专题33 参变分离解决导数必刷100题(解析版)

专题33参变分离解决导数必刷100题一、单选题1．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（）.A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，定义域为，因为恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则恒成立，即在定义域上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，，所以，即.故选：A.2．已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先参变分离得，再设函数，求导数，再设，再求导数，通过函数恒正，判断函数的单调性，并判断的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得的最大值.【详解】依题意，，令，则．令，，∴时，，即单调递增，∵，，设并记其零点为，故．且，所以当时，，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C3．已知函数为增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数为增函数，可得，化为，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.【详解】∵函数为增函数，∴，化为，令，则，当时，，当时，，可得时，函数取得极大值即最大值，，∴.∴a的取值范围是.故选：A.4．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为，.因此，实数的取值范围是.故选：D.5．若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过分离参数变成，构造函数，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出的取值范围.【详解】故则设，故在上为减函数，.故时；时.故在上为增函数，在上为减函数.，且时；时与的图象要有两个交点则的取值范围为.故选：B6．已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意将函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点转化为有两解，令新的函数，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得的取值范围.【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为.故选：A.7．已知函数函数存在零点，则实数的取值范围（）A． B．C． D．【答案】B【分析】函数存在零点，即方程有解，当时，，求得函数的值域，即为实数的取值范围，当时，，求得函数的值域，即为实数的取值范围，最后取并集即为所求.【详解】解：令，即，当时，，即，因为，所以，则；当时，，即，令，则，所以在递增，在递减，所以，，当时，，且，所以，即，综上所述：.故选：B.8．已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，参变分离，构造函数，求出的最小值即可.【详解】因为，所以，因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，令，则，当时，所以在上单调递增，又因为，且，所以，故选：D.9．已知函数在上有两个零点，则实数a的最大值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由得，，令，作出其在上的简图，数形结合可得结果.【详解】由得，即，.令，，则，令，，则，所以在上单调递增，又，则当时，，即；当时，，即；所以，又，，且，作出，的简图，由图可知，要使的图象与的图象有两个不同的交点，则，所以，当函数在上有两个零点时，实数的最大值为.故选：A.10．已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x−lnx存在与直线x＋y−1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（）A． B．C．[−1，＋∞) D．(−∞，−1]【答案】A【分析】根据题意，曲线存在与直线垂直的切线，转化为有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．【详解】解：令，由题意，斜率是，则与直线垂直的切线的斜率是1，有解函数的定义域为，有正根，，有正根有正根，．故选：A．11．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得在上能成立，利用参变分离法进行转化，进而构造函数，求出函数的最大值即可.【详解】由题意可得在上能成立，所以在上能成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，且，即，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选：B.12．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，得，令，问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.利用导数研究的单调性与极值，作出的图象，数形结合可得结果.【详解】令，显然，所以，令（），则问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.，令，解得，当或时，，在，单调递增，当时，，在单调递减，在处取极小值，作出的简图，由图可知，要使直线与曲线有三个交点，则，故实数的取值范围是.故选：C.13．设，在上有3个根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由方程分离参数并换元成，利用函数的图象与直线有三个公共点即可得解.【详解】由得，而，令，于是得，令，当时，，即在上单调递减，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，时，取得极大值，作出函数在上的图象及直线，如图，方程在上有3个根，当且仅当函数的图象与直线有三个公共点，观察图象知，函数的图象与直线有三个公共点，当且仅当，即，所以实数的取值范围是.故选：A14．已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由不等式，参变分离为，转化为求函数，的最小值，利用导数求函数的最小值.【详解】，即.由于对任意恒成立，所以，即.令，，.令，，所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.所以.又，所以.故选：B.15．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，当时，通过分离参数得，换元，令，则，则，构造函数并通过导数研究函数的单调性和最值，从而得出；同理当时，得出；当时，可知恒成立；综合三种情况即可求出实数的取值范围.【详解】解：由题可知，时，不等式恒成立，当时，得，令，则，，令，，则，显然在上，，所以单调递减，，因此；当时，得，令，则，，令，，则，显然在上，，所以单调递减，，因此；由以上两种情况得：.显然当时，得恒成立，综上得：实数的取值范围为.故选：C.16．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将参数分离到不等式的一边，将不等式的另一边视为函数，然后利用导数研究函数的单调性，从而得到函数的最值，最后求解实数的取值范围．【详解】由对任意，不等式恒成立，得对任意恒成立，即对任意恒成立．因为，所以．令，则，显然当时，，单调递减；当时，单调递增．所以，故，解得．或：令，则由知，不等式可化为，故当时，恒成立，即当时，恒成立．令，则，显然当时，单调递增；当时，单调递减．所以，故，解得．故选：C.17．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，由题意可得恒成立，即为，设，即，分，，三种情况，分别求得范围，可得实数的取值范围.【详解】由函数得，由题意可得恒成立，即为，设，即，当时，不等式显然成立；当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，综上可得实数的取值范围是，故选：A.18．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，进行参变分离得，设，将问题等价于y=a与在有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.【详解】令，即，解得，设，所以在有两个零点等价于y=a与在有两个交点.因为，得，所以在(0，e)上单调递增，在上单调递减，所以.如图所示，画出的大致图象。结合图象可知，当时，y=a与在有两个交点，即此时在有两个零点.故选：D.19．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用参变量分离法可将问题转化为在上有两解，进而可将问题转化为函数与在上有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围.【详解】由已知可得在上有两解，令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，，令，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，实数k的取值范围为.故选：B20．函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分离参数后将函数零点个数转化为两个函数图像的交点个数.【详解】函数定义域为，由得设令得，时，单调递增；时，，单调递减；时，取极大值.，要使函数有两个零点即方程右有两个不同的根，即函数与有两个不同交点.即故选:B.21．已知对任意正数恒成立，则实数的最大值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】分离参数后转化为求函数的最小值.【详解】由对任意正数恒成立，得，令，则，由得，当时，；当时，.所以，即（当且仅当时，取等号.）所以，当时等号成立，所以，所以的最大值为2.故选：C．22．已知是自然对数的底数，当时，若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】当时，关于的不等式的解集非空，等价于的解集非空，即存在解，只需，构造函数，，求出最大值即可.【详解】当时，关于的不等式的解集非空，等价于的解集非空，即存在解，只需.令，，求导得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.所以，所以.故选：C.23．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得，可求得，从而可得，则对任意的，不等式恒成立，分，，三种情况通过分离变量转化为最值问题分别求得的范围，最后取交集得的范围，进而可得的最大值.【详解】由，得，因为函数的图象在处的切线与直线垂直，所以，则，所以，对，即,①当时，显然.②当时，恒成立.令，则.时，恒成立.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在内的最小值为，故.③当时，恒成立.当时，显然，由②知，因为，所以由得.令，显然在单调递增，又，，所以存在使得，即.当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，所以在内的最大值为，故.综合①②③可知，故实数的最大值为3.故选：C24．已知函数，若当时，有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，可将简化，利用参变分离来求解.【详解】有解，即，设，则，不等式转化成在时有解，则有解，记，则，再令，则，那么在时递增，所以，于是，在时递增，故，记，，于是有解，只需要.故选：C25．已知不等式对恒成立，则取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.【详解】不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.则时，，单调递减，时，，单调递增.所以根据，所以，所以.故选：A.第II卷（非选择题）二、填空题26．已知函数，，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】首先不等式转化为恒成立，利用导数求，即可求得结果.【详解】由条件可知，恒成立，即恒成立，即，设，，设，，单调递减，令，设，即，解得：，即，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，即时，函数取得最大值，所以.故答案为：27．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.【详解】解：令则，令，则由知，在上单调递减，在上单调递增且，，.，，，作出函数的图像，如下图所示：所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.故答案为：.28．已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围__________．【答案】【详解】试题分析：由题设函数在上有两个零点可得方程在区间内有两根.即在区间内有两根,也即直线与函数的图象有两个交点.因,故当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,其最小值为,而,且,故当时,直线与函数的图象有两个交点.应填.29．已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为________.【答案】【分析】由函数解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值.【详解】函数，，且不等式有解，所以，即有解，只需，令，，则，设则，即在内单调递增，而，，所以存在使得，而当时单调递减，当时单调递增，所以在处取得极小值，即为最小值.此时，，设，恒成立，单调递增，，即，又因为，即而，所以整数的最小值为.故答案为：.30．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________．【答案】【分析】原不等式可化为，当时，该不等式恒成立，当时，不等式可化为，从而构造函数，求导并判断单调性，可求出，令即可.【详解】由题意，不等式可化为，当时，恒成立；当时，不等式可化为，令，，则，求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则，综上所述，实数a的取值范围是.故答案为：.31．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】首先由，，求的取值范围，再利用参变分离变形为恒成立，转化为构造函数，利用导数求函数的最小值，即可求得实数的取值范围.【详解】解：依题意，知，即对任意恒成立，从而，因此由原不等式，得恒成立．令，则．令，得．当时，．函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是．故答案为：32．已知函数，，，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的最大值为______．【答案】【分析】利用导数研究函数的单调性，将当时，恒成立转化为恒成立，构造函数，进而可得则在上单调递增，可得在上恒成立，再通过参变分离把恒成立问题转化为求最值问题即可.【详解】因为，所以，且，所以，故在上单调递增，因为，所以，当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，则在上单调递增，所以在上恒成立，而，所以在上恒成立，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故实数的最大值为.33．定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为______________．【答案】【分析】利用导数求出的最小值，进而存在实数x使不等式对任意恒成立等价于不等式对任意恒成立，然后分类参变分离即可求出结果.【详解】因为存在实数x使不等式对任意恒成立，所以，而，则，令，则，所以在上单调递增，且，所以时，，即，故单调递减；时，，即，故单调递增；所以在处取得极小值也是最小值，故，因为不等式对任意恒成立，时，不等式恒成立；时，不等式等价于；令，则，故在上单调递增，故，所以，因此实数a的取值范围为.故答案为：.34．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】参变分离，可得，设，求导分析单调性，可得，即得解【详解】因为，所以不等式可化为，设，则，设，由于故在上单调递增，且，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，则，即.故答案为：35．已知函数，对一切，恒成立，则的取值范围是________.【答案】【分析】根据题意，通过分离参数法得出在上恒成立，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出，进而求得的取值范围.【详解】解：由题可知，，即，得在上恒成立，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴，∴，即的取值范围是.故答案为：.36．已知函数f(x)＝x2－2lnx，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是________.【答案】(－∞，e2－2]【分析】有解问题通过参变分离，求函数最值即可.【详解】由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，，当x∈[1，e]时，，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.故答案为：(－∞，e2－2]37．已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围______.【答案】【分析】利用分离参数法和构造新函数研究函数，利用单调性求得零点，设，再利用函数单调性和零点求得a的取值范围.【详解】因为，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可，则，再令，则，所以在上单调递增，因为，，所以有唯一的零点，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，即，设，则，所以函数在上单调递增，因为，所以，即，，所以，则有，所以实数的取值范围为.故答案为：.38．若存在使得当时，函数的图象始终在轴下方，则实数的取值范围是_______________.【答案】【分析】先将看作自变量求出的最小值为，进而参变分离得到，令，求出的最大值即可求出结果.【详解】由题意可得，设，因为，所以在上单调递增，由题意可知即可，故，设，则，令，则或，所以和时，，故单调递增，时，，故单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值，所以时，，，，，故在上的最大值为，所以，即，因此实数的取值范围是，故答案为：.39．当时，恒成立，则的取值范围为____________.【答案】【分析】先分离参数，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，分两种情况讨论，再用极限思想结合洛必达法则求出答案即可，注意最后取交集.【详解】解：当时，恒成立，则，当，即时，，对任意a都成立，当，即时，则，设，，则，设，，则恒成立，在上单调递增，，，在上单调递增，，根据洛必达法则可得，，综上所述的取值范围为，.故答案为：，.40．关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．【答案】/【分析】根据题意，构造函数，通过讨论的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件即可求解.【详解】①当时，原不等式不成立；②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.又因，且恰有一个整数解，所以，即.综上，.故答案为：.41．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围___________.【答案】【分析】先求得函数为定义域上的偶函数，且在为递减函数，把不等式的恒成立，转化为，进而得到且在上恒成立，分别设函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为定义域上的偶函数，所以，即不等式可化为，当时，函数根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，由，可得，整理得且，即且在上恒成立，设，可得，其中，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.设，可得，当时，，所以，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.42．已知函数（）.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.【详解】由得,设，则存在，使得成立，即成立.所以成立，所以成立，又令，，所以时，单调递增，当时，有最小值，所以实数a的取值范围是，故答案为：.43．已知函数，.若，不等式恒成立，则的取值范围是______.【答案】【分析】由题意知，，不等式恒成立等价于对任意恒成立，经过变形可得只需满足对任意恒成立即可，构造函数，，则对任意恒成立等价于对任意恒成立，对函数进行求导，利用导数判断其单调性，从而得到关于与的不等式，利用分离参数法得到，通过构造函数，利用导数判断其单调性并求其最值即可求解.【详解】因为，不等式恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，，则，所以，即，因为，，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以由可得，，即，因为，所以，所以可得，令，则，令可得，，当时，有；当时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数有最小值为，所以，即，因为，所以的取值范围为.故答案为：44．若对，不等式恒成立，则实数的最大值为______.【答案】【分析】令，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在性定理可知存在使，可得，，代入，得关于的不等式，再通过构造函数，利用函数的单调性求得的取值范围，再由，求的最大值.【详解】令，所有，有意义，所以，所以在单调递增，因为当时，，且，所以使得，并且当时，，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，所以，且所以，，所以，，所以，考虑函数，其中，根据复合函数单调性可知在上单调递减，因为，所以解，得到，所以，因为在上单调递增，所以的最大值为.故答案为：45．当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是__．【答案】【分析】由题意可得对恒成立，讨论，，，运用参数分离和构造函数，利用导数判断单调性，求最值，可得所求范围．【详解】解：当时，不等式恒成立，即为对恒成立，①当即时，恒成立；②当，即时，恒成立，等价为，设，，可得时，，递增；时，，递减，可得在处取得最大值，且为，则；③当，即时，恒成立，等价为，设，，可得时，，递减，可得，则，综上可得，k的范围是．46．已知函数，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数b的取值范围为__________．【答案】【分析】因为的图象与的图象无公共点等价于或恒成立，利用参变分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数求最值即可求解.【详解】解：因为的图象与的图象无公共点等价于或恒成立，即或恒成立，即或恒成立，设，则，当时，，时，，所以当时，函数取得极小值同时也是最小值，设，易知在上为减函数，则的最大值为，故的最小值，①若，则；②若恒成立，则不成立，综上，．故答案为：．47．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.【答案】【分析】根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.【详解】解：已知对于定义域内的任意恒成立，即对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，，，当时取等号，由可知，，当时取等号，，当有解时，令，则，在上单调递增，又，，使得，，则，所以的取值范围为.故答案为：.48．已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.【答案】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为，然后求出函数的最大值，即解出．【详解】可变为，再变形可得，，设，原不等式等价于，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，，当时，，所以由可得，，因为，所以．设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．当时，不等式在恒成立；当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．故答案为：．49．若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.【答案】【分析】对分类讨论，当时，不等式显然恒成立.当时，对不等式进行变形为，然后构造函数，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数，即可求出的范围，进而求出的最大值.【详解】当，时，不等式显然恒成立.当时，.由于，即.所以原不等式恒成立，等价于恒成立.构造函数，.易知在上单调递减，在上单调递增.则原不等式等价于要证.因为，要使实数的最大，则应.即.记函数，则.易知，.故函数在上单调递减，所以.因此只需.综上所述，实数的最大值是.故答案为：50．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．【答案】【分析】化简不等式，并分离变量可得，根据函数与不等式的关系转化已知条件得，利用换元法及导数求的最小值，由此可得a的范围.【详解】∵恒成立，∴恒成立.∴又设，则∴时，，函数为增函数时，，函数为减函数，又时，∴设则恒成立，所以在区间内单调递增，所以，故所以实数的取值范围为.故答案为：.三、解答题51．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．【答案】（Ⅰ）函数有极小值1，无极大值；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）7．【分析】（Ⅰ）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断其单调性，结合极值的定义进行求解即可；（Ⅱ）对函数进行求导，根据导函数的正负性分类讨论判断其单调性即可；（Ⅲ）根据（Ⅱ）求出函数在时的最小值，结合任意性的定义，问题对任意的，，恒有成立可以转化为，然后进行常变量分离，构造新函数，对新函数进行求导，结合新函数的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）因为，所以，函数的定义域为.，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有极小值，其值为，函数没有极大值.即函数有极小值1，无极大值；（Ⅱ）函数的定义域为，．（1）当时，，在上单调递增．（2）当时，，，单调递减，，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增，当时，，单调递减，，单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，恒成立，则只需恒成立，则，，令，则只需，则，，，单调递减，，，单调递增，，即，，的最大整数为7．52．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）【分析】（1）当时，直接对求导，利用导数研究函数的单调性，解不等式和，即可求出的单调区间；（2）根据函数在区间上为减函数，利用分离参数法，得出对恒成立，构造函数，根据导数确定在区间上的单调性，从而求出，即可得出实数的取值范围．【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，当时，，，令，而，则，解得：，令，而，则，解得：，的单调增区间为，单调减区间为.（2）由于，的定义域为，因为函数在区间上为减函数，对恒成立，即对恒成立，令，则，可知，当时，，即，即在区间上，故在区间上单调递增，则，所以，即实数的取值范围为.53．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．（1）若函数在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；（2）设，若存在∈[e，e2]，使成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】根据，解得，（1）转化为a≥在[e，2e]上恒成立，利用函数h(x)＝在[e，2e]上递减，求出的最大值即可得解；（2）等价于存在，使成立，设，则满足即可，利用导数求出的最小值即可得解.【详解】∵f′(x)＝b－a－alnx，∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1．则f(x)＝x－axlnx．（1）∵y＝f(x)在[e，2e]上为减函数，∴f′(x)＝1－a－alnx≤0在[e，2e]上恒成立，即a≥在[e，2e]上恒成立．∵函数h(x)＝在[e，2e]上递减，∴，所以.∴.（2）存在，使成立，即成立因为，所以等价于存在，使成立设，则满足即可因为，，；，在单调递减-综上，实数a的取值范围为．54．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【分析】（1）求出导函数．可得当时，，函数在上单调递减；当时，令求得值，把定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（2）由已知转化为在上恒成立，令，利用的单调性可求得得的取值范围．【详解】（1）当时，，∴在上单调递减；当时，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；（2）函数；在时恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴的取值范围为.55．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，，实数的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．【分析】(1)求导后，求得函数的导函数的零点，根据二次函数的性质，对实数a进行分类讨论，判定导数的正负值区间，从而得到函数的单调性和单调区间；（2）利用分离参数法，并构造函数，利用导数研究其单调性，求得最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到的取值范围.【详解】解：（1），令，得，．当时，恒成立，且仅在时取等号，故在上单调递减；当时，在区间和上，在区间上，所以的单调递减区间为，，的单调递增区间为；当时，在区间，上，在区间上．所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．（2）当时，由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，设，则，当时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增，∴，∴在上单调递增，，∴实数的取值范围是．56．已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先根据导数的几何意义得，即可得的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即在上恒成立，参变分离得：，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导数零点与定义区间的大小关系讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最小值，根据最小值小于即可得实数的取值范围.【详解】（1）由，得.由题意，，所以.（2）.因为对任意两个不等的正数，，都有恒成立，设，则即恒成立.问题等价于函数，即在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即实数的取值范围是.（3）不等式等价于，整理得.构造函数，由题意知，在上存在一点，使得..因为，所以，令，得.①当，即时，在上单调递增.只需，解得.②当即时，在处取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化为.因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.③当，即时，在上单调递减，只需，解得.综上所述，实数的取值范围是.57．已知函数，．（1）求函数在处的切线方程；（2）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）利用导数的几何意义求出函数在处的切线方程；（2）等价于在上恒成立，设，利用二次求导求出函数的最大值，即得解.【详解】（1），，，，在处的切线方程为即．（2），即在上恒成立，在上恒成立，设，则，显然，，设，则，故在上单调递减，由，，由零点定理得，使得，即，且时，，则，时，，则．在上单调递增，在上单调递减，，又由，，则，由恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1．58．已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若对任意，都有恒成立，求整数a的最大值.【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）4.【分析】（1）将代入，先求导，求出导数的零点，结合导数正负判断原函数增减性即可得到答案.（2）由题意分离参数得，设，则所求问题转化为求，求出，结合零点存在定理，得出函数的单调性，得出其最值，再得出其范围，即可求出的最小整数；【详解】（1）当时，，定义域为，注意到当时，单调递增当时，单调递减∴的单调递增区间为，递减区间为在时取得极大值且极大值为，无极小值.（2）原不等式恒成立变形有即在恒成立.设原问题等价于，令则，在单调递增由零点存在定理有在存使即当时，单调递减当时，单调递增，利用，的最大值为4.59．设函数，（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）．【分析】（I）对函数求导，然后计算与，即可得单调区间；（Ⅱ）将转化为，然后根据题意，设，可知函数在上单调递减，即得成立，然后参变分离求解.【详解】（I）易知的定义域为R，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减．的单调递减区间是，单调递增区间是．（Ⅱ）当，时，恒成立，即恒成立，设，由题意可知，在上单调递减，即在上恒成立；，设，则在上单调递减，，即60．已知函数，，，若函数的最小值为（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）方程在有解，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；【分析】（1）求导然后分类讨论与两种情况，求出最小值即可计算的值；（2）参变分离将等式转化为，设，然后求导判断单调性，求解最值，即可得的取值范围.【详解】（1），当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，可得；（2）在有解，即在有解，即在有解，设，恒成立，所以在上单调递增，，所以，得，所以的取值范围为.61．已知函数，.（1）若函数在处的切线恰好与直线垂直，求实数的值；（2）讨论的单调性；（3）若函数存在极值，在上恒成立时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）对求导，求出斜率，根据直线垂直的斜率公式列式，进而求出的值；（2）利用求导后二次函数对称轴与的关系分类讨论，分别求出的单调性；（3）利用参变分离将不等式恒成立，转化为恒成立，设，求导判断单调性与最大值，从而解得的取值范围.【详解】解：（1）由题意可知，函数的定义域为，.，因为在处的切线与直线垂直，则，解得.（2）由（1）可知，，令，对称轴为，当，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当，即时，令，得恒成立，所以，，所以在上恒成立，即函数在上单调递减；在上恒成立，即函数在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）可知，函数存在极值，则.对于，不等式恒成立，等价于恒成立.令，则恒成立.令，，则.令，则，所以在上单调递减，因为，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，即，解得.62．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求的值并确定在处是取得极大值还是极小值﹔（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；在处取得极小值；（2）．【分析】（1）先求解出，然后根据求解出的值，将的值带回，根据与的大小关系确定的单调性，由此确定出是极大值还是极小值；（2）根据条件得到，然后通过分析的正负将问题转化为“对恒成立”，再通过构造新函数并分析其单调性确定出最大值，由此的范围可求.【详解】解：，解得当或时，，单调递增；当时，，单调递减．在处取得极小值．由，得，设，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，对恒成立，原问题等价于对恒成立，令，则当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；.63．已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）求导可得，分，，三种情况讨论，即可；（2）参变分离，可转化为当时，有解，求的最小值即可.【详解】（1）．当时，，∴在上单调递增；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．∵当时，，∴有解，令，，则．∵，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴实数的取值范围．64．已知函数．（1）当时，证明：；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】(1)对函数求导得，探讨函数的单调性，确定的零点，进而求出的最小值即可得解；(2)将给定条件转化为恒成立的不等式，再分离参数并构造函数，，然后利用导数探求的最值即可得解.【详解】(1)函数定义域，求导得：，因，则在上单调递增，而，则当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，则有，所以当时，；(2)因在上单调递增，则在上恒成立，由(1)知，，则，即对恒成立，显然，则对恒成立，令，，则，令，，则，则在上单调递增，即有，则，于是得在上单调递增，从而有，则，所以实数的取值范围是.65．已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析，的取值范围为．【分析】（1）求导可得，由于当时，恒成立，只需讨论的正负；（2）转化为在内有解，参变分离可得，令，求导分析单调性可得在的值域为，可得当时，有解，再设，分析极值情况即可.【详解】（1）根据题意，函数的定义域为，则有，当时，对于任意，恒成立，令；令；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若函数在内有极值，则在内有解；令，解之可得，，令，则有，当时，恒成立，即得在上单调递减，又因为，所以在的值域为，所以当时，有解，设，则，；所以函数在上单调递减，因为，（1），所以在区间上有唯一解，即得当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，即得当时，在内有极值且唯一；当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意．故的取值范围为．66．已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）若函数有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出导函数，根据，求出的值，注意检验即可；（2）在区间上单调递增等价于在恒成立，参变分离即可求出结果；（3）在有1个根等价于方程在有1个根，构造函数，，数形结合即可求出结果.【详解】（1）因为，则，由于，则，∴，当时，因为的定义域为，则时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，所以符合题意，故.（2），∴在恒成立，即在恒成立，∴的取值范围为.（3）在有1个根即方程在有1个根，令，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，时，，当即时，1个根；当即时，1个根，综上：的取值范围为.67．已知函数，(其中e为自然对数的底数).（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.【分析】（1）将代入解析式，并求得，令并求得；由的符号可判断的单调性，进而求得，即可由符号判断函数的单调性；（2）根据不等式及函数的解析式，代入后化简变形，并令，转化为关于的不等式，分离常数后构造函数，求得后，再构造函数，求得；由的符号可判断的单调性，进而可知存在使得，从而判断出的单调性与极值点，结合函数解析式求得，即可由恒成立问题求得的取值范围.【详解】（1）当时，函数，则，令，则，令，解得，所以当时，，在时单调递减，当时，，在时单调递增，即，所以，即函数在上单调递增.（2）当时，不等式恒成立，代入可得，因为，化简可得，即，令，所以则不等式可化为，变形可得，令，则，令，则，令，解得，当时，，则在内单调递减，当时，，则在内单调递增，而，，，所以存在使得，从而当时，则在时单调递增；当时，，则在时单调递减；当时，，则在时单调递增；当时，，则在时单调递减.则在或处取得最大值，而，，因为，即则，综上可知，的取值范围为.68．已知函数，．（1）若在处的切线为，求的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）因为在处的切线为，即：，所以.（2）通过分离参数，转化为，进而求导，判断单调性，即可得出答案.【详解】（1）由题意得：，又因为在处的切线为所以，所以.（2）存在，使得，又因为，所以.所以在上有解.设，即：在上有解在上有解.设所以又因为，所以，.故所以，，所以在上单调递增.即在上单调递增.又因为，所以，故所以在上恒大于0.所以在上单调递增.故所以69．已知函数．（1）求的最小值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先对函数求导得，并令，再求导得，注意到，所以得单调区间，根据单调性即可解决.（2）方法1，先验证是不等式成立，再对时，利用分离参数法和洛必达法则求解即可；方法2，直接移项，构造函数，求二阶导，再分类讨论求解即可.【详解】解：（1），，，∴在上为增函数，又，∴，，单调递减；，，单调递增，．（2）方法1：（分离参数法）当时，成立，当，，设（）设，（），∴单调递增，又，∴，，∴单调递增，∴．，∴．方法2：设，则，，∵，∴，∴单调递增，①当时，，即，单调递增，恒成立，②当时，，，，使，，单调递减，，不合题意.由①②知实数的取值范围是．70．设函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在极值，对于任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）计算，然后分类讨论，，判断函数的单调性即可.（2）结合（1）可知，然后使用分离参数的方法，并构造函数，通过研究函数的性质即可.【详解】（1），，①当时，，即，所以在上是增函数；②当时，令，则，∴，，所以当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数；（2）由存在极值知，“对于任意，都有恒成立”等价于“对于任意，都有恒成立”，设，，则，，设，，则，，所以在上是减函数，又，所以当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，∴，∴.71．设函数．（1）当时，求函数的最大值；（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出，根据，列不等式，分离参数可得，进而求出结果.（3）有唯一正实数解,构造函数，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m值.【详解】（1）依题意，知的定义城为，当时，，，令，解得.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以的极大值为，此即为最大值.（2），则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一正实数解，设，则，令，，因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故时，，取最小值因为有唯一正实数解，所以，则即所以，因为，所以.设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，因为，所以方程（*）的解为，即，解得.72．已知函数.（1）求的解析式及单调区间；（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值.【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为；（2）0.【分析】（1）首先求函数导数，并赋值，求函数的解析式，并利用导数求函数的单调区间；（2）由题意转化为，设函数，利用导数求函数的最小值，根据求的最小值.【详解】（1），令，得.令，得.则，，且在上单调递增，，且当时，；当时，，则，且单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为，所以.令，则，易知在上单调递增.又，，则存在唯一的，使得，且当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又，，即，则.因为，所以.因为存在实数，使得成立，所以，又，则整数的最小值为0.73．已知函数的图象在点处的切线方程为.(本题可能用的数据：，是自然对数的底数)（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求整数t的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为8.【分析】（1）求出导函数，然后求在处的切线方程与已知作比较可得答案；（2）令(，转化为，然后求可得答案.【详解】（1）函数的定义域为，，所以有，解之得，故函数的解析式为：；（2）当时，则，令()，则由题意知对任意的，，而，，再令()，则，所以在上为增函数，又，，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以在上单调递减，当时，，，所以在上单调递增，所以，所以，又，所以，因为t为整数，所以t的最大值为8.74．已知函数，且恒成立．（1）求实数的值；（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案.

(2)由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案【详解】（1）解：的定义域是，因为，恒成立，所以是的极大值点，所以，因为，所以，所以．（2）依题意得，，，∴，因为，所以对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在上单调递增．因为，，所以方程在上存在唯一的实数根，且，则，所以，①当时，，即；当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以，把①代入得，，，所以，故整数的最大值是3．75．已知函数.（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）对函数求导，通过导数大于等于0恒成立来判断参数a的取值范围.（2）在定义域内，通过参变分离的办法，构造函数，通过研究新函数的最值来求参数的最大值.【详解】解：（1）∵，又函数在区间上为增函数∴当时，恒成立.∴.∴的取值范围为.（2）当时，.故不等式，∴即对任意恒成立，令，则，令，（）则∴在上单增.又，，∴存在，使，即当时即.当时，，即∴在上单减，在上单增.令，即.∴，∴且，即.76．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）求出函数的导函数，分，，，讨论即可得出函数的单调性；（2）分离参数，借助导数，判定函数的单调性，求函数最值即可.【详解】解：（1）因为，．所以．①当时，令，得．在上单调递减；令，得，在上单调递增．②当时，令，得．在上单调递减；令，得或．在和上单调递增．③当时，在时恒成立，在单调递增．④当时，令，得．在上单调递减；令，得或．在和上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增．（2）不等式，等价于．时，．设函数，则．当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．，．综上，的取值范围为．77．已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）当时，对进行求导得，再对进行分类讨论，判断的符号，进而判断的单调性；（2）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，令，对其求导得，再令，分析的单调性，进而得出的取值范围.【详解】（1）的定义域是，当时，，当时，所以在上单调递增.当，令，得，故在上单调递增；令，得，故在上单调递减.因此，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，对任意的，不等式恒成立，即对任意的，恒成立.令，则对任意的，不等式恒成立，.令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，有最小值.若，即，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，有最小值，因为，所以不等式恒成立；若，即，有，与矛盾.因此，实数的取值范围是.78．已知函数．（1）证明：当时，无零点；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）求出的导函数，判断正负，再求导函数的最小值大于零，可得答案；（2）常数分离，求的最大值，再求的单调性，再构造函数用导数判断单调性.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，，令，则，∴在上单调递增，又，，∴存在，使得，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，∴当时，函数无零点．（2）恒成立，即恒成立，∴恒成立．令，则；令，则，∴函数在上单调递增，又，，∴存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递增，∵，∴，∴，∴，∴实数的取值范围为．79．已知函数．（1）当时，求曲线在上的单调区间；（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）先求解出，然后分类讨论：、，根据的正负确定出的单调区间；（2）将问题转化为“对恒成立”，通过构造函数并分析其单调性确定出最小值，由此得到，从而求解出的取值范围.【详解】（1）因为，所以，当时，对恒成立，所以的单调递增区间为；当时，时，，时，，所以的单调递减区间，单调递增区间，综上：当时，的单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）因为对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，设，所以，令，所以对恒成立，所以在上单调递增，且，，所以有唯一零点且，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，又因为，所以，设，则，当时，，单调递增，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即.80．已知函数（1）若，求的极值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）极小值，无极大值；（2）．【分析】（1）由，得到，然后利用、可得答案；（2）根据恒成立，，令求的最大值可得答案.【详解】（1）∵当时，，∴，令，，由于，所以，所以在上单调递增，且时，∴当，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，∴时取极小值，，无极大值．（2）∵，∴，令，，令，∵，在上是单调递减函数，且，所以当时，，即，的单调递增函数，当时，，即，的单调递减函数，所以，可得，即.81．已知函数（）.（Ⅰ）若为整数，且在上恒成立，求的最大值；（Ⅱ）若函数的两个极值点分别为，，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题易得，令，利用导数研究的最小值即可得解；（Ⅱ），令，易知，为方程有两不同实根，而，所以在区间上单调递增，且，由零点存在定理可知，在区间上存在唯一零点，所以，解不等式可得，最后结合导数及函数的性质可证得结论.【详解】（Ⅰ）由且，得，令，则，令，因为在上单调递增，且，，所以存在唯一零点，满足，且在单调递减，在单调递增，，因为为整数，所以的最大值为；（Ⅱ），令，则，为方程有两不同实根，，所以在区间上单调递增，而且，因此在区间上存在唯一零点，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，解得，所以，因为，，由的单调性得：，所以，所以（对数不等式）.82．已知函数．（1）若，证明；（2）若对任意，，都有，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）把变形整理得到，然后构造函数，通过研究函数的单调性即可得证；（2）恒成立问题通过参变分离来求取值范围.【详解】证明：（1）要证，需证，因，即证，即证，设，则，即证在上单调递增，设，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，即在上恒成立，∴在上单调递增∴当时，解：（2）由，得，∵，∴．设，则，∵，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，∴又对任意都成立，则即实数的取值范围是．83．已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）观察到函数的零点为，当时，由与同号性质知，显然最小值为0；（2）分离参数将恒成立问题转化为函数最值问题求解.【详解】（1）,当时，，，，即；当时，，，，即.综上，函数的最小值为.（2）不等式，即，所以，设（），则问题等价于，，，设，则，，在上单调递增，又，，存在唯一，使，则，即.当时，，即，则函数在上单调递减，当时，，即，则函数在上单调递增..，即实数的取值范围为.84．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若曲线与直线有交点，求证：.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求导令求得参数，接着讨论导函数的正负得到原函数的单调性即可；（2）令，从而将函数图像有交点转化为在有零点，参变分离得，再转化为图像有交点的问题，令求导判断函数的单调性求出最值，最后证明即可.【详解】（1）因为，所以，则，所以，令，显然，在上单调递增，又，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增；（2）证明：令，当时，曲线与直线有交点即函数在有零点，由得，，令所以直线与图像有交点则，令，显然在上单调递减，且，所以在上单调递增，在在上单调递减，故在处取最大值为，当时，，当时，，要使直线与图像有交点，只需，又因为，所以.85．已知函数．（I）当时，讨论函数在上的单调性；（II）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）在上单调递增；（II）．【分析】（I）代入的值求解出，构造新函数分析分子的正负，通过对求导得到，由分析出的单调性，从而取值正负情况可分析出，从而在上的单调性可知；（II）利用参变分离的方法将问题转化为“恒成立”，构造新函数，求解出，然后构造函数，分析出的取值正负从而确定出的单调性并分析的取值特点，由此确定出的单调性和极值，再结合的取值正负及可确定出的最大值，由此可求的取值范围.【详解】解：（I）当时，，则．令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．因为，，所以当时，，则，所以在上单调递增．（II）由可得．令，则．令，所以，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以．因为，所以使得．又因为，所以当时，，所以，为减函数；当时，，所以，为增函数；当时，，所以，为减函数，所以的极大值为．又因为，设，，则当时，，，所以当时，；所以当时，，当时，，所以，所以．86．已知函数（，e为自然对数的底数），．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在零点，求实数a的最小值；（3）若函数的最小值为2，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）当时，求出切点坐标，再根据导数的几何意义求出切线斜率即可求解；（2）分离参数得，从而将原问题转化为求的最小值；（3）设，原函数可化为，由的最小值为，所以原问题可转化为当时，有解，从而分离参数得，求出的值域即为实数a的取值范围.【详解】解：（1）依题意，，则，∴，又切点为，所以切线方程为；（2）由，得，设，则，故的单调递减区间为，单调递增区间为，所以的最小值为，即a的最小值为.（3）依题意，，设，则，故函数可化为，由，可得的单调递减区间为，单调递增区间为，所以的最小值为，故函数的值域为，问题转化为当时，有解，即，得，设，则，故的单调递减区间为，单调递增区间为，所以的最小值为，故实数的取值范围为．87．已知函数，为自然对数的底数，．（1）讨论的单调性；（2）若，且，求整数的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）1.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，求得单调区间；（2），即，设，通过导数研究函数的最值，此时需要再次求导来判断导函数的单调性，来判断导函数与0的关系，从而求得原函数取最小值时满足的条件，此时存在一个隐零点，满足，将导数的隐零点代入化简得到．然后通过导数求得的取值范围，从而求得参数a的最大值.【详解】解：（1）的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，，单调递增，令，，单调递减，综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由题意：，即，设，则，设，由，知在内为增函数，，，，，则在内，为减函数；在内，为增函数，，则，，因为函数在内为增函数（），，，则．设，在（内为增函数，，，，则．的取值范围是，整数的最大值为．88．已知.（1）若，求的单调区间；（2）已知函数有两个极值点（），若恒成立，试求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【分析】（1）求出导函数，结合导数与函数单调性的关系即可求解.（2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，利用韦达定理得，故，然后分离参数只需恒成立，，从而令，，利用导数求出的最小值即可求解.【详解】（1）时，，所以，，得（舍）或，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是（2）由（1）得，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，则，故，要使恒成立，只需恒成立．即因为，，设，，，，，即所以，单调递减，当由题意，要使恒成立，只需满足，即所以实数的取值范围．89．已知函数．（1）若存在极值，求的取值范围．（2）当时，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）求导以后，存在极值等价于有根，且根的两侧异号，参变分离后构造函数，通过研究函数的最值即可求解；（2）（方法一）求导得，结合的单调性以及零点存在性定理即可求出在上单调递减，在上单调递增．且以及，然后求出的最小值的范围，即可得出结论；（方法二）由不等式的性质可知当时，；当时，，因此只需要证明时即可，由于，所以利用放缩法即可证明.【详解】（1）解：，由，得，设函数，则,当时，；当时，．故，当时，，不存在极值，所以，故的取值范围是．（2）证明：（方法一）因为，所以，，易知在上为增函数，且，，所以，，且在上单调递减，在上单调递增．又，所以，则．因为，所以，即，故．（方法二）因为，所以，当时，；当时，当时，易证，所以，因为，所以，又故．90．设函数.（1）若函数在定义域内是单调递增函数，求实数的取值范围；（2）若，则（i）证明：方程在内存在唯一的根；（ii）设函数表示中的较小值)，求的最大值.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）求导后将问题转化为对恒成立，分离常数后构造函数利用求导求得函数的单调性求得函数的最小值从而求得结果；（2）（i）根据题意，由导数的几何意义可得（1），又，所以，设，由函数零点判定定理可得存在，使，进而分析函数的单调性，即可得答案；（ii）根据题意，分析可得的表达式，分段求出的导数，分析其单调性，据此分析可得答案．【详解】解：（1），∴，若函数在定义域内是单调递增函数，则对恒成立；即对恒成立；设，由得，由得则在递减，在递增；即，得.（2）（i）设，当，时，，又（2），所以存在，使．因为，当时，，，所以，所以，所以，所以当时，单调递增，所以方程在内存在唯一的实根．（ii）由（1）知，方程在内存在唯一的实根，且时，，又当，时，，当时，，所以当，时，，所以当，时，，所以，当时，若，，则；若，，由，可知，故当，时，．当，时，由，可得当，时，，单调递增；时，，单调递减．可知（2），且（2）．综上可得，函数的最大值为．91．已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）.【分析】（1）求导函数，结合定义域由求得递增区间，由求得递减区间；（2）由即．令，利用导数求出的最小值即可得出结果．【详解】（1），（）.当时，，单调递增；当时，，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由得，即，令，，令，，在单调递增，又，，所以有唯一的零点，且当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以，又，则，所以，所以，即的取值范围是.92．已知函数.（1）若函数和直线相切，求b的值：（2）令，当时，判断零点的个数并证明.【答案】（1）；（2）两个零点，证明见解析.【分析】（1）设切点坐标为，求得函数的导数得到，求得切点坐标为，代入，即可求解；（2）求得，得到是的一个零点，设，求得，分，和三种情况讨论，利用导数求得函数的单调性，结合单调性和零点的存在定理，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，设切点坐标为，可得切线的斜率，可得，所以，即切点坐标为，将点代入，可得，解得.（2）由，可得，当时，，所以是的一个零点，设，可得，当时，，所以在上时单调递增函数，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上没有零点；当时，因为，可得，所以，可得，所以在上没有零点；当时，，可得，所以在上单调递增，又由，所以在内存在唯一，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以在内有一个零点，综上可得，函数有两个零点.93．已知函数，．（1）若在处取得极值，且满足函数有三个零点，求的取值范围；（2）若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用，可得，分析的单调性、极值、边界情况，列出不等式组即得解；（2）转化为，令，求导分析单调性，可得，即得解【详解】（1），由已知得，得，，经检验，时，当时，取得极小值，成立.，令，得或，由得或，此时为增函数，由得，此时为减函数，即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，即，，所以函数有三个不同零点，且时，，时，因此，只需，即，解得，的范围是．（2），，对任意，，即，变形得，，令，，则，，所以，所以在上单调递增，从而，因此.94．已知函数（其中，为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）.【分析】（1）求导可得，由得，，，分，，三种情况讨论单调性即得解；（2）参变分离可得对任意的恒成立，令，求导分析单调性，求出即可.【详解】（1）由题意知，，当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在上单调递增；②若，即时，令或；令故的单调递增区间为和，单调递减区间为；③若，即时，令或；令故的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上：当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由题意知，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则在上单调递减，又，，故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，故为的极大值点，故，又，代入上式得，故的取值范围为.95．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围..【答案】（1）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；（2）【分析】（1）函数求导对参数进行讨论得到函数单调性（2）对进行符号讨论，研究单调性解决恒成立问题；也可分离参数不等式恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数，利用导数求最值可解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为.则.（i）当，那时，令，得，得，得，得.又因为，所以；令，得；所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（ii）当，即时，，又由，得，所以.即对任意恒成立，所以函数在区间上单调递增；综上，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增.（2）方法一，由（1）可知，①当时，函数在区间上单调递增，所以