命题及其关系充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件(1)理解命题的概念.(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以①判断真假的陈述句叫做命题,其中②判断为真的语句叫做真命题,③判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系:(i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦相同的真假性;

(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧没有关系.

▶提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.3.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的⑨充分条件,q是p的⑩必要条件.

(2)若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件.

(3)若p⇒/q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件.

(4)若p⇔q,则p是q的充要条件.

(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.

▶提醒不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.知识拓展(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则¬q是¬p的充分不必要条件.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)“x2-3x+2=0”是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”.()(6)一个命题非真即假.()答案(1)✕(2)✕(3)√(4)√(5)✕(6)√2.下列命题的逆命题为真命题的是()A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2答案B3.当命题“若p,则q”为真时,下列命题中一定为真的是()A.若q,则p B.若¬p,则¬qC.若¬q,则¬p D.若p,则¬q答案C4.若x∈R,则“x>1”是“1x<1”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A5.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.[-3,+∞) D.(-∞,-3)答案A命题及其相互关系典例1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“矩形的对角线相等”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为0”的否命题;⑤“若x≠2或y≠3,则x+y≠5”.其中真命题的序号是.

答案(1)C(2)①②解析(1)将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题.方法技巧1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写成“若p,则q”的形式;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时须保留大前提.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.3.当一个命题直接判断不易进行时,根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,可将命题转化为等价命题,再判断真假.1-1命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,则x2<1C.若x>1或x<-1,则x2>1D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1答案D1-2下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题答案A充分条件、必要条件的判断典例2(1)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)“a=2”是“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)上为增函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)给定两个命题p,q,若¬p是q的必要不充分条件,则p是¬q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A(3)A解析(1)由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件,故选B.方法技巧判断充要条件的常用方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把需判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.2-1已知p:x2-3x+2>0,q:1x2-5x+4>0,则p是q的条件;¬q是¬p的条件;¬p答案必要不充分;必要不充分;充分不必要2-2集合A={x|x>1},B={x|x<2},则“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的条件.

答案必要不充分充分条件、必要条件的应用典例3(1)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是.

(2)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.

答案(1)-12,0解析(1)若α是β的充分条件,则α对应的集合是β对应集合的子集,则m+1≤1,2m+4(2)由2x2-3x+1≤0,得12≤x≤1,设条件p对应的集合为P,则P=x由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,设条件q对应的集合为Q,则Q={x|a≤x≤a+1}.∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件,∴P⫋Q,∴0≤a≤12,∴实数a的取值范围是0方法技巧1.解题“2关键”:(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题“1注意”:求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.3-1已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根”,若¬p是真命题的充分不必要条件为a>3m+1,则实数m的取值范围是()A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1]答案B3-2已知p:A={x|x2-2x-3≤0},q:B={x|x2-2mx+m2-4≤0,m∈R}.若p是¬q的充分条件,则实数m的取值范围是.

答案(-∞,-3)∪(5,+∞)解析易知A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},∴∁RB={x|x<m-2或x>m+2}.∵p是¬q的充分条件,∴A⊆∁RB,∴m-2>3或m+2<-1,∴m>5或m<-3.1.命题“若x≥a2+b2,则x≥2ab”的逆命题是()A.若x<a2+b2,则x<2abB.若x≥a2+b2,则x<2abC.若x<2ab,则x<a2+b2D.若x≥2ab,则x≥a2+b2答案D>3的一个充分不必要条件是()>2 >4<4 <2答案B3.下列说法正确的是()A.“x<2”是“x<4”是必要条件B.“xy=0”是“y=0”的充分条件C.“x=0”是“x2+y2=0”的必要条件D.“|x|<1”是“x<1”的充要条件答案C4.下列结论错误的是()A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题是“若x≠4,则x2-3x-4≠0”B.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题C.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”答案B5.“x(x-5)<0”是“|x-1|<4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A6.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的()A.逆命题 B.否命题C.逆否命题 D.否定答案B7.已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③ B.② C.②③ D.①②③答案A8.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题答案A9.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A因为p:x+y≠-2,q:x≠-1或y≠-1,所以¬p:x+y=-2,¬q:x=-1且y=-1,易知¬q⇒¬p,但¬p⇒/¬q,所以¬q是¬p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.10.已知p:实数x,y满足x>1,且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A若x>1,且y>1,则x+y>2成立,所以p⇒q;反之由x+y>2不能得到x>1,且y>1.所以p是q的充分不必要条件.11.函数f(x)=log2x,<0 <a<1C.12<a<1 ≤0或答案A12.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是()≤-22或k≥22 ≤-22≥2 ≤-22或k>2答案B若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=|-3|k2+1≤1,即k2+1≥3,∴k2+1≥9,即k2≥8,∴k≥22或k≤-22,∴由选项知圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要的条件是13.已知条件p:|x-4|≤6;条件q:(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.[21,+∞) B.[9,+∞)C.[19,+∞) D.(0,+∞)答案B条件p:-2≤x≤10,条件q:1-m≤x≤m+1,又p是q的充分不必要条件,故有1-m≤-14.已知命题“若a<b,则ac2<bc2”,则该命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是.

答案215.以下命题的说法正确的是(填序号).

①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.答案②④16.设有非空集合A、B、C,若“a∈A”的充要条件是“a