2023届高三数学一轮复习专题 空间几何体的三视图 讲义 （解析版）

第Page\*MergeFormat8页共NUMPAGES\*MergeFormat8页高三数学第一轮复习专题：三视图专题一、三视图定义：1．正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。2．侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。3．俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。三视图的投影方向可简称为：“前后、左右、上下”。二、三视图相关的几个题型：1.由直观图看出三视图的形状。例1．画出正四棱锥的三视图。在该题中，同学们一般来说会把正四棱锥的正视图看成是，或者是，这些都是错误的，必须找出正确的正视图与侧视图。这里必须总结出“由空间几何体的直观图看出其三视图”的规律，这样才能举一反三，迅速正确地找出几何体的三视图。注意：正四棱锥的正视图不是，也不是，而是，即经过高的横截面。侧视图也是如此。正视图是往高所在的横截面压扁，即压缩成。★★★规律总结：由直观图看出三视图总体印象：把几何体压扁的感觉。正视图是往高所在的横截面压扁，侧视图是往高所在的纵截面压扁，俯视图是往由横线和纵线相交所成的平面压扁。高所在的横截面：高与横线相交所成的平面。例如，在本题中，高线是SO，取AD的中点E，BC的中点F，则EF为与高SO相交的横线，这样，高SO与横线EF相交形成了高所在的横截面，则即为正视图。高所在的纵截面：高与纵线相交所成的平面。例如，在本题中，高线是SO，取DC的中点G，AB的中点H，则GH为与高SO相交的纵线，这样，高SO与纵线GH相交形成了高所在的纵截面，则即为侧视图。2.由棱锥的三视图及标出的量，求棱锥的体积或表面积。这类题是考试最多的类型，是对学生的空间想象能力和画图能力的一个很大的考验，很多同学都是因为不能由棱锥的三视图还原出其原图形（即直观图），从而算错的。这类题是有规律可循的，其规律如下：★★★（1）有底座的棱锥：对于简单的棱锥（即有底座的棱锥），由三视图看出或画出直观图时，①先看与先画出俯视图的直观图，画俯视图的直观图时要先画出横线与纵线，其它线连接起来即可；因为有底座棱锥的特点是“上面尖，下面宽”，故先画出俯视图的直观图；②下面找出棱锥的高线，只要注意正视图与侧视图直角的位置，直角的位置即是高的位置，正视图分左右，侧视图分里外；三棱锥的俯视图画好后，下面只要找到高的位置，其他线一连接就可以画出整个棱锥的直观图了，即找到高的位置十分重要。③画出直观图后，要标出字母，并标出量，然后由画出的棱锥直观图再看出其三视图，即验证一下是否画的正确，验证时要注意点的正投影的位置。验证正确之后，再利用标出的量求棱锥的体积和表面积。例1．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，画出该几何体的直观图并标出尺寸。例2.某三棱锥的三视图如图1－4所示，画出该几何体的直观图并标出尺寸。分析：在本题中，在画出直观图后，如果不能正确地再由直观图看出三视图进行验证，就很容易把BD标成4，这样就会标错，在以后求体积或表面积时都会出错。在本题中，其侧视图为，而不是，故应把CB标成4。例3。（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,画出该几何体的直观图并标出尺寸。 分析：在本题中，在画出直观图后，如果不能正确地再由直观图看出三视图进行验证，就很容易把BA标成1，这样就会标错，在以后求体积或表面积时都会出错。在本题中，其侧视图为，而不是，故应把BC标成1。例4.某三棱锥的三视图如图13所示，画出该几何体的直观图并标出尺寸。分析：在本题中，在画出直观图后，如果不能正确地再由直观图看出三视图进行验证，就很容易把AB标成1，这样就会标错，在以后求体积或表面积时都会出错。在本题中，其侧视图为，而不是，故应把DB标成1。例5．画出如图所示的三视图的直观图。例6．已知某个几何体三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，画出该几何体的直观图并标出尺寸。例7．四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，画出该几何体的直观图并标出尺寸。例8．一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，三视图及尺寸如图，画出该几何体的直观图并标出尺寸。★★★★（2）无底座的棱锥（即悬空状态的棱锥问题）：例1.【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（B）（C）（D）【答案】Ｂ【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为，且,,,，故最长的棱长为6，选B．★★★规律总结：对于悬空的棱锥问题（即无底座的棱锥），最好借助于正方体或长方体进行研究，即先画出一个正方体或长方体，然后根据三视图的形状把棱锥置于正方体或长方体中，找出关键点的位置，通过由三视图画出直观图，再由直观图看出三视图的双向过程，反复比较，直到三视图与直观图符合为止，然后标出字母，并标出量，以求棱锥的表面积和体积。例2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）A.B.C.D.例3.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大面的面积是___________。例4.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为__________。3.由组合体的三视图及标出的量，求组合体的表面积和体积。例.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为（）A．B．C．D．分析：本题中的组合体可以很容易看出来，上面是一个正四棱锥，下面是一个长方体，这种组合体的问题一般可用空间想象能力想出组合体的形状，不必画出直观图，可以直接求出组合体的体积或表面积。★★规律总结：对于组合体，一般用空间想象能力想出组合体的形状，不必画出直观图，直接求出体积或表面积，这要求对空间几何体的表面积和体积公式十分熟悉。4.由空间几何体截去一部分得到的几何体的三视图，求剩余几何体的体积或表面积（此时要画出直观图）。例1、已知一个正方体截取的两个全等的小正三棱锥后得到的几何体的主视图和俯视图如图，则该几何体的左视图为（）分析：这种类型的题一般要画出直观图，先画出整个正方体的直观图，然后根据三视图中的实线与虚线的位置画出要截取的部分，求剩余部分的体积或表面积即可。★★★规律总结：对于由空间几何体截去一部分所得到的几何体的三视图，一般要画出直观图，应先画出整个空间几何体的直观图，然后根据三视图中的实线与虚线的位置画出要截取的部分，求