理论力学-11-动能定理及其应用课件

NanjingUniversityofTechnology理论力学课堂教学软件（11）理论力学第三篇动力学第11章动能定理及其应用第三篇

动力学第11章动能定理及其应用11.1力的功1、力的功的定义11.1力的功2、定轴转动刚体上力的功、力偶的功3、内力的功力Fi在点的轨迹上从M1点到M2点所作的功M2M1

力Fi的元功1、力的功的定义需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W仅仅是Fi.dri的一种记号。11.1力的功由此得到了两个常用的功的表达式:

重力的功

对于质点：重力的元功为M1M2Mmgz1z2Oxyz11.1力的功1、2

——弹簧在初始位置和最终位置的变形量。弹性力的元功r0——沿位矢方向的单位矢量弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。11.1力的功弹性力的功

外力偶的功若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为若力偶矩矢M为任意矢量，则M所作之功为Mz——力偶矩矢M在z轴上的投影11.1力的功11.1力的功3、内力的功

日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功；弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。内力作功的情形

刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。

刚体的内力不作功理想约束：约束力不作功或约束力作功之和等于零的约束。理想约束力的功

1、不可伸长的柔性约束也是理想约束。2、光滑的固定支承面3、光滑的铰链（轴承、光滑的活动铰链支座、二力杆）11.1力的功4、纯滚动时，摩擦力(约束力)不作功OC*FFN约束力为无功力的约束称为理想约束C*

为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的速度为零。作用在C*点的摩擦力F所作元功为vO11.1力的功总结：

内力不能改变质点系的动量和动量矩，但它可能改变质点系的能量；

外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变其能量。

11.1力的功第11章动能定理及其应用

11.2质点与质点系的动能质点动能——（标量）质点系的动能——

动能是度量质点系整体运动的另一物理量。动能是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。

1、质点系的动能

11.2质点与质点系的动能

平移刚体的动能

刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。刚体的动能2、刚体的动能

11.2质点与质点系的动能因为d·w＝vC

,于是得

平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和。dwCP

平面运动刚体的动能

刚体的动能

11.2质点与质点系的动能CvC思考题：求均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能。刚体的动能

11.2质点与质点系的动能vABCII

为AB杆的瞬心解（法2）：刚体的动能

11.2质点与质点系的动能

11.3动能定理及其应用第11章动能定理及其应用1、质点系的动能定理2、动能定理的应用举例

11.3动能定理及其应用对于质点系：——微分形式N称为力的功率－单位时间内该力所作的功。质点系的动能定理

11.3动能定理及其应用

——积分形式

所有可以作功的力－既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力（理想约束除外）。

11.3动能定理及其应用2、动能定理的应用举例

已知：

m

，R,f，

。圆盘初始静止。求纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvCF解：对象：圆盘受力：如图运动：平面运动方程：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移

s时速度达到vc。s力的功：由动能定理得：解得：例题2

11.3动能定理及其应用例题2一长为l，质量密度为ρ的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。解得解：链条在初始及终止两状态的动能分别为在运动过程中所有的力所作的功为由例题3例题3

11.3动能定理及其应用

均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2．系统运动时，物块C的加速度。

例题4例题4

11.3动能定理及其应用解：对象：整个系统受力：如图所示

运动：轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。根据运动学补充关系

方程：1.系统的动能为：

例题4

11.3动能定理及其应用2.确定外力的功:3．应用动能定理的积分形式：

由此解出

轮A的重力和物块C的重力分别作负功和正功。于是，系统外力的总功为

例题4

11.3动能定理及其应用4．确定系统运动时物块C的加速度：物块的加速度为

例题4

11.3动能定理及其应用力的功定义力Fi的元功力Fi在点的轨迹上从一点到另一点所作的功重力的功对于质点：对于质点系:弹性力的功上次课内容小结

定轴转动刚体上外力的功力偶的功刚体的内力不作功理想约束力的功上次课内容小结

动能质点系的动能刚体的动能

平移刚体的动能

定轴转动刚体的动能

平面运动刚体的动能上次课内容小结

动能定理及其应用对于质点系：势能的概念机械能守恒定律上次课内容小结

第10章动能定理及其应用

10.4势能的概念机械能守恒定律及其应用1、有势力和势能2、机械能守恒定律

11.4势能的概念机械能守恒定律及其应用有势力和势能有势力（或保守力）：该种力所作之功仅与力作用点的初始位置和终止位置有关，而与其作用点所经过的路径无关。重力、弹性力等都具有这一特征，因而都是有势力。

11.4势能的概念机械能守恒定律及其应用1、有势力和势能

其中M0为势能等于零的位置(点)，称为零势位置（零势点）；M为所要考察的任意位置(点)。

势能：质点系（质点）从某位置（点）运动到任选的零势位置（零势点）时，有势力所作的功。

注意：1）对于同一个所考察的位置的势能，将因零势位置（零势点）的不同而有不同的数值。注意：2）“零势位置（零势点）”与物理学中的“零势点”的关系：物理学中的零势点是针对质点的，零势位置其实是组成质点系的每一个质点的零势点的集合。例如，质点系在重力场中的零势能位置是质点系中各质点在同一时刻的z坐标z10、z20、…、zn0、的集合。

因此，质点系在各质点的z坐标分别为z1、z2、…、zn、时的重力势能为有势力和势能

10.4势能的概念机械能守恒定律及其应用机械能：质点系在某瞬时动能和势能的代数和。机械能守恒定律(theoremofconservationofmechanicalenergy)：当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变。2、机械能守恒定律

11.4势能的概念机械能守恒定律及其应用第11章动能定理及其应用

11.5动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理动量定理动能定理动量矩定理第三篇动力学动力学普遍定理的比较

动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化所受的作用力动量定理动能定理动量矩定理动量力(冲量)动量矩力矩动能力的功

动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。表达式

11.5动力学普遍定理的综合应用矢量方程（外力）标量方程（内外力）矢量方程（外力）2）求解约束力，宜采用质心运动定理或动量定理。1、当要求质点系的运动量（例如速度、加速度、角速度和角加速度）时，常先采用动能定理较好，因为它是标量方程易于求解。2、当要求作用在质点系上的力时，应根据问题选择动量定理、质心运动定理或动量矩定理。3、动力学独立方程数目小于未知数数目时，应用运动学和静力学知识寻找补充方程。1）求解质点系的内力时，不能以系统作为研究对象。动量定理、动量矩定理和动能定理的应用选择

11.5动力学普遍定理的综合应用例题5如图所示，弹簧两端各系重物A和B，放在光滑的水平面上。其中，重物A的质量为m1，重物B的质量为m2，弹簧原长为l0，刚性系数k。若将弹簧拉到l后，无初速地释放。试求：弹簧回到原长时重物A和B的速度。AB

11.5动力学普遍定理的综合应用例题5

解：对象：两重物A和B组成的质点系运动：A和B均为沿水平面运动AB方程：由于重物A和B放在光滑的水平面上，则质点系在水平方向不受力，动量守恒，得到（1）

质点系动能为作用在质点系上力的功为则由质点系的动能定理，得到（2）

式（1）和式（2）联立，求得重物A和B的速度为

11.5动力学普遍定理的综合应用例题5

vAvB例题6如图a所示，均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑的水平面上，当有微小的干扰时而倒下。

试求：杆刚与地面接触时质心的加速度和地面的约束力。ACB(a)

11.5动力学普遍定理的综合应用例题6

解：对象：均质杆AB受力：如图运动：平面运动方程：CACBFAaCvAvCmg(b)如图b所示，杆刚倒地时的动能为由速度瞬心法

故有由质点系动能定理

11.5动力学普遍定理的综合应用例题6

CACBFAaCvAvCmg(b)两边对时间求导，并注意由质心运动定理得故得地面的约束力为得质心的加速度为

11.5动力学普遍定理的综合应用例题6

均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2．系统运动时，物块C的加速度。3．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力；4．轮A与地面的接触点处的摩擦力。

例题7

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

解：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。根据运动学分析，得到

方程：采用动能定理，系统的动能为对象：取轮A、B和物块C组成的系统受力：三个物体重力如图所示运动：注意到轮A作平面运动，轮B作定轴转动，物块C作平移。

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

由动能定理的积分形式解得

轮A的重力和物块C的重力分别作正功和负功。于是，系统外力的总功为

＃＃

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

2．系统运动时物块C的加速度。物块的加速度为

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

对象：取轮B和物块C受力：如图所示运动：轮B定轴转动，物块C平移方程：对点B应用动量矩定理

αB3．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7由此解得aB＃

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

确定B处的约束力应用质心运动定理由此解得B处的约束力aB＃

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

4．轮A与地面的接触点处的摩擦力。对象：轮A受力：如图所示运动：平面运动方程：应用相对质心的动量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力

＃

11.5动力学普遍定理的综合应用例题7

例题8

均质杆长为l，质量为m1，B端靠在光滑墙上，A端用铰链与均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示θ=45°时由静止开始纯滚动。试求：A点在初瞬时的加速度。

11.5动力学普遍定理的综合应用例题8

解：（分析：此题解法仍不唯一。本例中只有保守力作功，故机械能守恒，用机械能守恒定律求解。）对象：杆AB和圆盘A受力：两个物体所受重力如图运动：两者均作平面运动

11.5动力学普遍定理的综合应用例题8

m2gm1g方程：考察初始位置和任意位置时的动能和势能

由运动学知识取经过轮心A的水平线为零势位置，系统的势能为

零势点m2gm1g故

11.5动力学普遍定理的综合应用例题8

根据机械能守恒定律，有

将上式对时间求一次导数

零势点m1gm2g

11.5动力学普遍定理的综合应用例题8

于是，点A在初瞬时的加速度为

注意到

初瞬时

11.5动力学普遍定理的综合应用例题8

均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解（法1）：对象：圆柱体A受力：如图运动：定轴转动方程：根据定轴转动的微分方程，得到aAFTmgFOxFOyOA例题9

11.5动力学普遍定理的综合应用例题9其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC对象：圆柱体B受力：如图运动：B作平面运动方程：根据平面运动的微分方程有由运动学关系aD＝raA,，而由加速度合成定理有

11.5动力学普遍定理的综合应用例题9解（法2）：对象：圆柱体A和B组成的质点系受力：如图运动：A定轴转动，B平面运动初始位置时系统的动能和势能为：orACrmBgmAgFoxFoyωAωBvB方程：根据系统机械能守恒定律，以轮心初始位置为零势能点。圆柱体B下落h时，系统的动能和势能为

11.5动力学普遍定理的综合应用例题9orABrmBgmAgFoxFoyωAωBvB由基点法，可知则对O、C轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：

11.5动力学普遍定理的综合应用例题9orABrmBgmAgFoxFoyωAωBvB则圆柱体A的角速度由机械能守恒定律得圆柱体B轮心的速度为上两式两边分别对时间求导，又因为从而得圆柱体B轮心C的加速度aaB

11.5动力学普遍定理的综合应用例题9第11章动能定理及其应用

11.6结论与讨论动能定理在工程中的应用－功率方程运动学方程的重要性

11.6结论与讨论动能定理在工程中的应用－功率方程根据动能定理的微分形式，可以得到其中P为功率。功率由下式计算

作用在转动刚体上力的功率为

11.6结论与讨论动能定理在工程中的应用－功率方程

工程上,机器的功率可分为三部分，即：输入功率、输出功率、损耗功率。其中输出功率是对外作功的有用功率；而损耗功率是摩擦、热能损耗等不可避免的无用功率。这样，上述功率表达式可以改写为

动能定理在工程中的应用－功率方程

11.6结论与讨论

任何机器在工作时都需要从外界输入功率，同时也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少则机器性能越好。工程上，定义机械效率为

这是衡量机器性能的指标之一。若机器有多级（假设为n级）传动，机械效率为

动能定理在工程中的应用－功率方程

11.6结论与讨论运动学方程的重要性

在动量、动量矩、动能定理的应用中，运动学方程起着非常重要的作用。很多情形下，动力学关系非常容易得到，但运动学关系却很复杂。

11.6结论与讨论运动学方程的重要性

确定速度和角速度的方法

点的运动学分析方法——选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。

点的复合运动分析方法——正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。

刚体平面运动分析方法——建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。本章作业

P215：11－2P215－217：11－4，11－5，11－13谢谢大家NanjingUniversityofTechnology附录：

习题解答作业中存在的问题1、标注运动量。BjA11－2图示滑块A重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为W2、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为v1，杆AB的角速度为w1。当杆与铅垂线的夹角为j时，试求系统的动能。解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为

速度合成矢量图如图。由余弦定理则系统的动能v1vCAvCv1wv1w1jBAl11－2附录：

习题解答11－4图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为r。试求重物A的加速度。11－4附录：

习题解答解：对象：滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统；受力：物块A重力如图所示；运动：滚子C平面运动，滑轮D定轴转动，重物A平移；方程：设系统在物块下降任意距离h时的动能由运动学知识力作的功应用动能定理将上式对时间求导数求得物块的加速度为vAwCvCm1g11－5附录：

习题解答10－5图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当θ=0˚时，弹簧为原长。若机构在θ=60˚时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。其中：T=W；对上式求导：其中：11－5附录：

习题解答10－10附录：

习题解答11－10在图示机构中，鼓轮B