人教数学A版选修《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》金牌训练题

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》金牌训练题一、选择题1．函数y＝x－(2x－1)2的导数是()A．3－4x B．3＋4xC．5＋8x D．5－8x解析：∵y＝x－(2x－1)2＝－4x2＋5x－1，∴y′＝－8x＋5.答案：D2．函数y＝cos(1＋x2)的导数是()A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2)C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2)解析：∵y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)·(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)．答案：C3．已知函数f(x)＝eq\r(ax2－1)且f′(1)＝2，则实数a的值为()A．1 B．2\r(2) D．a>0解析：∵f′(x)＝eq\f(1,2)(ax2－1)－eq\f(1,2)·2ax＝eq\f(ax,\r(ax2－1))，∴f′(1)＝eq\f(a,\r(a－1))＝2.∴a＝2，故选B.答案：B4．函数y＝eq\f(\r(x2＋1),2x－1)的导数是()\f(2＋x,\r(x2＋1)·(2x－1)2)B．－eq\f(2＋x,\r(1＋x2)·(2x－1)2)\f(4x2－x＋2,(2x－1)2)\f(4x2－x＋2,(2x－1)2\r(x2＋1))解析：y′＝(eq\f(\r(x2＋1),2x－1))′＝eq\f((\r(x2＋1))′(2x－1)－\r(x2＋1)·(2x－1)′,(2x－1)2)＝eq\f(\f(1,2\r(x2＋1))·(x2＋1)′(2x－1)－2·\r(x2＋1),(2x－1)2)＝－eq\f(2＋x,\r(1＋x2)·(2x－1)2)，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝xm＋ax的导数f′(x)＝2x＋1，则数列{eq\f(1,f(n))}(n∈N*)的前n项和Sn是()\f(n,n＋1) \f(n＋2,n＋1)\f(n,n－1) \f(n＋1,n)解析：因为f′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(x)＝x2＋x，所以eq\f(1,f(n))＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)(n∈N*)．所以前n项和Sn＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，故选A.答案：A6．若函数f(x)＝－eq\f(1,b)·eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不能确定解析：f(0)＝－eq\f(1,b)，又f′(x)＝－eq\f(a,b)·eax，k＝f′(0)＝－eq\f(a,b)，所以切线l的方程为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(1,b)，即ax＋by＋1＝0，由圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))>1，得a2＋b2<1，即点P在圆内，故选B.答案：B二、填空题7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________.解析：∵f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝eq\f(1,(2x－1)ln3)(2x－1)′＝eq\f(2,(2x－1)ln3)，∴f′(2)＝eq\f(2,3ln3).答案：eq\f(2,3ln3)8．函数y＝sin2x的图象在点A(eq\f(π,6)，eq\f(1,4))处的切线的斜率是________．解析：∵y′＝(sin2x)′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x，∴y′|x＝eq\f(π,6)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，∴曲线在点A(eq\f(π,6)，eq\f(1,4))处的切线的斜率为eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)9．曲线y＝eq\r(\f(x＋1,x－4))在点x＝8处的切线方程是________．解析：∵y′＝(eq\r(\f(x＋1,x－4)))′＝eq\f(1,2)(eq\f(x＋1,x－4))－eq\f(1,2)·eq\f(x－4－(x＋1),(x－4)2)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(x－4,x＋1))·eq\f(－5,(x－4)2)，∴f′(8)＝eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·(－eq\f(5,16))＝－eq\f(5,48).又∵f(8)＝eq\f(3,2)，∴切线方程为5x＋48y－112＝0.答案：5x＋48y－112＝0三、解答题10．求下列函数导数：(1)y＝sin(2x＋3)；(2)y＝(x＋eq\f(1,x))2；(3)y＝log2(x2＋2x＋3)；(4)y＝3x2＋2x＋3.解：(1)∵(1)y＝sin(2x＋3)是由y＝sinu和u＝2x＋3复合而成，∴y′＝(sinu)′u·(2x＋3)′x＝cosu·2＝2cos(2x＋3)．(2)解法一：y′＝2(x＋eq\f(1,x))(x＋eq\f(1,x))′＝2(x＋eq\f(1,x))(1－eq\f(1,x2))＝2x－eq\f(2,x3).解法二：∵y＝x2＋2＋eq\f(1,x2)，∴y′＝(x2＋2＋eq\f(1,x2))′＝2x－eq\f(2,x3).(3)y′＝eq\f(1,(x2＋2x＋3)ln2)·(x2＋2x＋3)′＝eq\f(2x＋2,(x2＋2x＋3)ln2).11．已知函数f(x)＝e－x(cosx＋sinx)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}．求证：数列{f(xn)}为等比数列．证明：f′(x)＝－e－x(cosx＋sinx)＋e－x(－sinx＋cosx)＝－2e－xsinx，由f′(x)＝0，得－2e－xsinx＝0，解得x＝nπ，n∈Z.从而xn＝nπ(n＝1,2,3……)，f(xn)＝(－1)ne－nπ，所以eq\f(f(xn＋1),f(xn))＝－e－π.所以数列{f(xn)}是公比为q＝－e－π的等比数列．12．曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线C的距离为eq\r(5)，求直线C的方程．解：由曲线y＝e2xcos3x，得y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(c