【知识点解析】正余弦定理的综合应用

正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用题型一：正余弦定理的实际应用测量距离高度角度不能到达正余弦定理正余弦定理的综合应用知识梳理仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．（如图①）．视线水平线仰角俯角视线铅垂线①北西东南Bα②方位角和方向角（1）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．正余弦定理的综合应用例已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？参考数据：sin38°≈

，sin22°≈由题目所给方位角画出图形，在△ABC中，AB、AC及夹角已知，用余弦定理求出BC，再根据正弦定理可求得sin∠ABC，得∠ABC＝∠BAD，所以BC∥AD，确定缉私船的方向．详解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°−38°−22°＝120°．北东ACBD由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2−2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14．正余弦定理的综合应用故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．又由正弦定理得所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，例已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？参考数据：sin38°≈

，sin22°≈东ABD北C正余弦定理的综合应用总结明确方位角或方向角的含义．分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．注意事项解决测量角度问题（1）（2）（3）正余弦定理的综合应用例△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，且sinA＝3sinC．AC的中点为D，则BD＝________．（1）利用正弦定理角化边，求出a；（2）利用余弦定理可得到b，再得出cosA后在△ABD中用余弦定理求BD．详解sinA＝3sinC．由余弦定理得，b2＝62＋22–2×2×6×cos60°＝28，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6．∴b＝．∴正余弦定理的综合应用例△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若B＝，c＝2，且sinA＝3sinC．AC的中点为D，则BD＝________．∵D是AC的中点，∴BD＝．∴BD2＝AB2＋AD2–2AB·ADcosA∴AD＝．＝22＋（）2–2×2××＝13．本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用难度中等．正余弦定理的综合应用例如图，在平面四边形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面积；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD详解（1）在△ABC中，由余弦定理得，（1）在△ABC中，用余弦定理求出BC，再用S△ABC＝

AB·BC·sin∠ABC求面积；AC2＝AB2＋BC2−2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋

BC，解得

或

（舍去）正余弦定理的综合应用例如图，在平面四边形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面积；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD所以△ABC的面积（1）在△ABC中，用余弦定理求出BC，再用S△ABC＝

AB·BC·sin∠ABC求面积；正余弦定理的综合应用例如图，在平面四边形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面积；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD详解（2）设∠CAD＝θ，在△ACD中，（2）设∠CAD＝θ，在△ACD中，利用正弦定理，得出AC与sinθ的关系，在△ABC中再利用正弦定理，得出AC与sinθ的关系，整理即可求得结果．由正弦定理得，即所以正余弦定理的综合应用例如图，在平面四边形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面积；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD在△ABC中，则

即

即整理得sinθ＝2cosθ．联立sin2

θ＋cos2

θ＝1，解得

，即正余弦定理的综合应用例如图，在平面四边形ABDC中，

（1）若