江苏省南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精一、填空题：本大题共

14个小题

,每题

5分，共

70分.1.已知会集

U

1,0,1,2,A

1,1,2

，则

CUA

。【答案】

0【解析】试题解析:CUA{0}.考点：会集的补集2.已知复数z2i2（i为虚数单位），则z的共轭复数为。【答案】34i【解析】2试题解析:z2i=34i,z34i.考点：复数的看法3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较牢固（方差较小）的那一位同学的方差为。【答案】2【解析】试题解析：由于甲、乙两位同学的平均数均为90，因此甲、乙两位同学的方差分别为1(41014)2,1(1010110)222,故成绩较牢固555（方差较小）的那一位同学的方差为2.考点：方差4。如图是一个算法流程图，则输出的S的值为。学必求其心得，业必贵于专精【答案】3【解析】试题解析：第一次循环：S11,n3；第二次循环：S8,n5;第三次循环：S3,n5；结束循环,输出S3.考点：循环结构流程图5.已知正三棱柱的各条棱长均为a,圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3:b3的值为。【答案】:3【解析】考点：柱的体积学必求其心得，业必贵于专精6.将一颗骰子连续扔掷2次,向上的点数分别为m,n，则点Pm,n在直线y1x下方的概率为.2【答案】【解析】

16试题解析:一颗骰子连续扔掷2次，共有36种基本事件，其中满足m1n有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)6种基本事件，故所求概率为61.2366考点:古典概型概率7。函数fx1的定义域为。2lgx【答案】1,10【解析】试题解析：由题意得12012lgx00lgx11x10，即定义域lgxlgx2为1,10考点：函数定义域,解简单分式不等式28.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2y21与抛物线y212x有相同的a焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为.【答案】y2x4【解析】试题解析:由题意得a219a22，而双曲线ax2y21渐近线的方程为2y1x,即y2xa4考点：双曲线渐近线学必求其心得，业必贵于专精9。已知两曲线fxcosx,gx3sinx,x0,订交于点A。若两曲线在点A2处的切线与x轴分别订交于B,C两点，则线段BC的长为.【答案】433【解析】试题解析：由题意得cosx3sinxtanx3,x0,x.又326fxsinx,g(x)3cosx因此切线斜率分别为f1,g63，方程分别622为y31(x),y33(x),与x轴交点横坐标分别为x3,x633,2262266故线段BC的长为3(3)4333考点:导数几何意义10.如图，已知ABC的边BC的垂直均分线交AC于点P，交BC于点Q。若AB3,AC5,则APAQABAC的值为。【答案】-16【解析】试题解析：APAQABACPQ2AQABAC2AQABACABACABAC学必求其心得，业必贵于专精22ABAC92516.考点:向量数量积11。设数列an满足a11,1an11an1nN则100的值,k1为【答案】【解析】

。10010111试题解析：1an11an1an1anan1an0an1an1，因此数列a1为n11首项为1，公差为1的等差数列，即ann,ann，因此1001001100111100aa1.kk1k(k1)kk1101101k1k1k1考点：数列通项，裂项相消法求和12。已知函数fxx2axaR,gxf'x,x0（f'x为fx的导函数）.fx,x0若方程gfx0有四个不等的实根，则a的取值范围是.【答案】a0或a2【解析】考学必求其心得，业必贵于专精点：函数零点13。如图,矩形ABCD的边AB在x轴上，极点C,D在函数yx1x0的图x像上。记ABm,BCn，则m的最大值为.n2【答案】【解析】

14试题解析：设C(x1,y1),D(x2,y2)，则由y1y2得x11x21，由于x1x2，因此x1x2x21mx2x1x2tt11.其中tx20,x1x21，因此n212(x21)2t242t244x2当且仅当(x2)x2x2t2时取等号考点：基本不等式求最值14.在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x2221y22,圆C1:xmymm2,若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B，ABP的面积为1，则正数m的取值范围是.【答案】1,323【解析】试题解析:设P(x，y)，设PA，PB的夹角为2．1222PA．△ABP的面积S=2PAsin2PAPCPC111学必求其心得，业必贵于专精由2PA3PC12PA22，解得PA2，22因此PC12,因此点P在圆(x1)y4上．因此m2(m1)(m)m2，≤22≤解得1≤m≤323．考点：直线与圆相切，圆与圆地址关系二、解答题(本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知ABC是锐角三角形，向量mcosA,sinA,ncosB,sinB，且mn。331)求AB的值;（2）若cosB3,AC8，求BC的长.5【答案】（1）AB（2)BC4336【解析】试题解析：(1）先利用向量数量积得mncosAcosBsinAsinB,再33依照两角差余弦公式得cosAB0,最后依照范围AB56,336得AB6(2）已知两角一边，求另一边，应利用正弦定理进行解决：先求BC所对角的正弦值：sinAsinB433，再依照正弦定理,得610BC433试题解析：(1)由于mn，因此mncosAcosBsinAsinBcosAB0333又A,B0,2，因此AB6,5，因此AB,即AB6；3632学必求其心得，业必贵于专精（2）由于cosB3，B0,，因此sinB4525因此sinAsinB6sinBcoscosBsin664331433525210sinA433由正弦定理,得BC108433.AC4sinB5考点：正弦定理，两角差余弦公式16。（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中,PC平面PAD，ABCD,CD2AB2BC,M,N分别是棱PA,CD的中点。(1）求证：PC平面BMN；(2）求证：平面BMN平面PAC.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题解析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判判定理，即从线线平行出发恩赐证明，而线线平行的搜寻与证明，经常需结合平面几何条件，如本题利用三角形中位线性质定理得MOPC（2）证明面面垂直，一般利用面面垂直判判定理，即从线面垂直出发恩赐证学必求其心得，业必贵于专精明,而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判断与性质定理：先由平行四边形ABCN为菱形得BNAC，再由PC平面PAD得PCAD,即BNPC，从而得BN平面PAC试题解析：（1）设ACBNO，连结MO,AN，由于AB1CD,ABCD，N为CD2的中点，因此ABCN,ABCN,因此四边形ABCN为平行四边形，因此O为AC的中点，因此MOPC又由于MO平面BMN，PC平面BMN，因此PC平面BMN.（2）(方法一）由于PC平面PDA，AD平面PDA因此PCAD，由（1）同理可得，四边形ABND为平行四边形，因此ADBN,因此BNPC由于BCAB,因此平行四边形ABCN为菱形,因此BNAC,由于PCACCAC平面PAC,PC平面PAC,因此BN平面PAC由于BN平面BMN,因此平面BMN平面PAC.（方法二)连结PN，由于PC平面PDA,PA平面PDA，因此PCPA由于PCMO,因此PAMO,由于PC平面PDA，PD平面PDA，因此PCPD由于N为CD的中点，因此PN1CD，由(1）ANBC1CD,因此ANPN22又由于M为PA的中点，因此PAMN由于MNMOM，MN平面BMN，MO平面BMN因此PA平面BMN，由于PA平面PAC,因此平面PAC平面BMN。学必求其心得，业必贵于专精考点：线面平行判判定理，面面垂直判判定理17。（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2y21ab0的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左极点A作a2b22直线l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P,Q。1）若直线l的斜率为12，求AQAP的值；2）若PQAP，求实数的取值范围。【答案】(1）AP5（2)01AQ6【解析】试题解析：（1）先利用待定系数法确定椭圆方程及圆的方程x2y2、412学必求其心得，业必贵于专精x2y24，再联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标,最后APyP2,联立方程组解直线与椭圆，利用AQ=y求比值（2）设直线l:ykxQAQyQ1直线与圆的交点纵坐标，利用AP1yP1得函数关系式1k21，最后依照函数值域得实数的取值范围。2a4试题解析：解(1）由条件，c2，解得a2a2b2c2

22因此椭圆的方程为x2y21，圆的方程为x2y2442（方法一）直线l的方程为y1，由y1x2x22得:3x24x402x22y24解得xA2,xp32,因此P2,433224245，又由于原点O到直线l的距离d2因此AP25333AP455因此AQ24485，因此355AQ8565(方法二）由x22y22得3y24y0，因此yP8x2y45AP455因此AQ386;(2）（方法一）若PQAP，则AQ1AP设直线l:ykx2,由x22y24得，2k21x28k240ykx2即x22k21x4k220，因此xA2,xP24k224k24k2k21，得P2,2k212k1学必求其心得，业必贵于专精24k224k216k24k214因此AP2216,即AP，同理1222AQ421因此k2111，由题意：k20,因此01.421k1k2k21AQyQ4k1(方法二）由方法一知,1k211112k21由题意：k20，因此01.考点：直线与椭圆的交点18。（本小题满分14分）某旅店在装修时，为了雅观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成以下列图的9个地域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD地域设计为可推拉的窗口.（1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于1m2(木条宽度忽略不计），4求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值.【答案】(1）42x215(2）47m2【解析】试题解析：(1）长度与面积关系问题，可以考虑利用解不等式求范学必求其心得，业必贵于专精围,先依照直线与圆地址关系得弦长与圆心到直线距离（即正方形边长一半）关系，再依照面积大于14m2得一根木条长范围，注意四根木条将圆分成9个地域的隐含条件：x2(2）思路为长度必然，求面积最值，可以考虑利用基本不等式求最值，设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm，则ab3,而圆中垂径定理得AB21b2,BD21a2,44a28abb因此S矩形ABCD2222841b1a4b24a22274424试题解析：解（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为221x4x2m2由于121,即15S四边形ABCD4，因此4x42x又由于四根木条将圆分成9个地域,因此x2因此42x215；（2）（方法一）设AB所在木条长为am，则BC所在木条长为3am由于a0,2,3a0,2，因此a1,222a3a2246a3a2S矩形ABCD4114a43a24a204a4设faa46a3a224a20，f'a4a318a22a242a12a3a4令f'a0，得a3,或a1（舍去），或a4（舍去）2列表以下：a1,3332,222f'a+0—fa极大学必求其心得，业必贵于专精值因此当33497a2时,fxmax2，即Smax4f(方法二）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm由条件，2a+2b6，即ab3由于a,b0,2，因此b3a0,2,从而a,b1,2由于ABb2a2b2a222214,BD214，S矩形ABCD414144b4aa28a2b2b由于4b24a2827224当且仅当ab31,2时，S矩形ABCD724答：窗口ABCD面积的最大值为7m24考点:直线与圆地址关系,基本不等式求最值19（.本小题满分16分）已知数列an,bn均为各项都不相等的数列,Sn为an的前n项和,an1bnSn1nN.(1）若a11,bnn，求a4的值；2（2）若an是公比为q的等比数列，求证：存在实数，使得bn为等比数列；3）若an的各项都不为零,bn是公差为d的等差数列，求证：a2,a3,,an,成等差数列的充要条件是d12.【答案】（1）a48（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题解析：（1）将条件化到项之间关系：当n2时,an1bnanbn1an，直4,a36,a48(2）先化简条件an1bnn11qn接依次计算：a2Sn1：qbn1qa11q，学必求其心得，业必贵于专精n1解出bn11111，要使bn为等比数列，可取q，此时qa1q1q1bn1（3）先将条件化到an项之间关系：当n2时，b1qnan,an1bnbnananan1dan1bnanbn1anbndan,1dan1an，从而an1ananan11d，再从充分性及必要性两方面进行论证，充分性证明实质依照anan11,利用叠加法求通项,必要性证明实质是由1d求值an1ananan11d试题解析:解（1）由a11,bnn，知a24,a36,a482（2)(方法一）由于an1bnSn1，因此a1qnbna11qn11q11qn111n1n因此qbn1qa1q，即bn1qa1q1q1111n因此存在实数，使得bn11q1qa1q又由于bn0（否则bn为常数数列与题意不符)因此当n2，bn1，此时bn为等比数列bn1q因此存在实数1，是bn为等比数列；1q（方法二）由于an1bnSn1①因此当n2时，anbn1Sn11②①-②得，当n2时，an1bnanbn1an③anan11由③得，当n2时，bnan1bn1an1qbn1q因此bn11bn11，又由于bn10（否则bn为常数数列与题意1q1qqq1不符)学必求其心得，业必贵于专精因此存在实数1q，是bn为等比数列；1(3)由于bn为公差为d的等差数列，因此由③得,当n2时，an1bnanbndan即an1anbn1dan,由于an，bn各项均不相等，因此an1an0,1d0因此当n2时，1bnan④dan1anbn1an1当n3时，1danan1⑤anan1bnbn1d由④—⑤，适合n3时an1ananan11d1d⑥先证充分性:即由d1证明a2,a3,,an,成等差数列21，由⑥得aanaan11由于daa2n1nnn1因此当nanaaan13时,a1an1nnn1又an0,因此an1ananan1即a2,a3,,an,成等差数列；再证必要性:即由a2,a3,,an,成等差数列证明d12由于a2,a3,,an,成等差数列，因此当n3时,an1ananan1anan1anan11d因此由⑥得，anan1anan1anan1d1因此d1，因此a2,a3,,an,成等差数列的充要条件是d1.22考点：等差与等比数列20.（本小题满分16分）设函数fxxexasinxcosx（aR，其中e是自然对数的底数).（1）当a0时，求fx的极值；学必求其心得，业必贵于专精（2）若对于任意的x0,，fx0恒建立,求a的取值范围；2（3)可否存在实数a，使得函数fx在区间0,上有两个零点？若2存在,求出a的取值范围；若不存在，请说明原由.【答案】（1）极小值为f11，无极大值；（2）,1（3）不存在e【解析】试题解析：(1）当a0时，研究的函数不含参数利用导数求极值先,:求导函数fxexx1，再在定义域内求导函数零点x1，列表解析单调性变化趋势，得出结论函数fx的极小值为f11，无极大值；e（2）实质是fxmin0，当a0时，由于sinxcosx0,因此fx0恒建立;当0a1时，由于fx=exx1acos2xe001acos01a0,fxf00；当a1时，存在0,4，使得f'0，且在0,内，fxf00，舍去（3）若存在，则函数fx在区间0,2上不是单调函数，必有极值点，因此a1,f'x0在0,2上存在唯一解x0，当x0,x0时，fxf00，即fx在0,x0无零点；当xx0,2时，fx在x0,2上至多有一个零点，因此不存在实数a,使得函数fx在区间0,2上有两个零点。试题解析：解：（1）当a0时，fxxex,fxexx1令fx0，得x1列表以下：x,1—11,f'x+0—学必求其心得，业必贵于专精fx极小值因此函数fx的极小值为f11，无极大值;e①当a0时，由于对于任意x0,,有sinxcosx02因此fx0恒建立，当a0时,吻合题意；②当0a1时,由于fx=exx1acos2xe001acos01a0因此函数fx在0,2上为增函数,因此fxf00,即当0a1，吻合题意;③当a1时，f'01a0,f'e41044因此存在0,4，使得f'0，且在0,内，f'x0因此fx在0,上为减函数，因此fxf00即当a1时,不吻合题意综上所述，a的取值范围是,1；不存在实数a，使得函数fx在区间0,上有两个零点,由（2）知，2当a1时,fx在0,2上是增函数，且f00，故函数fx在区间0,2上无零点当a1时，f'x=exx1acos2x令gxexx1acos2x，g'xexx22asin2x当x0,2时，恒有g'x0，因此gx在0,上是增函数2由g01a0,g2e221a0学必求其心得，业必贵于专精故gx在0,2上存在唯一的零点x0,即方程f'x0在0,上存在唯一解2x0且当x0,x0时，f'x0,当xx0,2，f'x0即函数fx在0,x0上单调递减，在x0,上单调递加，2当x0,x0时，fxf00，即fx在0,x0无零点;当xx0,时，fx0f0,f2e2022因此fx在x0,2上有唯一零点，因此，当a1时，fx在0,2上有一个零点综上所述，不存在实数a，使得函数fx在区间0,2上有两个零点。考点:利用导数求极值，利用导数研究函数零点，利用导数研究不等式附加题21。A【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC中，A2B,C的均分线交AB于点D,A的均分线交CD于点E.求证：ADBCBDAC。【答案】详见解析学必求其心得，业必贵于专精【解析】试题解析：研究线段比值问题，一般利用三角形相似，由于ECADCB，CAEB，因此ACDBCD，从而AEAC，以下转变成证BDBC明ADAE,这可利用角相等推出。试题解析:解：由于CAB2B,AE为CAB的均分线，因此CAEB又由于CD是C的均分线，因此ECADCB因此ACDBCD，因此BDAEBCAC，即AEBCBDAC又由于AEDCAEECA,ADEBDCB因此AEDADE，因此ADAE因此ADBCBDAC考点：三角形相似21.B【选修4-2：矩阵与变换】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线xy20在矩阵A1a对应的变换12作用下获取直线xyb0a,bR，求ab的值.【答案】ab4【解析】试题解析：先依照矩阵运算求轨迹：由1axxay，得12yx2yxayx2yb0，再依照两直线重合得a21,b2，得ab422试题解析:解:设Px,y是直线xy20上一点,由1axxay，得12yx2yxayx2yb0即xa2yb0，由条件得，a21,b22222解得a0，因此ab4b4学必求其心得，业必贵于专精考点：矩阵运算21。C【选修4-4:坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x2cos3（为参y2sin数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为6.若直线l与曲线C交于A,B，求线段AB的长。【答案】13【解析】试题解析:先依照cos2+sin2=1消去参数得曲线C的一般方程：2y24，依照tany将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程x3x3x32y,最后依照圆中垂径定理得弦长241332试题解析：解：曲线C的一般方程为x24,表示以3,0为圆心，3y22为半径的圆直线l的直角坐标方程为y3x，因此圆心到直线的距离为33232因此线段AB的长为2413。2考点:参数方程化一般方程,极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理21。D【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知x0,y0,z0，且xyz1，求证：x3y3z3xyyzxz【答案】详见解析【解析】试题解析：依照三元均值不等式得x3y3z33xyz,x3y313xy，y3z313yz,x3z313xz，四式相加，得x3y3z3xyyzxz学必求其心得，业必贵于专精试题解析：解：由于x0,y0,z0因此x3y3z33xyzx3y313xy，y3z313yz，x3z313xz将以上各式相加，得3x33y33z333xyz3xy3yz3xz又由于xyz1，从而x3y3z3xyyzxz考点：三元均值不等式22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22pxp0上一点P3,m到4准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F。1）求抛物线的方程；2）若A为抛物线上一点（异于原点O）,点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.【答案】（1)y26x（2）菱形。【解析】试题解析：（1）利用抛物线定义化简条件“点P3,m到准线的距离为4PO"得POPF，即p3,p3（2）先确定点A处切线的斜率为y3，写出440切线方程yy03x1y02，求出点B坐标1y02,0，又E3,y0,F3,0，y06622因此FABE，再由抛物线的定义，得A