高中数学第三章不等式18基本不等式课时作业北师大版

学必求其心得，业必贵于专精课时作业18基本不等式|基础牢固｜（25分钟，60分)一、选择题(每题5分，共25分）1．不等式(x－2y)＋错误!≥2成立的条件为（)A．x≥2y，x－2y＝1B．x〉2y，x－2y＝1C．x≤2y，x－2y＝1D．x<2y，x－2y＝1剖析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y〉0，即>2，且等号成xy马上（x－2y）2＝1，即x－2y＝1，应选B。答案：B2．已知m＝a＋错误!(a>2），n＝22－b2（b≠0)，则m，n之间的大小关系是（）A．>B．〈mnmnC．m＝nD．不确定剖析：因为a〉2，所以a－2〉0，又因为＝＋错误!＝（a－2）＋错误!＋2，ma所以m≥2错误!＋2＝4，2由b≠0，得b2≠0，所以2－b2〈2，n＝22－b<4。所以m>n。答案：A3．若a＋b＝1，恒有（）A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2b2≤16D．以上均不正确剖析:因为a＋b＝1〉0,所以a,b中最少有一个为正数．故当a,b中有一个是负数或0时，显然有ab≤0〈错误!；当a，b均为正数时，有1＝a＋b≥2ab，所以ab≤错误!。答案:A4．已知a，b∈（0，1），且a≠b，以下各式中最大的是( )A．a2＋b2B．2错误!1学必求其心得，业必贵于专精C．2abD．a＋b剖析：因为a，b∈(0,1）,所以a2〈a,b2〈b，所以a2＋b2<a＋b,又a2＋b2>2ab（因为a≠b),所以2ab〈a2＋b2〈a＋b。又因为a＋>2错误!(因为≠),所以＋b最大．应选D。baba答案：D5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则以下各式中正确的一个是(）A。错误!＋错误!<1B.错误!＋错误!≥1C。错误!＋错误!<2D.错误!＋错误!≥2剖析：因为ab≤错误!2≤错误!2＝4,所以错误!＋错误!≥2错误!≥2错误!＝1。答案：B二、填空题(每题5分,共15分）6．设a>1，且m＝log（a＋1），n＝log（a＋1），p＝log(2a)，则m，n,p的大小关系a2aa是________（用“〉”连接）．剖析：因为a>1，所以a2＋1〉2a〉a＋1,所以loga（a2＋1）〉loga（2a)〉loga（a＋1)，所以m>p>n。答案：m>p〉n7．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t〉0，则错误!logat________loga错误!(填“〉“≥”“≤"或“〈"）．2剖析：因为a＋a－2>0，所以a<－2或a〉1,因为t>0，所以错误!≥错误!,所以loga错误!≥loga错误!＝错误!logat。答案:≤8．给出以下不等式:①x＋错误!≥2；②错误!≥2；③错误!≥2;④错误!〉xy；⑤错误!≥错误!。其中正确的选项是________(写出序号即可)．剖析:当x〉0时，x＋错误!≥2；当x〈0时，x＋错误!≤－2，①不正确;因为x与错误!同号,所以错误!＝｜x｜＋错误!≥2，②正确；当x，y异号时,③不正确；当x＝y时，错误!＝xy,④不正确;当x＝1，y＝－1时,⑤不正确．2学必求其心得，业必贵于专精答案：②三、解答题(每题10分,共20分）9．设a,b，c为正实数，求证：（a＋b＋c）·错误!≥4。证明：因为a,b,c为正实数,所以(a＋b＋c)·错误!＝［（a＋b）＋c］错误!1＋错误!＋错误!＋1≥2＋2错误!＝2＋2＝4。当且仅当错误!＝错误!，即a＋b＝c时，取等号．所以(a＋b＋c)·错误!≥4.10．设a，b,c均为正数,且a＋b＋c＝1。证明：1）ab＋bc＋ac≤错误!；2）错误!＋错误!＋错误!≥1.证明:（1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca,得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1。所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤错误!。(2）因为错误!＋b≥2a，错误!＋c≥2b，错误!＋a≥2c，故错误!＋错误!＋错误!＋(a＋b＋c）≥2(a＋b＋c)，即错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c。所以错误!＋错误!＋错误!≥1。|能力提升|（20分钟,40分）11．若f(x)＝错误!x，a，b均为正数，P＝f错误!,G＝f（错误!）,H＝f错误!，则（）A．P≤G≤HB．P≤H≤GC．G≤H≤PD．H≤G≤P剖析:因为a，b均为正数，a＋bab＝错误!≥错误!＝错误!，又因为f(x）＝错误!x为减函数，所以f错误!所以2≥≤f(ab）≤f错误!，所以P≤G≤H。答案：A12．若a>0,b>0，＋＝2，则以下不等式①≤1;②＋错误!≤错误!；③2＋2≥2；ababaab④错误!＋错误!≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．（填序号)剖析：因为≤错误!2＝1,所以①正确；因为(错误!＋错误!)2＝＋＋2错误!＝2＋2abab3学必求其心得，业必贵于专精错误!≤2＋a＋b＝4,故②不正确；a2＋b2≥错误!＝2,所以③正确;错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥2,所以④正确．答案：①③④13．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1。求证：a＋b＋错误!<错误!＋错误!＋错误!。证明:因为a,b，c都是正实数，且abc＝1，所以错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,1b＋错误!≥2错误!＝2错误!，错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,以上三个不等式相加，得2错误!≥2（错误!＋错误!＋错误!),即错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!,因为a，b，c不全相等,所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，所以错误!＋错误!＋错误!<错误!＋错误!＋错误!.14．设a〉0,b>0,试比较错误!，错误!，错误!，错误!的大小,并说明原由．剖析：因为a>0，b〉0,所以错误!＋错误!≥错误!;即错误!≥错误!（当且仅当a＝b时取等号),又错误!2＝错误!a2＋b2＋a2＋b2＝错误!.≤4所以错误!≤错误!（当且仅当a＝b时等号成立）,而错误!≤错误!,