几何体的表面积与体积

创新训练(39)几何体的表面积与体积一、选择题1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12π \f(32,3)πC．8π D．4π解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝eq\r(3)a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝eq\r(3)，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.答案：A2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()\f(\r(3),12) \f(\r(3),4)\f(\r(6),12) \f(\r(6),4)[解析]VB1－ABC1＝VC1－ABB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).[答案]A3．(2022·广州模拟)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．8π B．12πC．20π D．24π解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，所以R＝eq\f(\r(20),2)，球O的表面积为4πR2＝20π，选C.答案：C4．(2022·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()A．24－πB．24－3πC．24＋πD．24－2π[解析]由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方eq\f(1,8)球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×eq\f(1,4)×π×22＋eq\f(1,8)×4×π×22＝24－π，故选A.[答案]A5．(2022·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()\f(π,2)＋1 \f(π,2)＋3\f(3π,2)＋1\f(3π,2)＋3[解析]由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1，故选A.[答案]A6．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π \f(9π,2)C．6π \f(32π,3)解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝eq\f(3,2)，该球的体积最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).答案：B7．(2022·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256π[解析]如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝eq\f(1,2)R2，要使VO－ABC＝eq\f(1,3)·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VO－ABC)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π.故选C.[答案]C8．(2022·重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()\f(3\r(3),2)B．2eq\r(3)\f(5\r(3),2)D．3eq\r(3)[解析]该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB1DC1C，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的体积减去三棱锥A－A1C1D的体积，即3eq\r(3)－eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).[答案]C二、填空题11．(2022·山西四校联考)若三棱锥PABC的最长的棱PA＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________．解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R＝eq\f(1,2)PA＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4,3)π.答案：eq\f(4,3)π12．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[解析]该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S＝16＋eq\f(1,2)×4π×12－π×12＝16＋π.[答案]16＋π13．(2022·山东卷)由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析]由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V1＝2×1×1＝2；两个eq\f(1,4)圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，故其体积V2＝eq\f(1,2)×π×12×1＝eq\f(π,2).故该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋eq\f(π,2).[答案]2＋eq\f(π,2)14.已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝eq\r(3)，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E-ABCD的体积为________．解析：如图所示，BE过球心O，∴DE＝eq\r(42－32－\r(3)2)＝2，∴VE－ABCD＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答题15．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为eq\r(29)，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C－MNP的体积．[解](1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如下图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.∵MP＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.又∵NC∥AM，故eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2).∴NC＝eq\f(4,5).(3)S△PCN＝eq\f(1,2)×CP×CN＝eq\f(1,2)×2×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).在三棱锥M－PCN中，M到面PCN的距离，即h＝eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).∴VC－MNP＝VM－PCN＝eq\f(1,3)·h·S△PCN＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(2\r(3),5).16．(2022·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ADC是正三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．[解](1)证明：取AC的中点O，连接BO、DO，如图所示．因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)连接EO.由(1)及题设知，∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2