人教版初中数学《一元二次方程解法之公式法题型汇总》专题突破含答案解析

专题02一元二次方程解法之公式法题型汇总一、单选题1．（2021·吉林四平市·九年级期末）一元二次方程的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】B【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．【详解】∵a=1，b=－3，c=－1∴∴一元二次方程有两个不相等的实数根故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键.2．（2021·江苏九年级期末）方程x2﹣4＝0的根为（）A．x＝2 B．x＝ C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝，x2＝﹣【答案】C【分析】将方程移项直接开平方即可．【详解】解：x2﹣4＝0，，∴x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．【点睛】本题主要考查运用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键．3．（2021·安徽蚌埠·八年级期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣1＝0 B．x2+4x＝4 C．x2+1＝2x D．x2﹣3x＝0【答案】C【分析】根据根的判别式与根的关系逐项排查即可【详解】解：A、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B、Δ＝42﹣4×1×（-4）＝32＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、方程整理得，x2﹣2x+1＝0，Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根，符合题意；D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，即△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根；4．（2021·江苏省盐城中学新洋分校）下列一元二次方程中,没有实数根的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式逐个求解即可．【详解】A､,没有实数根,故A正确;B､,有两个相等的实数根,故B不正确;C､,有两个不相等的实数根,故C不正确;D､,有两个不相等的实数根,故D不正确．故选:A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．5．（2021·招远市教学研究室八年级期末）一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】先化为一般形式，判断一元二次方程的根的情况，只要看方程根的判别式△的值的符号就可以了．【详解】解：，，，，，，△，有两个不相等的实数根．故选：．【点睛】本题考查了根的判别式，总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．6．（2021·北京师大附中八年级期中）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（）A．－1 B．－1或 C． D．1或【答案】B【分析】根据题意，进行分类讨论即可．【详解】解：若，即：时，，∴，解得：或（舍去），若，即：时，，∴，解得：或（舍去），若，即：时，，∴得，不成立，舍去，∴x的值为－1或，故选：B．【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键．7．（2021·东营市东营区实验中学八年级月考）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤4 D．m【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求出m的取值范围.【详解】解：∵一元二次方程有实数解，∴，∴，∴；故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根的判别式正确求出参数的取值范围.8．（2021·江苏南通市·南通田家炳中学九年级其他模拟）若一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0【答案】A【分析】先根据一次函数的性质得到，，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限，∴，，∵，而，∴，即，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．9．（2021·四川德阳市·德阳五中九年级月考）如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m+1）x+m2﹣4＝0的两根，则m为（）A．﹣4 B．2 C．2或﹣4 D．﹣2或4【答案】A【分析】由题意设OA＝α，OB＝β，根据根与系数的关系得到α+β＝﹣（2m﹣1）＞0，αβ＝m2﹣4，利用判别式的意义得到m≤，再根据菱形的性质和勾股定理得到α2+β2＝52，则[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m﹣16＝0，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】解：设OA＝α，OB＝β，则α+β＝﹣（2m+1）＞0，即,αβ＝m2﹣4，Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣4）≥0，解得m≥﹣，∴m的范围为m≥﹣，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中：OA2+OB2＝AB2，即α2+β2＝52，∴（α+β）2﹣2αβ＝25，∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m﹣16＝0，（m+4）（m﹣2）＝0，解得m1＝﹣4，m2＝2(舍去)，∴m的值为﹣4.故选：A．【点睛】本题考查二次方程根的判别式和菱形的性质以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．10．（2021·福建厦门市·厦门一中九年级三模）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．11．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学九年级开学考试）若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（）A．25 B．13 C．22 D．17【答案】D【分析】先根据不等式组的解集的情况求得的范围，再根据一元二次方程的定义以及根与系数的关系确定的范围，最后求符合条件的所有整数a的和．【详解】解不等式①得：，解不等式②得：，不等式有且只有五个整数解，，，解得，关于y的方程有两个实数根，且，解得且，且，为整数，，其和为，故选D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．12．（2021·浙江）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个很，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，故①正确；②方程有两个不相等的实根，，，则方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，故②正确；③是方程的一个根，则，，若，等式仍然成立，但不一定成立，故③不正确；④若是一元二次方程的根，则由求根公式可得：，，，，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，灵活运用根的判别式是解题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．（2021·广东）已知一元二次方程x2﹣4x＋c＝0无实数根，则c的取值范围是_____．【答案】c＞4【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+c=0无实数根，∴（-4）2-4c＜0，解得，c＞4，故答案为：c＞4．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握当△＜0时，方程没有实数根是解题的关键．14．（2021·贵州铜仁市·）在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=b，且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，则∠A的度数是_________．【答案】30º【分析】由根的判别式求出AB=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由含30º直角三角形性质，即可得出结论．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16﹣4b=0，∴AB=b=4，∵BC=2，AC=2，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，∵AB=4，BC=2；∴∠A=30º故答案为：∠A=30º【点睛】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，含30º直角三角形性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．15．（2021·广东九年级专题练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．【答案】【分析】利用判别式的意义得到△=k2−4×1×1=0，然后解关于k的方程即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，a=1，b=k，c=1，∴△=b2-4ac=k2-4×1×1=0，

解得：k=±2．故答案为：±2．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．16．（2020·湖北武汉·华师一附中初中部九年级期中）方程（a2﹣1）x2﹣2（5a＋1）x＋24＝0有两个不等负整数根，则整数a的值是_____．【答案】-2【分析】先求出，再求出原方程的两根，，最后根据方程（a2﹣1）x2﹣2（5a＋1）x＋24＝0有两个不等负整数根，即可求解．【详解】解：∵，∴原方程的两根为，∴，，∵方程（a2﹣1）x2﹣2（5a＋1）x＋24＝0有两个不等负整数根，∴且，即，且，且由，得：或；且由，得：，综上所述，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式和利用求根公式解方程，熟练掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．17．（2021·上海上外附中八年级期末）关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是___．【答案】【分析】由①得出x=m+y③，把③代入②得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可．【详解】解：，由①，得③，把③代入②，得，整理得：，关于、的方程组有实数解，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．18．（2021·江苏九年级一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为_________．【答案】【分析】由，可得S2为大正方形面积的，设AB为x，表示出空白部分的面积S2，即x2×4＝m2，则x=m，再在Rt△ABC中使用勾股定理得到关于m，n的方程，可求得的值．【详解】解：∵，大正方形面积为m2，∴S2＝m2，设图2中AB=x，依题意则有：4•S△ADC＝m2，即4××x2＝m2，解得：x1=m，x2＝−m（负值舍去）．在Rt△ABC中，AB2＋CB2＝AC2，∴(m)2＋(m＋n)2＝m2，解得：n1=，n2＝−(负值舍去)，∴，故答案是：．【点睛】本题考查了勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2，利用勾股定理建立方程，是解题的关键．19．（2021·江西）点是直线上一点，过点作垂直于轴于点，作垂直于轴于点，、与坐标轴围成的矩形面积等于4，则点的坐标是______．【答案】或或【分析】点P在直线上，设P点坐标为(a，-a+4)，则可得PA=|-a+4|，PB=|a|，由题意PA∙PB=4，则可得关于a的方程，解方程即可求得a，从而可求得点P的坐标．【详解】∵点P在直线上∴设P点坐标为(a，-a+4)则PA=|-a+4|，PB=|a|由题意：PA∙PB=4即|-a+4|×|a|=4∴∴即，解前一方程得：；解后一方程得：，当时，，点P的坐标为(2，2)；当时，，点P的坐标为；当时，，点P的坐标为所以点P的坐标为或或故答案为：或或【点睛】本题考查了一次函数的图象上点的特征、点到两坐标轴的距离、图形的面积、一元二次方程的解法等知识，要注意的是：点到x轴的距离等于这点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于这点的横坐标的绝对值，含绝对值的方程可转化为两个整式方程而不是一个方程．20．（2020·浙江杭州·）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则四边形的周长是_________．【答案】12【分析】根据题意可以求得a+b的值，再根据勾股定理可以求得c的值，从而可以求得四边形ACDE的周长．【详解】解：∵x=-1是“勾系一元二次方程”的一个根，∴，∴，∵S△ABC=2，a2+b2=c2，∴=2，得ab=4，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=c2+2ab=c2+8，（a+b）2=，∴c2+8=2c2，解得，c=或（舍去），∵四边形ACDE的周长是：a+b+a+b+c=2c+c=c=12，故答案为：12．【点睛】本题考查一元二次方程的解、三角形的面积、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题21．（2019·信丰县第七中学九年级月考）解方程：；．【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）x1=4，x2=-1．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【详解】解：（1），∴（x-1）2=2，∴x-1=±，∴x1=1+，x2=1-；（2）∵a=1，b=-3，c=-4，

∴=（-3）2-4×1×（-4）=25，

则x=，

∴x1=4，x2=-1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．（2020·河北九年级专题练习）已知多项式．（1）化简多项式时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请写出正确的解答过程．（2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式的值．”小明给出值为4，请你求出此时的值．小明的作业解：【答案】（1）①，见解析；（2）此时的值为10或．【分析】（1）根据整式的乘法、加减法即可得；（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x的值，再代入（1）中的化简结果即可得．【详解】（1）出现错误的是①，正确的解答过程如下：；（2）或或方法一：当时，当时，方法二：当时，当时，综上，此时的值为10或．【点睛】本题考查了整式的乘法、加减法、解一元二次方程等知识点，掌握各运算法则和方程解法是解题关键．23．（2020·河北九年级一模）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣2；（2）方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．【分析】（1）根据已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【详解】解：（1）∵x☆4＝20，∴4x2+4＝20，即4x2＝16，解得：x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．【点睛】本题是和一元二次方程有关的新定义题型，涉及了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解题中新定义是解题的关键.24．（2020·山东）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．【答案】．【分析】根据判别式即可求出的取值范围．【详解】∵，，，方程有两个实数根，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了根的判别式的应用，解题的关键是熟记根的判别式．25．（2021·北京八年级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m＋3）x＋m＋2＝0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小整数值．【答案】（1）见解析；（2）-1【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x=1和x=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【详解】解：（1）证明：依题意，得△=[-（m+3）]2-4（m+2）=m2+6m+9-4m-8=（m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥-1．∴m的最小值为-1．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．26．（2021·江苏苏州·）已知：关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．【答案】（1）见解析；（2）m=2或m=3【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【详解】解：（1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0，∴x=，∴，，∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1，∴是正整数，∴m=2或m=3．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．27．（2021·浙江）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．【详解】解：（1）当，，时勾系一元二次方程为；（2）证明：根据题意，得△即△，勾系一元二次方程必有实数根；（3）当时，有，即，，即，，，，，，，．【点睛】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．28．（2021·浙江八年级期中）已知：关于x的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，①当k为何值时？是等腰三角形；②当k为何值时？是以为斜边的直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）①3或4；②2或-5【分析】（1）先计算出Δ，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）①先利用公式法求出方程的解为x1=k+1，x2=k+2，然后分类讨论：k+1=5，k+2=5，然后求出k的值；②利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：（1），∵=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）①，∴，解得：x=k+1或x=k+2，即△ABC的三边为5，k+1和k+2，当k+1=5，则k=4，当k+2=5，则k=3，∴当k为3或4时，是等腰三角形；②∵是以为斜边的直角三角形，∴，∴，解得：k=2或k=-5．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞