是这个模型的优点。4.3问题三门诊病人大致入住时间区间的估计 首先约定如下的符号：符号说明ξik第i种病第k个病人入院等待时间μi第i类病人入院等待时间母体期望σi第i类病人入院等待时间母体标准差第i类病人入院等待时间样本均值Si第i类病人入院等待时间样本标准差ni第i类病人总数α区间估计置信度水平 为了能够让病人在门诊时就能被告知大致入住医院的时间区间，我们根据当时已经出院病人的数据，统计得到除急症病人外，其他病人的平均住院时间，然后建立区间估计模型，对门诊病人的住院时间进行估计。在不考虑外伤的情况下，可近似认为第i种病第k个患者的入院等待时间ξik服从正态分布Ni(μi,σi2)，其中方差σi2未知，故第i种病患者的平均等待时间μi的置信度为1-α=0.95的置信区间[5]为： 对2008年9月12日之后前来门诊的病人通过模型二预测计算得入院等待时间及Si，代入上式得置信区间，对左边界向下取近似，对右边界向上取近似，得入住时间区间如下表所示：表6入住时间区间病种外伤白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病入住时间区间1[10,13][9,11][10,13][14,18] 根据上表当有病人前来就诊时，院方可以根据患者的病型告诉病人大约等待多久可以安排住院。4.4问题四周六周日不工作的病床安排模型沿用4.2中符号说明。我们考虑在不更改手术时间的基础上，即白内障手术仍然安排在周一和周三，根据实际情况，为病人等待队列重新分配优先级进行排序，然后，按照优先级对病人进行入院时间的安排。优先级分配采用与问题二中相同的规则。优先级确定如下表所示：表7优先级（白内障手术安排在周一和周三）白内障白内障双眼青光眼视网膜疾病周一周二104+ti10+ti103+ti102+ti周三10+ti102+ti104+ti103+ti周四至周日103+ti104+ti102+ti10+ti 按照此表设定的优先级，仍然采用MATLAB编程实现入院时间的安排，部分结果示于下表。表8拟住院病人安排表（白内障手术安排在周一和周三）序号类型门诊时间住院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1白内障（双眼）2008/8/302008/9/122008/9/152008/9/172008/9/212视网膜疾病2008/8/302008/9/212008/9/23/2008/10/43青光眼2008/8/302008/9/172008/9/19/2008/10/1……100白内障2008/9/112008/9/202008/9/22/2008/9/25101视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/5102视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/4 按照4.1模型一评价体系，进行评价得综合指标g=5.458，发现这样安排得到的评价不好。 分析原因在于，当医院周六、周日不安排手术时从住院的情况分析周四、周五不管谁来住院手术准备时间都较长，因此这两天的利用效率很低。而造成这种情况的根本原因就是，白内障手术只能在每周一、三做，做双眼白内障手术只能周一先做一只，周三再做另一只，且其它眼科疾病手术不安排在周一、周三做。这就使得其它眼科疾病除了周四、周五之外，其它时间也没有较合理的住院时间，而也找不到一种病在周四、周五住院合理。为了解决这个问题，必须调整医院手术时间安排即调整白内障的手术时间。 首先，我们考虑将白内障手术时间安排在周二和周四，按照模型二的规则为病人队列分配优先级，结果如下：表9优先级（白内障手术安排在周二和周四）周一103+ti104+ti102+ti10+ti周二周三104+ti10+ti103+ti102+ti周四周五周六102+ti10+ti104+ti103+ti周日103+ti104+ti102+ti10+ti 按照此表设定的优先级，仍然采用MATLAB编程实现入院时间的安排，部分结果示于下表。表10拟住院病人安排表（白内障手术安排在周二和周四）序号类型门诊时间住院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1白内障（双眼）2008/8/302008/9/142008/9/162008/9/182008/9/222视网膜疾病2008/8/302008/9/192008/9/22/2008/10/53青光眼2008/8/302008/9/122008/9/15/2008/9/24……100白内障（双眼）2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/9/26101视网膜疾病2008/9/112008/9/222008/9/24/2008/10/7102视网膜疾病2008/9/112008/9/222008/9/24/2008/10/3 按照4.1模型一的评价体系，进行评价得综合指标g=5.311，有所改善。 其次，我们考虑将白内障手术时间安排在周三和周五，按照模型二的规则为病人队列分配优先级，结果如下：表11优先级（白内障手术安排在周三和周五）周一周二103+ti104+ti102+ti10+ti周三周四104+ti10+ti103+ti102+ti周五周六周日102+ti10+ti104+ti103+ti 按照此表设定的优先级，仍然采用MATLAB编程实现入院时间的安排，部分结果示于下表。表12拟住院病人安排表（白内障手术安排在周三和周五）序号类型门诊时间住院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1白内障（双眼）2008/8/302008/9/152008/9/172008/9/192008/9/232视网膜疾病2008/8/302008/9/142008/9/16/2008/9/263青光眼2008/8/302008/9/122008/9/15/2008/9/24……100白内障2008/9/112008/9/242008/9/26/2008/9/30101视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/2102视网膜疾病2008/9/112008/9/212008/9/23/2008/10/2 按照4.1模型一的评价体系，进行评价得综合指标g=4.732。 最终采用最后一个方案，即将视网膜手术改在周三和周五做。4.5问题五 首先约定如下的符号：符号说明n疾病种数L影响床位分配的因素数量m床位总数xij第j个因素对第i种病人影响的指标值wj第j个影响因素的权重eij第j个因素对第i种病人影响的指标规范化取值qi分配给第i种病患者的床位数 对于问题五，我们考虑到平均逗留时间最短的的方案可能有多种，而各种病床安排方案从效益和效率来讲可能有差异，因此我们考虑建立多指标床位分配模型[6]。该问题可描述如下：设一共有n种病人，影响床位分配的因素有L个，第j个因素对第i种病人影响的指标值为xij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,L)。指标矩阵为：第j个影响因素的权重为wj(j=1,2,...,L)，。可供分配的床位总数为m，第i种病人分到的床位为xi(i=1,2,...,n)，xi为整数，考虑如何为这n种病人“合理分配”这m个床位。通常指标值分为“效益指标”、“成本指标”和“固定指标”。所谓效益指标是指标值越大越好的指标（病床周转率），成本指标是指标值越小越好的指标（平均逗留时间），固定指标是指标值稳定在某个固定值为最好的指标（病床利用率）。 考虑到不同指标属性不同，量纲也可能不同，因此应当对指标作如下规范化处理： 对于效益指标： 对于成本指标： 对于固定指标：其中是为第j个影响因素对第i种病人的最佳指标值。 因此指标矩阵规范化为： 利用主观赋值法或客观赋权法确定各指标的权重wj(j=1,2,⋯,L)。 考虑到多指标床位的合理分配应该按各种病人综合指标的比例来分配，即尽可能地满足各种病人的“综合配额”。设分配给