【教学课件】环节四 正切函数的性质与图象

三角函数的图象与性质环节四正切函数的性质与图象确定研究思路问题1

前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数．（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？答案：可以有两种思路．思路1：按照正、余弦函数图象与性质的研究思路，先通过描点或者图象变换得到图象，然后观察图象获得性质，最后用代数方法证明．思路2：先从数的角度出发，利用函数定义或者解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．确定研究思路追问有了前面的知识准备，我们选择思路2研究正切函数性质．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？答案：先研究周期性、奇偶性．新知探究1．探究性质—周期性和奇偶性问题2

类比正弦函数周期的得出方法，判断正切函数是周期函数吗？若是，请写出正切函数的所有周期．它有最小正周期吗？答案：由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z．根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且kπ(k≠0)都是它的周期，其中最小正周期为π．新知探究1．探究性质—周期性和奇偶性问题3

你能用代数方法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．答案：由诱导公式tan(－x)＝－tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z．可知：正切函数是奇函数．新知探究1．探究性质—周期性和奇偶性问题4你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期．类比正弦函数性质的研究，选择区间(

，

)的图象与性质进行研究．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，即只需研究区间[0，

)内的图象与性质即可．因此接下来的研究方案是：先研究函数y＝tanx，x∈[0，

)的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．新知探究2．绘制图象—正切函数的图象问题5类比函数y＝sinx，x∈[0，2π]图象的绘制过程，如何画出函数y＝tanx，x∈[0，

)的图象呢？追问1画一个新函数图象的基本方法是描点法，函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法绘制的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．答案：如图所示，设x∈[0，

)，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则tanx＝

＝

．①新知探究2．绘制图象—正切函数的图象追问2①式虽然解释清楚了正切函数的几何意义，但利用①式显然不方便描点．要完成描点任务，对比正弦函数与正切函数的几何意义，你认为前者为什么方便描点？据此，在①式的基础上，如何优化正切函数的几何意义？答案：正弦函数的几何意义是角的终边与单位圆交点的纵坐标，只是一条线段，通过平移此线段很容易描出一个点的纵坐标，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此不利于描点．据此，应该在①式的基础上，设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到：新知探究2．绘制图象—正切函数的图象如图，过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tanx＝

＝

＝

＝AT．②由②式可知，当x∈[0，

)时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tanx，x∈[0，

)的图象．新知探究2．绘制图象—正切函数的图象追问3请你利用②式，通过描点画出函数y＝tanx，x∈[0，

)的图象．并观察图象有哪些特征？答案：如图所示，可以画出函数y＝tanx，x∈[0，

)的图象．观察图象可知：当x∈[0，)时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于

时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tanx，x∈[0，)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x=

，但不会与该直线相交．新知探究问题6

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗?正切函数的图象有怎样的特征？2．绘制图象—正切函数的图象答案：如图，第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tanx，x∈[0，

)图象关于原点的对称图形，就可得到y＝tanx，x∈(－

，0]的图象；第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y＝tanx，x∈(－

，

)图象向左、右平移，每次平移π个单位，新知探究2．绘制图象—正切函数的图象我们把它叫做正切曲线(tangentcurve)．y＝tanx，x∈R，且x≠

＋kπ，k∈Z的图象，观察图象，可以看出：正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝

＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．新知探究问题7

从函数图象与性质研究的基本内容看，还需要研究正切函数的什么性质？观察正切曲线，你能得到哪些结论？3．探究性质—单调性和值域答案：还需要研究正切函数的单调性与值域．（1）单调性观察正切曲线可知，正切函数在(－

，

）上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间(－

＋kπ，

＋kπ），k∈Z上都单调递增．新知探究3．探究性质—单调性和值域（2）值域当x∈(－

，

）时，tanx在(－∞，+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R．新知探究4．性质应用追问

类比正、余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？例1求函数

的定义域、周期及单调区间．答案：通过换元转化为函数y＝tanx的性质问题求解．解：自变量x的取值应满足

x＋

≠kπ＋

，k∈Z，即x≠2k+

，k∈Z．所以，函数的定义域是{x|x≠2k+

，k∈Z}．新知探究4．性质应用设z=

，由tan(z＋π)=tanz，得：tan[(

x+

)+π]=tan(

x+

)，即tan[

(x+2)+

]=tan(

x+

)．因为对任意x∈{x|x≠2k+

，k∈Z}都有tan[

(x+2)+]=tan(

x+

)，所以，函数的周期为2．由－

＋kπ＜

x＋

＜

＋kπ，k∈Z，解得：－

＋2k＜x＜

＋2k，k∈Z．所以，函数在区间(－

＋2k，＋2k)，k∈Z上单调递增．归纳小结问题8

（1）本节课获得了正切函数图象与性质的哪些基本知识？它是按照怎样的研究路径进行的？（2）研究函数的图象与性质问题中，获得了哪些经验？（3）在解决形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b或y=Atan(ωx+φ)+b的性质问题中，都采用什么方法将问题化归为三角函数的性质问题？（4）你能否在前三节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？归纳小结答案：（1）知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．会画正切函数的图象．正切函数图象无限逼近直线x＝

＋kπ，k∈Z．正切函数图象与性质的研究路径：性质—图象—性质．（2）研究函数的思路有两种：一是根据定义画函数图象，再结合图象研究性质；二是根据定义推导性质，再由性质画图象．在具体实践中，往