人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编

2目录棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的体积1-3-2球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测平面空间中直线与直线之间的位置关系、4空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质3-1-1倾斜角与斜率3-1-2两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线方程的一般式两条直线的交点坐标两点间的距离公式、4高中数学第三章综合检测圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用4-3-1、2空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测PAGEPAGE363一、选择题1．在棱柱中( )A．只有两个面平B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平[答案] D下列几何体中，不属于多面体的( )C．长方体[答案]D

D．球如图所示的几何体( A．五棱锥C．五棱[答案] C下列命题中，正确的(

B．五棱台D．五面体有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面CD．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个)A．3 B．4 C．5 [答案] C[解析] 由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的( A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的( )[答案] B8(201－2013·嘉兴高一检)如下图都是正方体的表面展开图还原成正方体后，其中两个完全一样的( )A．(1)(2)C．(3)(4)[答案] B

B．(2)(3)D．(1)(4)[解析] 在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示] 让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形各边折起，进行想象后判断．二、填空题(1)中的几何体叫BB等叫它，1 1A、B、C等叫它．1[答案] 棱柱 侧棱 顶点图(2)中的几何体叫、PB叫它的 ，平面PBC、PCD叫做它，平面ABCD叫它的 ．[答案] 棱锥 侧棱 侧面 底面(3)中的几何体叫它是由棱被平于底面ABCD的平面 截得的．AA′，BB′叫它 ，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的 ．[答案] 棱台 O－ABCD A′B′C′D′ 侧棱 侧面ABCD－A1B1C1D1容器中灌BCEFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是 ．[答案] ①③[解析]EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)相等；五棱锥只有五条棱；三角形相似．[解析] (1)正确．以不相等．10条棱．正确．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体[解析] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱已知正方体ABCD－ABCD，图(1)中截去的是什么几何111 1体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？成了一个什么几何体？[解析] 三棱锥 五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG 长方体一个几何体的表面展开平面图如图．该几何体是哪种几何体；对的是哪个面？[解析] (1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆[答案] C[解析] 由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体( )圆柱C．圆台[答案] 下列说法正确的(

圆锥DAB．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析] 圆锥的母线长与底面直径的大小不确定则A项不正确圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的何体形状( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方[答案] B[解析] 圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个柱，所以选B.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的积为( )A．10C．40[答案] B

B．20D．15[解析] 圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合( )A．球C．圆答案] D

BD7．(201－201312中的()[答案]A[解析]适当分割，只有A适合．故正确答案为A.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)[答案] D[解析] 圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是角形．二、填空题图①中的几何体叫叫它叫的 ，AB叫它．[答案] 球 球心 半径 直径图②中的几何体，AB、CD都是它，⊙O和⊙O′及其内部是它． [答案]圆柱母线底面图③中的几何体叫，SB为叫它[答案]圆锥母线图④中的几何体叫 A′叫它 及其内部叫它及其内部叫它它还可看作直角梯形OAA′O′绕它旋转一周后其各边所形成的面所围成的旋转体．[答案]圆台母线上底面下底面垂直于两底的腰OO′三、解答题7种几何体的名称．[解析] a是圆柱是圆锥是球e是棱柱是圆台是棱锥．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析] (1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱是一个圆台与一圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．360°得到？画出[解析] 先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转的平面图形如下：ABCD－A′B′C′DcmAD＝4cm，AA′＝3cm.A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析] 将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸41曲线中长度最小的为 cm(如图乙所示)．41一、选择题一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体( )棱锥C．圆锥[答案]

棱柱D已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体( )圆台C．四棱[答案] D

四棱锥D下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体序号是( )A．(1)(2)C．(3)(4)[答案] D

B．(2)(3)D．(1)(4)4(201－2013·安徽淮南高三模下列几何体各自的三视图中有且仅有两个视图相同的( )A．①② B．①③ C．①④ [答案] D[解析] ①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评] 熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观是基本的要求．几何体直观图形正视图几何体直观图形正视图侧视图俯视图正方体长方体长方体圆柱圆锥圆台球5.如左下图所示的是物体的实物图，其俯视图( )[答案] C[解析] 结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体( )A．圆柱与圆台 B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱[答案] B

D．四棱柱与圆台[解析] 该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的( )[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以( )[答案] D[解析] 此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的．[答案] ②④⑤[解析] 三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线平行四边形的投影是线段或平行四边形四面体的投影是三角或四边形；球的投影是圆．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图则组成个组合体的小正方体的个数．[答案] 5[解析] 由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正体．)图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有 ．[答案]①②③④12(201－2013·湖南高三十二校联)一个几何体的三视如图所示其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角角形，则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案]3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－ABCD，A－BBCC，A111 1 11－DDCC可以拼成一个棱长为4的正方体．11三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析] 所给四棱锥的三视图如下图．[点评] (1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1正视图 中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥顶点到底面左、右两边的距离．侧视图 中的长度对应原四棱锥底面的前后度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．俯视图 中HIJK的大小与四棱锥底面的大小状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析] 图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：说出下列三视图表示的几何体：[解析][答案] 所对应的空间几何体的图形为：一、选择题如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观中对应的这两条线( )C．相等不平行[答案]A

平行不相等D给出以下关于斜二测直观图的结论其中正确的个数( )①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0C．2[答案] C

B．1D．3[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的( )①C．③④

①②D．①②③④[答案] B[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段度减半．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的上角而绘制的，其中正确的( )[答案] A[解析] 由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A确．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．ABC．BC[答案] D

B．ADD．AC[解析] △ABC是直角三角形且则＞AD，AC＞BC.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面20m,5m,108()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8[答案] C[解析]4cm,1cm,2cm1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.()[答案] C[解析]x′直角梯形．1ABC的直观图不是全等三角形的一组( )[答案] C[解析] C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h 1变为2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的2.二、填空题斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观中的对应点是M′，则点M′的坐标，点M′的找法 ．[答案]M′(4,2)在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.[解析]x′O1M1＝4轴上O′M2＝2M1M2轴的M′.如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是 ．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知是直角三角形，且90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝ AC2＋BC2＝10.如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则面积．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB中，底边又∵底边OB的高为8，1S＝2×4×8＝16.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长？[答案] 8[解析] 原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝ ∴四边形OABC周长为8.三、解答题()．[解析]ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AOAODO为AB水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCDCDAB的长度都不变，2424如图所示，在直观图中，O′D′＝2OD，梯形的高D′E′＝ ，2424A′B′C′D′2×(1＋2)×

32＝8.已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观()．[解析]如图．ABCD中，AD∥BCAD＞BC，该ADEF观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧积是底面积( )A．4倍C.2C.2倍[答案] D

B．3倍D．2倍S πrl l[解析] 由已知得l＝2r，S侧＝πr2＝r＝2，底故选D.3长方体的高为底面积为垂直于底的对角面的面积是则长方体的侧面积等( )37A．2C．67[答案] C

B．4D．3[解析] 设长方体的长、宽、高分别为、b、则c＝1，ab＝2， a2＋b2·c＝5，∴a＝2，b＝1

＝2(ac＋bc)＝6.侧已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全积与侧面积的比( )1＋2π2π1＋2πC. π[答案] A

1＋4πB. 4π1＋4πD. 2π[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S ＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)全又S ＝h2＝4π2

S 1＋2π全侧r，∴S＝2π .侧侧[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，长为圆锥底面周长圆台侧面展开图是一个扇环其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有问题，有时要通过侧面展开图来求解．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则面积增加( )6a2C．18a2[答案] B

2a2D．24a2[解析] 原来正方体表面积为S＝6a2，切割成27个全等的小正11 1 2方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×a2＝a2，总表3 3 32面积S＝27×a2＝18a2，∴增加了S－S＝12a2.2 3 2 1如图所示，圆台的上、下底半径和高的比长为10，则圆台的侧面积( )

，母线1πC．14π[答案] B

0πD．169π[解析] 圆台的轴截面如图设上底半径为则下底半径为高为4r.因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.r＝2.

＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.圆台侧如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积( )A.2C．π

B．2πD．4π[答案] A[解析]

1 1的圆柱，由三视图可知，该几何体是底半径为2，高为故其全面积S＝2π

1 122＋2π2

1＝3π×

×2× 2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其24，腰长为4()6πC．18π[答案]

2πD．24π[解析] 该几何体是两底面半径分别为母线长为4的圆台则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该锥的全面(单位：cm2)为( )22A．48＋12C．36＋1222[答案] A

B．48＋24D．36＋2422[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面221积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为2×62×4＝122；1其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为2×6×5＝15.所以全面积为48＋122.二、填空题OOl＝4cm42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ [答案] 3[解析] 圆柱OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3cm.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，该几何体的表面积．3[答案] 24＋23[解析] 该几何体是三棱柱且两个底面是边长为2的正三角形侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面1积为2×(2×2×3)＋3×(4×2)＝24＋23.如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底6，底面半径为2，则该组合体的表面积等．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，410π.柱的一个底面面积为×＝44＋4π＝(410＋28)π.12 2．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为a，底面三角形的三3a、4a、5a(a>0)所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 ．3[答案] 0<a<153[解析] 底面积为6a2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱时，有三种情况：S1＝2×6a2＋2(10＋8＋6)＝12a2＋48，S2＝24a2＋2(10＋8)＝24a2＋36，S3＝24a2＋2(10＋6)＝24a2＋32.拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a2＝24a2＋28.1524a2＋28<12a2＋480<a<3.三、解答题5S－ABCD，如图所示，求它的表面积．求各侧面的面积[分析] →求各侧面的面积求侧面积求底面积求表面积- →求侧面积求底面积求表面积[解析] ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为各侧面都是全等的正三角形，EABSE⊥AB，∴S

＝4 1 5 5

253，侧

×2××2＝S ＝52＝25，底∴S ＝S 表面积 侧

＝253＋25＝25(3＋1)．底ab(a<b)．45°，求棱台的侧面积；若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设、O分别为上、下底面的中心，过C1作CE⊥AC于E，过E作EF⊥BC，连接CF，则CF为正四棱台的斜1 1 1高．由题意知∠CCO＝45°，1CE＝CO－EO＝CO－CO

2(b－a)，1 1 22在Rt△CCE中，CE＝CE＝ (b－a)，1 1 2又EF＝CE·sin45° 1b－a)，CE2＋EFCE2＋EF211

＝2(322 132＝ [2b－a]2＋[2b－a]2＝3232

(b－a)．2∴S ＝2侧

(b－a)＝3(b2－a2)．(2) 2 2 1 2 2由S ＝a＋b，∴(4a＋4b)·h2侧2

＝a＋b，斜a2＋b2∴h ＝ .

b－a斜

又EF＝2 ，ab∴h＝ h2－EF2＝ .斜 a＋b15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面为S.则AO＝ 42－22＝23.如图所示易知△AEB∽△AOC，AE EB 3 r23∴AO＝OC，即 ＝2，∴r＝123S 底

＝2πr·h＝23π.侧∴S＝S 底

＝2π＋23π＝(2＋23)π.侧16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组体，易求棱锥的斜高 h′＝2 2，其表面积 S＝42＋4×4×2＋1 22×4×22×4＝48＋16 cm2.2 一、选择题61长方体三个面的面积分别为6和则长方体的体积( )63A．6C．113[答案] A

B．3D．12[解析] 设长方体长、宽、高分别为abc，则bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝63.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则积为( )33A．32C．2433[答案] B[解析] 上底面积S13

B．28D．20333334×22＝63，4下底面积S＝6×42

×42＝243，SS1SS12V＝(S＋S

)·h3 1 21＝3(63＋243＋ 63·243)×2＝283.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为()A．11C.3[答案] D

1B.21D.6[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．1 1 1体积V＝3×2×1×1×1＝6.4．体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积( )A．54C．58cm3[答案]A

．54πc358c3[解析]1:91:27，截得小圆锥1:262cm354cm3，故选A.5．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()11A.2C．4[答案]

B．59D.2[解析] 本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六形，面积为4，高为1，则直接代公式可求．6．(2009·陕西高考若正方体的棱长为2，则以该正方体各个的中心为顶点的凸多面体的体积( )6A.26C.3

B.23233[答案] B

D.322[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体正八面体即由两个同底等高的正四棱锥组)，所有的棱长均为122其中每个正四棱锥的高均为

，故正八面体的体积V＝2V

＝正四棱锥231 2232×3×12×2＝

.故选B.1的正方形，1且体积2，则该几何体的俯视图可以( )[答案] C[解析] 若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，

1≠2，所以

A选项不是；若该几何体的俯视图是选项1 π 1B，则该几何体是圆柱，其体积V＝π× 2×1

B选项(2) ＝4≠2，所以不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，1 π 1其体积V＝4(π×12×1)＝4≠2，所以D选项不是；若该几何体的俯视1 1图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝2×1×1×1＝2，所以C选项符合题意，故选C.(1)1cm3cm20cm，当这个几何体如图(3)28()A．29cmC．32cm[答案]

B．30cmD．48cm[解析]图(2)和图(3)h＝29(cm)．二、填空题3已知圆锥SO的高为体积为则底面半径r＝ [答案]31[解析] 设底面半径为r，3πr2×4＝4π，解得r＝3，即底面半径为3.ABC－A′B′CEFAC、AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V(棱台AEF－1A′C′B′的体积)，VV2 1[答案]

V.2[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V＝Sh.2S·4S因为E、F分别为ACS·4S

1 1 1 7＝所以VS＋ ＝V－V512＝ Sh.12

4

1 3 4

12 2 1所以V:V＝7:5.1 2如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ．πr2a＋b[答案] 2[解析]两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，πr2a＋b所以所求几何体的体积为 2 .天津理一个几何体的三视图如图所示则这个几何的体积．3[答案] 103[解析] 由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1 1 1×1×2 10×3＋三、解答题

＝3.63[答案]

27 272π或π [解析] 如图所示，当BC为底面周长时，半径r＝3 ＝3 27＝则体积V＝πr2·AB＝π( )2×6 ；

1 2π1 2π 2π＝当AB的底面周长时，半径r＝6 3＝2 2π π3 27则体积V＝πr2·BC＝π()2×3＝ .2 π πAAAB1的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解析] 如图所示，作轴截面AABB，设圆台的上、下底面半径1 1和母线长分别为r，R，l，高为h.作AD⊥AB于点D，1则AD＝3.1又∵∠AAB＝60°，∴AD＝AD· 1 ，1 1 tan60°3即R－r＝3×3，∴R－r＝3.3又∵∠BAA＝90°，∴∠BAD＝60°.1 1∴BD＝AD·tan60°，即R＋r＝3×3，1∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3，13∴V ＝πh(R2＋Rr＋r2)3圆台1＝3π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.所以圆台的体积为21π.已知△ABCAB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．旋转体是两个同底圆锥求表面积[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解旋转体是两个同底圆锥求表面积△ABC的特征AC△ABC的特征

底面半

高BD，求体积径为CD AD求体积[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.所以BC·AC＝AB·CD，12 12CD＝5r＝5，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底12r＝5AC＝3，BC＝4，

＝πr·(AC＋BC)＝π

(3＋4)

84π，表面积1

×5× ＝51V＝3πr2(AD＋BD)＝3πr2·AB1 12 48＝3π×(5)2×5＝5π.[特别提醒]体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．16．(2011·浙江高考)(单位：cm)求此几何体的体积．[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长8，高为3

1 (16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间的正四棱台，体积为3×几何体的体积为144.一、选择题球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( )1A.2 B．1 C．2 D．3[答案] D半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积( )4A．22R3

B.3πR339C.9339C.93R38[答案] C3RR的圆柱，则圆柱的高为()A．R[答案]B．2RDC．3RD．4R一个正方体与一个球表面积相等那么它们的体积比( )6π2π26π2π2

π3π2π2D.3π2π2[答案] A2π332π33π2π3[解析] 由6a2＝4πR2得R＝ ，∴V1＝4 ＝4 3＝2 3πR3.6π.6已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比( A．6:5C．4:3[答案] D

B．5:4D．3:2[解析] 设球的半径为则圆柱的高＝2底面的半径也为，S 2πR2＋4πR2 3∴柱＝ 4πR2 ＝2.S球6．(2012～2013山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是34且它的顶点都在同一球面上则这个球的表面积( )2A．202C．50π[答案] C

B．252D．200π2[解析] 长方体的体对角线即为球的直径32＋42＋52，5∴R＝22，S

＝4πR2＝50π.球7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何的表面积( )9πC．11π[答案] D

0πD．12π[解析] 本题是三视图还原为几何体的考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.a4的球，记它们的体积之和为

，表面积之和甲为S 一个直径为a的球记其体积为甲

乙

则( )乙A．V

>V 且S >S甲 乙 甲 乙

B．V

<V 且S <S甲 乙 甲 乙C．V

＝V 且S >S甲 乙 甲 乙

D．V

＝V 且S ＝S甲 乙 甲 乙[答案] C1 1[解析] 计算得

＝6甲6

甲

＝6乙6

＝πa2，∴乙V 甲

乙

>S甲 乙．二、填空题用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球表面积和是原来整球表面积倍．2[答案] 32[解析]

＝4πR2,2S球

＝(2πR2＋πR2)×2＝6πR2，半2S 6πR2 3S半＝4πR2＝2.球若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、锥、球的体积的比．[答案] 3:1:2[解析]

＝πR2×2R＝2πR3，柱1 2π锥V ＝3πR2×2R＝3R3，锥43V ＝πR3.3球V 柱

:V ＝3:1:2.锥 球2OO的半径．36π[36π4[解析] 设球O的半径为r，3πr3＝23，36π解得36π12．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的(球的半径与圆柱的底面半径相)后，水恰好淹没上面的球如图所示)，则球的半径cm.[答案] 4[解析] 设球的半径为则圆柱形容器的高为容积为2×r4＝6πr38cm8πr2,33×3πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.三、解答题13．(2012～2013·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．[解析]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．＝2×S 4π＋＝12＝2×V V ＝3π ×2＝3π.hcmr108πcm3，1半球部分容量为全试管容量的6.rh；4cm积．[解析] (1) 1∵半球部分容量为全试管容量的6，1∴半球部分与圆柱体部分容量比为5，4πr3 11 3 ×2即 5 πr2×h10 4 1 1∴h＝3r，3πr3×2＝108π×6∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝4πr3×1＋πr2×(h－4)3 24 1＝3π×33×2＋π×32×6＝72π(cm3)．(S、S、S，试比较它们的大小．1 2 3[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S＝6a2，S＝4πR2，S＝6πr2.1 2 34由题意知，3πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝3 3a，r＝3 1a，4π33∴S＝4π

2π9 39 3a2＝4π· a2＝ 36πa2，2

16π2312π 3 312πS＝6π a2＝6π· 2a2＝ 54πa2，π3 4π ∴S2<S3.6a2>332πa2＝354πa2S1>S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2<S3<S1.)吗？请计算说明理由．1 4 128球[解析] V ＝2×3πR3＝3π，球1 1 160锥V ＝3πR2h＝π×42×10×3＝3π，锥128 1603π<3π∴不会溢出．第一章综合素能检测120150分。(12560)如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的( )C．③是棱锥[答案]C

②是圆台D[解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；明显③是棱锥．下列光线所形成的投影不是中心投影的( )太阳光线C．手电筒的光[答案] A

台灯的光线D[解析] 太阳比地球大得多，不能将其看成是点光源．下列选项中可能是四棱柱的侧面展开图的( )[答案] C[解析] 结合四棱柱的特征易得C正确还原后不能构成规几何体，B还原后构成四棱锥还原后构成四棱台．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三形，那么原△ABC的面积为( )32a2

34a2D.6a2C.D.6a2C.2a2[答案] C[解析] 如图由底边长626 162

3a那么原来的高2a2＝6aS＝2×a×6a＝

a2.5．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，该几何体的俯视图不可能( )[答案] D[解析] 本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知原图下面图为圆柱或直四棱柱上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱都可能是该几何体的俯视图D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．[点评] 本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象力．是近年高考中的热点题型．6．(2012－2013山东省郯城一中高一第二次月考试题)正方体内切球与外接球体积之比为()A．1:3B．1:3C．1:33[答案] CD．1:9[解析] 设正方体棱长为a，内切球半径R，外接球半径R.1 23a3R，R＝ a，1 2 2 2外a 3外V 内

＝(2)3:(2a)3＝1:33.故选C.7．(2012～2013·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积( )2πC．24π[答案]C

5πD．36π[解析] 由三视图可知该几何体是圆锥表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)，故选C.2

＋S ＝πrl＋πr2侧 底1倍，底面半径缩短到原来的2，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一

B．扩大到原来的2倍C．不变 D 1[答案]

11 1

．缩小到原来的6[解析] V＝πr2h，故选A.32 6圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径( )A．7 B．6 C．5 [答案] A[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆半径R＝3r.∴S ＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84πr＝7.侧如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别( )3A.2，1

2B.3，13 3C.2，2[答案] C[解析] 设球的半径为R，

2 3D.3，2则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V 圆柱V 2πR3 3

R3，V

43＝πR3.3球V∴圆柱＝4V

＝2，球 3πR3S ＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S圆柱

＝4πR2.球S 6πR2 3∴圆柱＝4πR2＝2.S球广东惠州一)某几何体的俯视图是如图所示的矩形正视(或称主视图)是一个底边长为8高为5的等腰三角形侧视图(或称左视是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积( )A．24C．64[答案] B

B．80D．240[解析] 该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S＝6×8＝48

1 1，则该几何体的体积V＝3Sh＝3×48×5＝80.如果用表示1个立方体用表示两个立方体叠加用37()[答案] B[解析]画出该几何体的正视图为，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B(4520)在几何体①圆锥正方体圆柱球正四面体中三视图完全一样的．[答案] ②④用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行则这个正三角形的直观的面积．[答案] 3/2圆台的底半径为12，母线长为3，则此圆台的体积为 ．3[答案] 142π3[解析] 圆台高h＝ 32－2－12＝22，141423∴体积V＝3(r2＋R2＋Rr)h＝ π.216(201－2013·安徽皖南八校联一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图等腰三角形，则这个几何体的表面积．2[答案] 2(1＋3)π＋4[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的S

＝πrl＝π×2×23＝43π，S圆锥侧1

＝π×22＝4π，底＝×4×22＝42，△SAB 2所以S表

4π43π22＋2＋43π22＝2(1＋3)π＋42.(670)17．(本小题满分10分)画出如图所示几何体的三视图．[解析] 该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其视图如图所示．12)12cm4πcm225π求：圆台的体积；截得此圆台的圆锥的母线长．[解析] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．由已知可得OA＝2cmOB＝5cm.12cm，∴高1AM＝ 122－5－22＝315(cm)

1 (4π＋ 4π×25π＋25π)×315＝3915πcm3.

，∴所求体积为3×(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，l－12 2则由△SAO∽△SBO可，1 l 5∴l＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.19．(本题满分12分)如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．[解析] 由三视图可知该几何体是一个正三棱台．画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直观图；轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．20．(12分)72高为 制造这个塔顶需要多少铁板？7[解析ACBDOSO.SP⊥AB，OP.Rt△SOP中，SO＝所以SP＝22(m)，1

12BC＝1(m)，2则△SAB的面积是2×2×22＝22(m2)．所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m2)，即制造这个塔顶需要82m2铁板．21．(12分)(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．[解析] (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一正六棱锥．AB＝AC，AD⊥BCBC的BC＝AD＝

133a，所以该平面图形的面积2· 3a·33

3a＝2a2.SV，3 33则S＝6×4a2＝2a2，1 33 3所以V＝3×2a2×3a＝2a3.22．(12分)图(1)P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.如图(2)(3)所示的分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．左)(2)求该安全标识墩的体积．[解析] (1)如图所示．该安全标识墩的体积V＝V ＋V

1 402×60＋＝×402×20＝32000＋32000＝×＝64000(cm3)．

P－EFGH

ABCD－EFGH 3一、选择题1．下列说法中正确的( A．镜面是一个平面B．一个平面长10宽5mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展[答案] D[解析] 镜面可以抽象成平面但不是平面所以选项A不正确平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.如图所示，下列符号表示错误的( )A．l∈αC．l⊂α[答案] A

B．P∉lD．P∈α[解析] 观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．下面四个说法表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中表述方式和推理都正确的命题的序号( )①④C．④[答案] C

②③D．③[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB 错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．空间中四点可确定的平面( )A．1个C．4个[答案] D

B．3个D．1个或4个或无数个[解析] 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确一个平面，此时可确定4个平面．下列命题中正确的( )A．圆心与圆周上两点可以确定一个平B．梯形一定是平面图形αβα和β重合两组对边都相等的四边形是平面图[答案] B[解析] 当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选B正确．设P表示一个点，ab表示两条直线、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b①②C．①④

②③D．③④[答案] D[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉aa与Pα，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选7．若一直线a在平面α内，则正确的图形( )[答案] A8．下图中正确表示两个相交平面的( [答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题经过一点可以作 个平面；经过两点可作 个平面；经过不在同一直线上的三点可个平面．[答案] 无数，无数，一“若AB在平面α内在直线AB上则C在平面α内用符号语言叙述这一命题．[答案] A∈α，B∈α，C∈AB⇒C∈α若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则A l；其理由．[答案] ∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的线上已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示．[答案] P∈l[解析] 又α∩β＝l，∴P∈l.三、解答题用符号语言表示下列语句，并画出图形．α，β，γPαβαγPBβγPC；ABDBCDBDABCADCAC.[解析] (1)符号语言＝PC.图形表示如图1.(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD＝AC.图形表示如图2.用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．[解析] 图(1)平面平面直线直线＝M；图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B；图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝A，A∈CD.ABCDAB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l交于一点．[证明] ∵AD，BC是梯形ABCD的两底边，∴AB与CD必交于一点．设AB∩CD＝M，则M∈DC，且M∈AB.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.Mαβ又∵α∩β＝l，由公理3得M∈l，即AB，CD，l交于一点．lABCDAB，AD，CDE，F，G.求证：四边形ABCD是平面四边形．[证明] 设AB，AD确定的平面为α，则E∈α，F∈α.于是EF⊂α.又∵G∈EF，∴G∈α.∴DG⊂αDC⊂α.∴C∈α.故A，B，C，D四点共面，即四边形ABCD为平面四边形．一、选择题1．异面直线是( )A．空间中两条不相交的直B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于应排除．Ca，bαaαbD定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l定( )与a，b都相交C．至少与a，b之一相[答案] C

a，b都不相交D．至多与a，b之一相交[解析] 若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a直线c的位置关系( )相交C．异面[答案]

平行D[解析] 如图所示长方体ABC－ABCD中AB与AA相交，111 1 1ABAAAB∥ABADAAAB与11 1 11 1ADADAAABADD.1 1 1 1 1正方体ABCD－ABCD中与对角线AC异面的棱( )111 1 1A．3条C．6条[答案] C

B．4条D．8条[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．()()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]②④是正确的．ABCD中，E、FAC、BDCD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )0°C．60°

5°D．90°[答案] A[解析] 取AD的中点连FE在△EFH中∠EF＝90，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是( )0°C．60°[答案] C

5°D．90°[解析] ∵AD∥BC，∴AD与BD所成的锐角或直角即为所1 1 1求角，连接AB.∵△ADB为正三角形，1 1∴∠ADB＝60°.1空间四边形ABCD中BCCD的中点分别为P且AC＝4，BD＝25，PR＝3，则AC和BD所成的角为( )A．90°C．45°[答案] A

B．60°D．30°[解析] 如图R分别为BCCD中点QR∥BD，∴∠PQR为AC和BD所成角1又PQ＝2AC＝2，1QR＝2BD＝5，RP＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.二、填空题分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 ，不行的两条直线的位置关系两条直线没有公共点则它的位置关系是 ，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为 ．[答案]平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面．AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的．[答案] ③ABCD－A1B1C1D1aNPQ分别为AB、BC、C1D1CC1的中点，则①MN与PQ的位置关系它们所成的角．②DB1与MN的位置关系它们所成的角．[答案] ①相交 60° ②异面 90°[解析] ①连接AC、D1C由于、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，1 则AC与DC所成角即为MN与PQ所成角，∠DCA＝1 ②连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，AH，HCMN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.ABCD－A1B1C1D1中①AC和DD所成角度．1②AC和DC所成的角度．11③AC和BD所成的角度．1 1④AC和AB所成的角度．1⑤O为BD中点，AC和BO所成角是 度．1 1⑥AB和BD所成角度．1 1 1[答案] ①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.[解析] ①DD⊥面ABCD，∴DD⊥AC；1 1②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；B1D1中点，∴OA1C1A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．三、解答题ABCD－A1B1C1D1A1C1内有一PPBC的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析] 由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析] 如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交EC1D1FEF即为所求．理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.OCABE分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解析] 由已知得又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.如右图，等腰直角三角形ABC⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]BEDCBE(CD)．设想平移CDDADECACF，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．[解析] 取AC的中点F，连接、EF，在△ACD中，E、F别是、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．1 1 5在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝ .2 2 21 1 1 2在Rt△AEF中，AE＝，∴EF＝ .2 2 2 21 5在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝2，∴BF＝2.21EF2在等腰△EBF中，cos

2 4 10＝ ＝∠FEB＝BE

5 10，2BECD

1010.ABCD－ABCD、F、E、F分111 1 1 1AD、AB、BC、CD的中点．11 1 1求证：∠EAF＝∠ECF.1 1 1[证明] 如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点1M，则BF＝AM＝AB.1 2又∵BF∥AM，1∴四边形AFBM为平行四边形．1∴AF∥BM.1F、MCD、AB的中点，1 1 1 11则FM綊CB，1 11CBBC，∴FM∥BCFM＝BC.11 1 1∴四边形FMBC为平行四边形，1∴BM∥FC.又BM∥AF，∴AF∥CF.1 1 1 1ADNDN，EN，1 1 1则AN綊DE，1∴四边形ANDE为平行四边形．1∴AE∥DN.1又EN∥CD，且EN＝CD，1 1∴四边形ENDC为平行四边形．1∴DN∥CE.∴AE∥CE.1 1 1∴∠EAF与∠ECF

的两边分别对应平行，1 1 1且方向都相反．∴∠EAF＝∠ECF.1 1 1规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EAF与△ECF

全等来证明角相等．1 1 1一、选择题正方体的六个面中相互平行的平面( )A．2对C．4对[答案] B

B．3对D．5对棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的面的位置关系( )平行C．平行或相[答案] B

相交D[解析]M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有( )l∥αC．lα相交[答案] C[解析] 如图所示

l⊂αD给出以下结论：(1)αb⊂α(2)a⊂α，b⊄αab无公共点．(3)a⊄αaα相交．(4)若a∩α＝A，则a⊄α.正确的个数为( )A．1个C．3个 [答案] B[解析] 其中(3)，(4)正确

B．2个．4个ααab的位置关系是( )平行C．异面[答案]

相交D[解析] 如图所示长方体ABC－ABCD中AB平面A，111 1 11AD∥平面AC，有AB∩AD＝A；又DC∥平面AC，有AB∥1 1 11 1 1 1 11 11DCBBCCCAC，11 1 1 11有A1B1与MN异面，故选D.平面平面β，直线则( )C．aβ相交[答案] D

β上D．a∥β或a⊂β[解析] 如图(1)满足此时如图(2)满足此时a⊂β，故选D.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( )C．α与β重[答案] D

B．αβ相交αβ[解析] 如下图设则在α内与l平行的直线可以有无βα∩β＝l.已知m、n为异面直线平面平面β，α∩β＝l，则l( )m、n都相交m、n中至少一条相交m、n都不相交m、n中只有一条相交[答案] C[解析] 平面则m与平面α没有公共点与l无公点，同理由知n与l无公共点，故l与、n都没有公共点．二、填空题若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直与另一平面的位置关系．[答案] 平行或在平面内如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行那么这两个平面的位置关系．[答案] 平行或相交[解析] 可根据题意作图判断如图(1)(2)所示分别为两个平平行、相交的情形．下列命题正确的．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；lαlαlα直线；定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线[答案] ①⑤[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以lαlα交点的直线都相交而内，所以④是错误的；⑤中，直线lα没有公共点，所以直线lα内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确以⑥是错误的．以下结论中，正确的结论序号．αPα平行；αPα平行；lPl平行；lPl平行；⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；⑥l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内．[答案] ②③⑥[解析] ①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行这无数条直线都在平面β内，有且只有一个③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；lαl1Aβα又，∴l这与l∩l′＝A矛盾，故l α.1 1 1 1三、解答题完成下列作图(1)在图中画出两个平行平面；(2)在图中画出两个相交平面；(3)在图中画出三个平行平面；(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交；(5)在图中分别画出三个两两相交的平面．[解析][规律总结] 两个相交平面的画法：(1)．(2)．③过图(1)中线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中表示交线的线段，如图(3)．④画出图(3)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线，可以用虚线，也可以不画)．ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，试判断(1)AMABCD的位置关系？(2)CNABCD的位置关系？(3)AMCDD1C1(4)CNCDD1C1的位置关系？[解析] (1)AM所在的直线与平面ABCD相交(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．(3)AMCDD1C1(4)CNCDD1C1相交．αβγαa与b、a与β的关系并证明你的结论．[解析] 证明如下由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点，直线ABl不平行，那么平面ABCβ的交线与l有什么关系？证明你的结论．[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴ABlP∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.PABCβCβP，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交．一、选择题圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系( )平行C．在平面[答案] A

相交D[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，它们平行．已知两条相交直线a平面则b与α的位置关( )C．b⊂α[答案] D

α相交D．b∥α或b与α相交[解析] ∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果则如果β不平行α，则b与α相交．直线ab是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和面α的位置关系是( )b⊂αC．bα相交[答案] D

D．以上都有可能[解析] 可构建模型来演示，三种位置关系都有可能．ABCDE－ABCD

中，F，G

和BB上AF

111 11 1 1的点，且＝GB，则FG与平面ABCDE的位置关系( )1 1平行 B．相交C．异面[答案]

AF BG

D．FG在平面ABCDE内[解析] ＝GB，1 1平ABCDE.ABCD中，E，FABBC上的点，若AEEB＝CFFB＝，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．异面[答案] AAE CF[解析] 如图，由EB＝FB，得又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.6．给出下列结论：(1)平行于同一条直线的两条直线平行；(2)平行于同一条直线的两个平面平行；(3)平行于同一平面的两条直线平行；(4)平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数( )个C．3个[答案] B

B．2个D．4个[解析] 由公理4知(1)正确，正方体ABCD－ABCD中，DD111 1 1ABBA，DDBBCC(3)错；同11 1 11ABCD－ABCDBBCABCD平行，111 1 11 11故(3)错；(4)正确，故选B.ABCD－ABCD中，E、FBC、111 1CD的中点，则EF与平面BBDD的位置关系是( )1 1 1 1A．EF∥平面BBDD1 1B．EF与平面BBDD相交1 1C．EF⊂平面BBDD1 1D．EF与平面BBDD的位置关系无法判断1 1[答案] A[证明] 取DB的中点O，连OF，OB，111 1∵OF綊BC，BE綊BC，∴OF綊BE，211 211OFEB∵EF⊄BBDD，BO⊂BBDD，1 1 1 1∴EF∥平面BBDD，故选A.1 1ABCDABαABCDα置关系是()A．平行B．相交CαD．平行或在平面α[答案] D[解析] 在旋转过程中由直线与平面平行的判定定理得或CD α，故选D.二、填空题9．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则EO与图中平行的平面个．[答案] 2[解析] 在△PBD中，E、O分别为中点，所以EO∥PD，因此EO∥面PCD，EO∥面PAD.ABC－ABC111平面ABBA平行的条．11[答案] 6[解析] 如图：DD1、EE1、DE、D1E1、DE1、ED1都平行于面ABB1A1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点则直线MD与平面A1ACC1的位置关系．直线MD与平面BCCB的位置关系．11[答案] 相交 平行[解析] 因为M是AD的中点所以直线DM与直线

相交，1 1 1DMAACCDMAACC相1 1 1 1交．BCM，MMCD，C

綊CD，11 1 1 1 1 1 1∴四边形DMMC为平行四边形，∴DM綊CM，1 1∴DM∥平面BCCB.11如下(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位关系．[答案] 平行[解析] ∵E，F分别为AB，CD的中点又∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.三、解答题如图，在三棱锥P－ABCODACPC点．求证：OD∥平面PAB.[证明] ∵点、D分别是AC、PC的中点∵OD⊄平面PAB，AP⊂平面PAB.∴OD∥平面PAB.A1B1C1－ABCACDBC1.[证明] ∵ABC－ABC是三棱柱，111BBCC是平行四边形．1 1BCBCEBE＝EC.1 1 1在△ABC中，∵AD＝DC，∴DE∥AB.1 1又AB⊄平面DBC，DE⊂平面DBC，1 1 1∴AB1∥平面DBC1.PABCDN分别是AB、PC的中点．MN所成的角的大小．[解析] (1)取PD的中点H，连接是PC的中点，12∴NH綊DC.由M是AB的中点，且DC綊AB，2∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．∴MN∥AH.由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD