能量法 教学讲解课件1

第十二章能量法§12-1概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即U=W第十二章能量法§12-1概述1§12-2杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩§12-2杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩2二、扭转二、扭转3三、弯曲纯弯曲：横力弯曲：三、弯曲纯弯曲：横力弯曲：4四、组合变形

截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。四、组合变形截面上存在几种内力，各个内力及相5例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求6解：解：7例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的8解：解：9例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI为常量。例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功10解：解：11例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P12解：解：13△111△12△222位移互等定理最终变形能与加载顺序无关§12–3互等定理能量方法△111△12△222位移互等定理最终变形能与加载顺序无关§14§12-4

卡氏定理给Pn

以增量dPn

，则：1.先给物体加P1、

P2、•••、

Pn

个力，则：2.先给物体加力dPn

，则：一、定理证明

能量方法dn§12-4卡氏定理给Pn以增量dPn，则：1.先15再给物体加P1、

P2、•••、Pn个力，则：

能量方法dnn=nPU¶¶d卡氏定理应变能对任一外力的偏导数,等于该力作用点沿该力方向的位移.再给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：能量方法d16二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性应变能②

Pn视为变量，结构反力和应变能等都必须表示为Pn的函数③n为Pn

作用点的沿Pn

方向的变形。④当没有与n对应的Pn

时，先加一沿n

方向的Pn

，求偏导后，再令其为零。能量方法dn二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线17三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法18例5结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导能量方法ALPEIxO

例5结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。③变形①求内19求转角

A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明

A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令M

A=0③求变形（注意：MA=0）能量方法LxO

APMA求转角A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。20例6结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。能量方法PALxBPx

CfxOx1例6结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意21③变形（注意：Px=0）能量方法③变形（注意：Px=0）能量方法22§12-3单位载荷法§12-3单位载荷法23第十二章能量法课件124第十二章能量法课件125第十二章能量法课件126莫尔定理

（莫尔积分）莫尔定理

（莫尔积分）27例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。28第十二章能量法课件129例：计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量ΔAB。EI=常数。例：计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张30第十二章能量法课件131例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、μ。例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力32解：解：33例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知GIp、EI为常量例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端34解：(1)解：(1)35(2)(2)36(3)(3)37§12-4图形互乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分§12-4图形互乘法在应用莫尔定理求位移38第十二章能量法课件139第十二章能量法课件140顶点顶点二次抛物线顶点顶点二次抛物线41例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转42解：解：43第十二章能量法课件144例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转45解：解：46第十二章能量法课件147

例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移48解：解：49

例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：

(1)集中力作用端挠度为零时的X值；

(2)集中力作用端转角为零时的X值。例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及50解：(1)解：(1)51(2)(2)52第十二章能量法§12-1概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即U=W第十二章能量法§12-1概述53§12-2杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩§12-2杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩54二、扭转二、扭转55三、弯曲纯弯曲：横力弯曲：三、弯曲纯弯曲：横力弯曲：56四、组合变形

截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。四、组合变形截面上存在几种内力，各个内力及相57例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求58解：解：59例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的60解：解：61例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI为常量。例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功62解：解：63例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P64解：解：65△111△12△222位移互等定理最终变形能与加载顺序无关§12–3互等定理能量方法△111△12△222位移互等定理最终变形能与加载顺序无关§66§12-4

卡氏定理给Pn

以增量dPn

，则：1.先给物体加P1、

P2、•••、

Pn

个力，则：2.先给物体加力dPn

，则：一、定理证明

能量方法dn§12-4卡氏定理给Pn以增量dPn，则：1.先67再给物体加P1、

P2、•••、Pn个力，则：

能量方法dnn=nPU¶¶d卡氏定理应变能对任一外力的偏导数,等于该力作用点沿该力方向的位移.再给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：能量方法d68二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性应变能②

Pn视为变量，结构反力和应变能等都必须表示为Pn的函数③n为Pn

作用点的沿Pn

方向的变形。④当没有与n对应的Pn

时，先加一沿n

方向的Pn

，求偏导后，再令其为零。能量方法dn二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线69三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法70例5结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导能量方法ALPEIxO

例5结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。③变形①求内71求转角

A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明

A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令M

A=0③求变形（注意：MA=0）能量方法LxO

APMA求转角A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。72例6结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。能量方法PALxBPx

CfxOx1例6结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意73③变形（注意：Px=0）能量方法③变形（注意：Px=0）能量方法74§12-3单位载荷法§12-3单位载荷法75第十二章能量法课件176第十二章能量法课件177第十二章能量法课件178莫尔定理

（莫尔积分）莫尔定理

（莫尔积分）79例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。80第十二章能量法课件181例：计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量ΔAB。EI=常数。例：计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张82第十二章能量法课件183例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、μ。例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力84解：解：85例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知GIp、EI为常量例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端86解：(1)解：(1)87(2)(2)88(3)