【华师】第三次月考卷

九年级上学期数学第三次月考（共100分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.下列等式成立的是（）A.a2•a5=a10 B. C.（﹣a3）6=a18 D.2.使式子有意义的x的范围是（）A. B.且 C. D.3.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1＝（）A. B. C. D.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A. B. C. D.25.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（）A. B. C. D.6.阳光下同一时刻，物高与影长成正比例，如果身高为1.5m的小丽，影长为2.5m，则此时影长为30m的旗杆的高为（）A.20m B.18m C.16m D.15m7.如图，在中，，，点A到的距离为5，则A到的距离为（）A. B. C. D.8.如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为（）A.36米 B.72米 C.78米 D.38米9.如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）A. B. C. D.10.如图，在中，点E在边上，且，点F是边的中点，连接，交对角线于点G，则四边形与的面积比为（）A.9 B. C. D.1011.等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1＋m＝0的两根，则m的值为（）A.15 B.16 C.15或17 D.16或1712.如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③；④正确的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.在中，，，，则的值是______；14.若，则_______；15.若、是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m=____；16.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3......在x轴上，已知正方形为A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1//B2C2//B3C3......则正方形A2022B2022C2022D2022的边长是______．三、解答题（本大题5个小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）17.计算：18.解方程：（1）x（x+3）=7（x+3）； （2）x2+5x-6=0．19.方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值．20.如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，求的长．21.如图，小明在教学楼的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为10米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．B卷加试卷（共60分）四、填空题（每小题6分，共24分）22.已知三条线段的长为，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是______．23.如图，在矩形中，点E、F分别在、上，四边形是正方形，矩形矩形，则的值为______．24.如图，在中，，于D，若、是关于x的方程的两个根，且，求m的值_______．25.求代数式的最小值_____．五、解答题（本大题3个小题，每小题12分，共36分）26.在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：______，______，发现结论：______；（选填“=”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在中，，，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长至点D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解；（3）拓展延伸：如图2，在中，．求的值．27.（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．28.如图，在平面直角坐标系中，已知厘米，厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，一个点到达终点，另外一点随之停止．若P、Q同时出发运动时间为．（1）t为何值时，与相似？（2）当t为何值时，的面积为？

九年级上学期数学第三次月考（共100分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.下列等式成立的是（）A.a2•a5=a10 B. C.（﹣a3）6=a18 D.【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断即可得解．【详解】解：A、a2•a5=a7，故选项错误；B、当a=b=1时，，故选项错误；C、（﹣a3）6=a18，正确；D、当a＜0时，，故选项错误．故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方运算法则，熟练掌握各运算法则是解题的关键．2.使式子有意义的x的范围是（）A. B.且 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据被开方数为非负数和分式的分母不能为0解答即可．【详解】根据题意可知且，∴且．故选B．【点睛】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数和分式的分母不能为0是解题关键．3.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，根据作图的方法可知AB：A1B1=PA：PA1，PA1=PA，从而求得AB：A1B1=3：2．【详解】解：∵PA1=PA，∴PA：PA1=3：2，又∵AB：A1B1=PA：PA1，∴AB：A1B1=3：2．故选B．【点睛】本题主要考查了位似变换的作图，及性质相似比相等，熟练掌握其性质是解题的关键．4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt三角形ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：设CE=x，连接AE，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt三角形ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．故答案为B5.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】解：∴∴∴故选：D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6.阳光下同一时刻，物高与影长成正比例，如果身高为1.5m的小丽，影长为2.5m，则此时影长为30m的旗杆的高为（）A.20m B.18m C.16m D.15m【答案】B【解析】【分析】本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高．【详解】解：根据题意，即，∴旗杆的高m，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的相似比，能够根据题意列出方程是解决本题的关键．7.如图，在中，，，点A到的距离为5，则A到的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图作于H，交于F，则，根据相似三角形的相似比等于对应高的比，列出方程即可解决问题．【详解】过点A做交于点H，交于点F∵∴∴∴∴∴A到的距离是．故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定知识，解题的关键是掌握相似三角形的相似比等于对应高的比．8.如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高8米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3，则坝底宽BC为（）A.36米 B.72米 C.78米 D.38米【答案】D【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，根据斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：3求解即可．【详解】解：如下图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∴四边形AEFD是矩形，∴AD=EF=6，AE=DF=8．∵斜坡AB的坡角为45°，∴BE=AE=8．∵斜坡CD的坡度为1：3，∴FC=24，∴BC=BE+EF+FC=38．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造合适的矩形和直角三角形、掌握坡角和坡度的概念是解题的关键．9.如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．10.如图，在中，点E在边上，且，点F是边的中点，连接，交对角线于点G，则四边形与的面积比为（）A.9 B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】过点E作交于点N，证明，得出，证明，得出，从而得出，求出，得出，，从而得出，得出，即可得出，求出比值即可．【详解】解：过点E作交于点N，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵点F是边的中点，∴，∴，∴，∴，即，，即，∴，∵，∴，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线，求出是解题的关键．11.等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1＋m＝0的两根，则m的值为（）A.15 B.16 C.15或17 D.16或17【答案】D【解析】【分析】分3为底边长或腰长两种情况考虑：当3为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系即可求得的值；当3为腰时，则a、b中有一个为3，a+b=8即可求出b，再利用根与系数的关系即可求得的值．【详解】①当3为底时，由a=b，a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1＋m＝0的两根，，，，解得；②当3为腰时，则a、b中有一个为3，设，，，，解得，综上所述，或者．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．12.如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③；④正确的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质即可完成．【详解】①∵四边形ABCD是矩形∴,∠DAB=∠ABE=90°，DC=AB∴∵E为BC的中点∴∴∵∠DAB=∠ABE=90°∴△ABE∽△DAB∴∠BAE=∠ADB∵∠BAE+∠FAD=90°∴∠ADB+∠FAD=90°∴∠AFD=90°即AE⊥BD故①正确②由勾股定理得：∵AE⊥BD∴∠AFB=∠BAD=90°∵∠BAE=∠ADB∴△ABF∽△DBA∴∴∴∴∴∴∵点E为BC的中点∴∵∴即故②错误③由②知∴∵四边形ABCD是矩形∴∴故③错误④过点F作FG⊥BC于点G∴FG∥DC∴∴，∴在Rt△FGC中，由勾股定理得：∵∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：∴故④正确故正确的有2个故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判断与性质，等高的两个三角形面积比等于底边比等知识，关键是把其它的线段用矩形的宽的代数式表示出来．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.在中，，，，则的值是______；【答案】##0.6【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案．【详解】解：在中，，故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．14.若，则_______；【答案】2【解析】【分析】根据因式分解分别将根号内的多项式进行因式分解，再根据x的取值范围，化简二次根式即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查因式分解，二次根式的化简，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．15.若、是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m=____；【答案】【解析】【分析】先将变形，再利用根与系数的关系式代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∵、是该方程的两个根，∴，，∴，∴，经检验，该值为方程的解；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是牢记一元二次方程的两个根和满足“，”．16.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3......在x轴上，已知正方形为A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1//B2C2//B3C3......则正方形A2022B2022C2022D2022的边长是______．【答案】【解析】【分析】根据图形求出几个正方形的边长，观察规律即可得出结果．【详解】解：由题意可知，正方形D1E1E2B2的边长为：，正方形A2B2C2D2的边长为：，正方形D2E3E4B3的边长为：，正方形A3B3C3D3的边长为：，∴正方形A2022B2022C2022D2022的边长是:，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是根据特殊三角形求正方形边长，并观察规律，掌握其规律是解题的关键．三、解答题（本大题5个小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）17.计算：【答案】【解析】【分析】根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法、二次根式的性质与化简、负整数指数幂的运算法则计算即可.【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的运算法则是解答本题的关键．18.解方程：（1）x（x+3）=7（x+3）；（2）x2+5x-6=0．【答案】（1）x1=-3；x2=7．（2）x1=1；x2=-6．【解析】【分析】（1）用分解因式法求解即可；（2）用配方法求解即可．【小问1详解】解：x（x+3）=7（x+3），x（x+3）-7（x+3）=0，（x+3）（x-7）=0，x1=-3；x2=7．【小问2详解】解：x2+5x-6=0，（x+）2=，x+=±，x1=1；x2=-6．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法及配方法求解一元二次方程是解题的关键．19.方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式，求解一元一次不等式即可；（2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴，解得；（2）由根与系数的关系，可得，∵，∴，∴，符合题意，∴【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根的情况以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．20.如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)和中，易知(平行线的内错角)，而和是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；(2)根据相似三角形的性质可得出，代入各线段长度可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长．【小问1详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴，，，∴，∵，∴∴；【小问2详解】∵，∴∴∴∵四边形ABCD是平行四边形∴∵∴∴∴．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．21.如图，小明在教学楼的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为10米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．【答案】树高约为7.3米．【解析】【分析】过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E，易证∠AEC＝∠BDC＝90°，AE＝BD＝10，在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，Rt△AEC为等腰直角三角形，即可求出EC；在Rt△AED中，tan∠EAD＝，即可求出ED，最后就可以求出树高．【详解】过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E，则∠AEC＝∠BDC＝90°．∵∠EAC＝45°，AE＝BD＝10，∴EC＝10．∵tan∠EAD＝∴ED＝10•tan60°＝10，CD＝ED﹣EC＝10﹣10≈7.3（米）．答：树高约为7.3米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握在直角三角形中锐角三角函数与边的关系及特殊角的三角函数值是解决此题的关键．B卷加试卷（共60分）四、填空题（每小题6分，共24分）22.已知三条线段的长为，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是______．【答案】或或．【解析】【分析】根据四条线段成比例可得、、，分别求出d即可得．【详解】解∶根据题意，得∶当时，解得∶；当时，解得∶；当时，解得：；故答案为：为或或．【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解．23.如图，在矩形中，点E、F分别在、上，四边形是正方形，矩形矩形，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据相似多边形的性质可得，设正方形的边长为x，，那么，求出，代入计算即可．【详解】解：∵矩形矩形，∴，设正方形的边长为x，，则，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．24.如图，在中，，于D，若、是关于x的方程的两个根，且，求m的值_______．【答案】16【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，可求出，再证，可得．【详解】解：、是关于x的方程的两个根，，，，，．，，，，，又，，，，，故答案为：16．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题的关键是通过证明，推导出．25.求代数式的最小值_____．【答案】10【解析】【分析】把式子化为两点间距离公式，，即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，设关于轴的对称点为，则，要求的最小值，只需求的最小值，根据线段的性质可得，的最小值为线段的长度，据此即可用勾股定理求解．【详解】解：把式子化为两点间距离公式，，即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，如图所示，设关于轴的对称点为，则，要求的最小值，只需求的最小值，根据线段的性质可得，的最小值为线段的长度，，，，即代数式的最小值是10．【点睛】本题考查的是勾股定理、用轴对称求最短路线问题的题目，掌握勾股定理和转化思想的应用是解决此题的关键．五、解答题（本大题3个小题，每小题12分，共36分）26.在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．（1）初步尝试：我们知道：______，______，发现结论：______；（选填“=”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在中，，，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长至点D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解；（3）拓展延伸：如图2，在中，．求的值．【答案】（1），，≠；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得出结论；（2）根据题意，利用勾股定理求AB，即可得结论；（3）作的垂直平分线交于点E，连接，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求即可得结果．【详解】（1）∵，，∴≠，故答案为：，，≠；（2）在中，，∴，如图1，延长至点D，使，∴，∴，∴，∴；（3）如图2，作的垂直平分线交于点E，连接．则．∵中，．∴．设，则，在中，，即，解得，∴，∴．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造2∠A是解决本题的关键．27.（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点