基本不等式-完整版教学设计

基本不等式：（一）教学内容分析不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题同样重要。本章通过对不等式的学习，使学生体会到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中普遍存在，进而理解不等关系的重要性。两个基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，它们在解决数学问题和实际问题中应用广泛。本单元内容分为3个课时，第一课时学习两个基本不等式，第二课时学习它们的简单应用，第三课时学习它们的灵活实际应用。二、教学目标1．知识与技能探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式2．过程与方法通过对基本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．3．情感、态度与价值观：通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气．三、教学重点用数形结合的思想理解基本不等式，从不同角度探索不等式的证明教学难点对基本不等式的探究四、教学方法与手段启发学生探究，多媒体辅助教学五、教学过程（一）创设情境：如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫（二）新知探究：图1将风车抽象成图2设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形的边长为.这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式当直角三角形变为等腰直角三角形,图2即时,正方形EFGH缩为一个点,这时有此时，a、b代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数a、b，上述不等式还成立吗？设计意图：使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法[问题1]：你能给出它的证明吗?所以，即设计意图：体会作差法证明不等式，温故而知新重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,我们有当且仅当时，等号成立你能将不等式中的二次降为一次吗？此时a、b应满足什么条件呢？得到：（a>0,b>0），通常我们将它写作２．基本不等式：[问题2]：你还能用其它方法推导不等式吗？要证：，①只要证：②要证②，只要证③要证③，只要证④显然，④是成立的．当且仅当时，④中的等号成立设计意图：让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路，加大基本不等式的探究力度[问题3]：上述两个不等式的区别与联系是什么？联系：当且仅当时等号成立区别：设计意图：从背景、结构、成立的条件方面比较异同，此处旨在让学生对两个不等式加以区别，并明确基本不等式的结构、成立的条件，以及两者之间的代换关系。3．算术平均数：我们常把叫做正数a,b的算术平均数几何平均数：把叫做正数a,b的几何平均数文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数前面我们从“数”的角度给基本不等式作出了严格的证明，下面我们能否再从“形”的角度给基本不等式作出合理的几何解释呢？设计意图：旨在让学生体会由形到数，又由数回到形的过程，通过两个角度的反复印证，加深对基本不等式的认识思考：（1）在直角三角形ADB中，我们用线段AC,CB分别表示,你能找出表示和的线段吗？那么基本不等式又说明了什么几何事实呢？结论：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高（2）如果把上述直角三角形放到圆中，你能在圆中找出表示和的线段吗？给出Rt△ABD，由于△ACD∽△BCD,因而，由于小于OD，OD为圆的半径，长为，用不等式表示为．显然，上述不等式当且仅当点Ｃ与圆心重合，即当时，等号成立结论：半弦不大于半径（此处通过动态演示，从图的角度再次明确和强调基本不等式等号成立的条件。）（3）前面，我们刚刚学习了数列，和在数列中代表什么？结论：从数列的角度看,基本不等式说明两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。设计意图：从不同角度探究基本不等式的几何解释，启发学生认识形与数不是一对一的，对于一个代数表达式，也可以从不同的“形”去理解和解释[问题4]：你能将基本不等式进行其它的变形吗？(1)(2)(3)设计意图：再次从结构上理解基本不等式，同时强调不等式中的a,b可以用任何的大于零的数或者代数式去代换例１：已知x>0,求证：注：例题讲解后提问学生思考：若条件改为x>0且，则结论是否发生变化？设计意图：旨在强调“基本不等式”的使用条件：一正、二定、三相等。巩固练习：已知x,y都是正数，（1）求证：（2）不等式中“=”何时成立？