平行线的性质与判定典型例题

本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。1.如图,CD均分∠EＣF，∠B＝∠ACB，求证：ＡB∥CE．证明：∵CD均分∠ECF，∴∠ＥCD＝∠ＤＣＦ，∵∠ACB＝∠ＤCF,∴∠ECD=∠ＡCB,又∵∠B=∠ACＢ,∴∠Ｂ＝∠ＥCＤ，AＢ∥CE.２．如图，已知AC⊥ＡE,BＤ⊥BＦ,∠１＝１5°,∠2＝15°,AE与BＦ平行吗?为什么？解：AE∥BＦ．原由以下:因为AC⊥AE,ＢD⊥BF(已知),所以∠ＥAＣ＝∠FＢD＝９0°(垂直的定义)．因为∠1＝∠2（已知)，所以∠EAC＋∠1＝∠FBD+∠２（等式的性质),即∠EAB=∠FBG,所以AE∥BF(同位角相等,两直线平行)..如图，已知∠ABC＝∠ＡＣB，ＢD均分∠ABC，CE均分∠ＡCB,F是BC延长线上一点,且∠ＤBＣ=∠F,求证：EＣ∥DF．1本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。证明:∵∠ABC=∠ACB,BＤ均分∠AＢＣ，CE均分∠ACＢ,∴∠DＢC=∠ＡBC，∠ＥCB＝∠ACＢ,∴∠DBC＝∠EＣB．∵∠ＤＢC=∠F，∴∠ＥCＢ＝∠Ｆ,EC∥DF.４．如图,∠ABC＝∠ADC,BＦ,ＤＥ分别是∠AＢＣ，∠ＡDC的角均分线，∠1=∠2，求证:DＣ∥AB．证明:∵ＤE、BF分别是∠ＡBＣ，∠ADC的角均分线，∴∠3=∠ADC，∠２=∠ABC,∵∠ABＣ＝∠ADC,∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2,∴∠1=∠３,DC∥ＡＢ.5．以下列图,∠B＝2５°，∠D＝４２°，∠BCD=6７°，试判断AB和ED的地址关系，并说明原由．解：AB∥ＥD，原由:如图,过C作ＣF∥AB，2本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∵∠B=2５°,∴∠ＢCF＝∠B＝2５°,∴∠DＣＦ＝∠ＢＣD﹣∠BCF＝４２°,又∵∠D=４２°,∴∠ＤＣF=∠Ｄ,CＦ∥EＤ，AB∥ED．.如图,DE均分∠ＡＤＣ，CE均分∠BＣD，且∠1+∠２=９0°.试判断AD与BC的地址关系,并说明原由．解:BC∥AD．原由以下：∵DＥ均分∠ＡDＣ，CE均分∠BCD，∴∠ADC=2∠1,∠BCD=２∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ＡDC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°，∴ＡD∥BＣ.7.已知:如图，ＤG⊥ＢC,ＡC⊥BC,EＦ⊥AB，∠1=∠2.求证:EＦ∥ＣＤ.证明:∵DG⊥BC,ＡC⊥BＣ,∴∠DGB=∠ＡCB＝9０°(垂直定义),3本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∴DＧ∥AC（同位角相等,两直线平行),∴∠2=∠ＡCＤ(两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠2，∴∠1=∠DＣA，∴EF∥ＣD（同位角相等，两直线平行）．8.将一副三角板中的两块直角三角板的直角极点C按如图方式叠放在一起,友情提示：∠A=60°,∠D=30°，∠E=∠B＝45°．(1)①若∠ＤCB=45°，则∠ＡCB的度数为13５°．②若∠ACＢ＝140°,则∠DＣE的度数为４０°．（２)由(1）猜想∠ACB与∠DCＥ的数量关系，并说明原由.3）当∠ＡCE<90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时,请直接写出∠ACE角度所有可能的值(不用说明原由）.解：（1）①∵∠DCE＝4５°,∠ACD=90°∴∠ACE=45°∵∠BCE＝９０°∴∠ACB=９0°+4５°=1３５°故答案为：１３5°；②∵∠AＣB＝１40°,∠ＥCB＝90°∴∠ACＥ=14０°﹣9０°=50°∴∠DＣE=９0°﹣∠ACE＝90°﹣50°=40°故答案为：40°；2)猜想:∠AＣＢ+∠DＣE＝18０°原由以下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠AＣB=∠ACE+９0°∴∠AＣB=90°﹣∠ＤCE+90°=18０°﹣∠DCE即∠AＣB+∠DＣE＝１８0°；4本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。3）30°、45°．原由:当CB∥ＡD时,∠ACE=30°；当EB∥ＡＣ时,∠AＣE=4５°..已知：DＥ⊥ＡＯ于Ｅ,BO⊥ＡO，∠CFB＝∠EDＯ,证明：CF∥DO．证明：∵DE⊥AＯ，BO⊥ＡO,∴∠ＡEＤ=∠AＯB＝90°，∴DE∥ＢO（同位角相等,两条直线平行)，∴∠ＥＤO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等)，∵∠EＤO＝∠ＣFB,∴∠BOD＝∠CFＢ，∴CF∥DO(同位角相等,两条直线平行）．10.如图，已知∠A=∠C,∠Ｅ＝∠F,试说明：AD∥BＣ．证明：∵∠E＝∠F,AＥ∥CF，∴∠A=∠ADF，∵∠A＝∠C，5本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∴∠ＡDF=∠C，∴ＡD∥BC.11．已知:如图,EG∥FＨ,∠１＝∠2.求证：∠BEＦ+∠DFE=１８0°．解:∵EG∥HＦ∴∠OEG=∠OＦH，∵∠1=∠2∴∠ＡEＦ＝∠DFＥAB∥CD，∴∠BEＦ＋∠ＤFE＝180°．2.如图,AＢ∥CD，∠Ｂ＝70°,∠ＢCE=20°,∠ＣEF＝13０°，请判断ＡB与ＥF的地址关系,并说明原由.解：AB∥ＥＦ，原由以下：AB∥ＣD，∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等)∵∠B=70°，∴∠BCD=７0°，(等量代换）∵∠BＣE＝2０°,∴∠ＥＣD＝50°，∵ＣEＦ=130°，∴∠Ｅ+∠DＣE=180°,∴ＥＦ∥CD，（同旁内角互补，两直线平行)∴ＡＢ∥EＦ.(平行于同素来线的两条直线互相平行)6本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。13.如图,AD∥BＣ,∠ＤＡC=120°,∠ACF=20°，∠EFC=１40°．求证：ＥＦ∥AＤ．证明：∵ＡＤ∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝1８０°，∵∠DAＣ＝12０°,∴∠ＡＣＢ＝6０°,又∵∠ACF=2０°，∴∠BＣF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°,又∵∠EＦＣ=140°,∴∠BCF+∠ＥＦC=18０°,EF∥BC,AＤ∥BC,EF∥AD．14.完成以下推理过程:已知:如图,∠１+∠2=１80°,∠3=∠B求证:∠EDG+∠DGC=１80°证明:∵∠1+∠2＝１8０°(已知）∠１+∠DＦE=180°(邻补角定义）∴∠2＝∠ＤFＥ（同角的补角相等)∴ＥＦ∥AB（内错角相等,两直线平行)7本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠3=∠B(已知）∴∠Ｂ＝∠AＤE(等量代换）∴DＥ∥BC（同位角相等,两直线平行)∴∠EDG+∠ＤGＣ=180°（两直线平行，同旁内角互补）15.已知：如图,BE∥GF,∠1＝∠3，∠ＤBＣ＝70°,求∠EDB的大小.阅读下面的解答过程，并填空（原由或数学式)解:∵BＥ∥GF(已知)∴∠2=∠3(两直线平行同位角相等）∵∠1=∠3（已知)∴∠1＝(∠２)（等量代换）∴DE∥(BC）（内错角相等两直线平行）∴∠ＥDＢ+∠ＤBC＝1８0°（两直线平行同旁内角互补）∴∠EDB=1８0°﹣∠ＤＢC(等式性质)∵∠DBＣ=（70°)(已知)∴∠ＥDB=180°﹣７０°＝110°1６．如图，已知：E、Ｆ分别是AＢ和CD上的点,DE、ＡF分别交BC于点G、H,ABCD,∠A＝∠D，试说明：（1)AF∥ED;(2）∠BED=∠A;（3）∠1=∠２8本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。（1）证明：∵AB∥CＤ,∴∠A＝∠AFC,∵∠A＝∠D,∴∠AＦC＝∠D,∴ＡF∥EＤ;(2）证明:∵AF∥ED,∴∠BED＝∠A；(3）证明：∵ＡF∥ＥＤ,∴∠1＝∠CGD,又∵∠2＝∠CGＤ,∴∠1=∠2．１７.阅读理解，补全证明过程及推理依据.已知：如图，点E在直线DＦ上,点B在直线ＡＣ上，∠１＝∠２，∠3=∠4．求证∠Ａ=∠F证明：∵∠1＝∠2（已知)∠２=∠DGF(对顶角相等)∴∠1＝∠DGＦ(等量代换)BＤ∥CE（同位角相等,两直线平行)∴∠3+∠Ｃ＝１80°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠3=∠4(已知）∴∠4+∠Ｃ=180°（等量代换)∴ＡC∥ＤＦ（同旁内角互补，两直线平行)∴∠A=∠Ｆ（两直线平行，内错角相等)9本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。１8．如图，∠α和∠β的度数满足方程组,且ＣD∥EF,AC⊥AE．(1)求∠α和∠β的度数．(２)求∠C的度数．解：（1）解方程组，得.(2)∵∠α+∠β=55°+12５°=１80°，AB∥ＣD,∴∠C+∠CAB＝１80°,AC⊥ＡE,∴∠CAE=90°,∴∠C＝180°﹣90°﹣５５°=35°．１9．如图，直线a∥ｂ,∠1＝45°,∠2＝30°,求∠Ｐ的度数.解:过P作PM∥直线a,∵直线a∥ｂ，∴直线ａ∥ｂ∥PM，∵∠1＝4５°，∠2＝30°，∴∠EPM=∠２＝30°，∠FPM=∠1=45°,10本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∴∠EPF=∠EＰＭ+∠FPM=3０°+4５°=７５°,20.如图,AB∥CD，∠A＝60°,∠C=∠E,求∠Ｅ．解:∵ＡB∥CD，∠Ａ=60°，∴∠DOE＝∠A=６0°,又∵∠Ｃ=∠E,∠DOE=∠C+∠E,∴∠E=∠ＤＯE=３０°．21.如图,已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3,∠BAC与∠DＣA相等吗?为什么?解：∠BAC＝∠DCA，原由:∵∠CＦE=∠２,∠2+∠1＝１80°,∴∠CFE＋∠１＝180°,DE∥BC,∴∠AＥD=∠B，∵∠B=∠3,∴∠３＝∠AEF,AB∥CD，∴∠BAＣ＝∠DCA．２2.如图，已知EＦ⊥ＢＣ，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直.（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写原由)．原由：∵∠１=∠C,（已知)GD∥AC，（同位角相等,两直线平行)∴∠2＝∠ＤAC．（两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠3＝1８0°，(已知)∴∠3+∠DAC＝１8０°.(等量代换）∴AＤ∥EF,（同旁内角互补,两直线平行）11本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∴∠ADC＝∠EFC.（两直线平行，同位角相等）∵ＥF⊥ＢＣ,（已知)∴∠ＥFC=90°,∴∠ADＣ＝9０°，∴ＡD⊥BＣ．23.如图1,BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝９0°.1）求证:AB∥DE；(2）如图２,点P从点A出发,沿线段AF运动到点F停止,连接PB，ＰE.则∠ＡBP,∠DEP，∠BＰE三个角之间拥有怎样的数量关系(不考虑点P与点A，D,C重合的情况）?并说明原由．解：（１)如图1,∵BＣ⊥ＡF于点C，∴∠A+∠B=9０°，又∵∠A+∠１=９0°，∴∠B＝∠１，∴ＡＢ∥DE.(2）如图２，当点P在A,D之间时，过P作PG∥ＡＢ，12本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。AB∥DE，∴PＧ∥DE，∴∠ABP＝∠ＧPB，∠DEＰ=∠ＧPE，∴∠ＢPＥ=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DＥP;以下列图，当点P在C,Ｄ之间时,过Ｐ作PＧ∥AB,AB∥DE，∴ＰＧ∥DE,∴∠AＢP=∠GPＢ，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠ＢPG﹣∠EPＧ＝∠ABＰ﹣∠DEＰ;以下列图，当点P在C,Ｆ之间时,过P作PG∥ＡB,AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠ＤEＰ＝∠GPE,∴∠BPE＝∠EＰG﹣∠ＢPG＝∠DＥＰ﹣∠ABP.24.已知：如图，FE∥OC,ＡC和ＢＤ订交于点Ｏ,E是CD上一点，F是OD上一点，且13本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∠1＝∠A．(1)求证：ＡB∥DC；(2）若∠B=30°，∠1＝6５°,求∠OFE的度数.(1）证明:∵FE∥OC，∴∠1＝∠C，∵∠1=∠A，∴∠Ａ=∠C,AB∥DC;(2）解：∵AＢ∥ＤＣ,∴∠D=∠Ｂ,∵∠B＝30°∴∠D=３０°，∵∠ＯFE是△DＥF的外角,∴∠OFE＝∠D+∠１,∵∠1＝６5°,∴∠ＯFＥ=３0°+６5°=95°．2５.（201８秋?牡丹区期末)如图,ＡＢ∥ＤＧ，∠1+∠２=180°，（１）求证:AD∥EＦ；（2)若ＤG是∠ＡDC的均分线,∠2＝1５０°,求∠B的度数．证明:（1)∵AB∥DG,∴∠ＢAD＝∠１，∵∠1+∠2=１80°,14本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。∴∠２+∠ＢAD=180°，AD∥EＦ;(２）∵∠１+∠2=180°,∠2=150°,∴∠1＝3０°，∵ＤG是∠ADC的均分线,∴∠GDC＝∠1＝3０°，AB∥DG,∴∠B＝∠GDC=3０°．6．如图，AＤ⊥BC于点D，EG⊥ＢC于点G，∠E＝∠3.请问:AＤ均分∠BＡC吗?若均分，请说明原由.均分．证明：∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)∴∠ADC＝∠EGC=9０°，(垂直的定义)∴ＡD∥ＥG,（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠３,(两直线平行，内错角相等）∠Ｅ=∠1,（两直线平行，同位角相等)又∵∠Ｅ＝∠３（已知）∴∠1＝∠2(等量代换）∴ＡD均分∠ＢAC(角均分线的定义）．2７．如图,EF∥AB,∠DCＢ=70°，∠CＢF＝20°，∠EＦB＝13０°．(１)问直线CＤ与ＡB有怎样的地址关系？并说明原由；（２）若∠CEF=70°，求∠ACＢ的度数.解：(1）CD和ＡB的关系为平行关系.原由以下:15本卷由系统自动生成，请仔细校订后使用，答案仅供参照。EF∥AB，∠EＦB＝130°，∴∠ABF＝１8０°﹣１３0°=50°，又∵∠CBF=20°,∴∠ＡＢＣ=70°，∵∠ＤCB＝７0°，∴∠DＣB=∠ABC，∴ＣＤ∥ＡB；(2)∵EF∥ＡＢ，CＤ∥AＢ,EF∥ＣＤ,∵∠Ｃ