第3章kalman滤波1(第十四次课)课件

2022/11/151第三章状态与信号的最优估计

——经典Kalman滤波与时域Wiener滤波2022/11/111第三章状态与信号的最优估计

——2022/11/152例3.1.1船舶GPS导航定位问题3.1引言2022/11/112例3.1.1船舶GPS导航定位问题

例3.1.1

船舶GPS导航定位问题假定船舶出港沿直线方向航行，以码头出发点为坐标原点，采样周期为，表示船舶在采样时刻的真实位置，表示采样时刻处GPS定位的观测值，观测模型为：

其中表示定位误差（观测噪声），可假设它为零均值、方差为的白噪声。

船舶航行的速度和加速度分别为由匀加速运动公式有而加速度可由机动加速度和随机加速度分组成，即两部定义系统的状态为船舶的位置和速度，即船舶航行的速度和加速度分别为由匀加速运动公式有而加速度可由

合并上述公式可得状态空间模型为

即系统的状态空间模型为

其中定义(3.1.1)(3.1.2)合并上述公式可得状态空间模型为即系统的状态空间模型为称(3.1.1)和(3.1.2)分别为状态方程和观测方程。求船舶在时刻处位置的最优估计。船舶GPS导航定位Kalman滤波问题：基于GPS观测数据称(3.1.1)和(3.1.2)分别为状态方程和观测方程。求2022/11/157例3.1.2石油地震勘探白噪声反卷积滤波问题2022/11/117例3.1.2石油地震勘探白噪声反卷2022/11/158可用反卷积（Deconvolution）模型描述石油地震勘探系统：(3.1.32)(3.1.33)通常可用Bernoulli-Gaussian白噪声描写：(3.1.34)其中b(t)为仅取值0和1的Bernoulli白噪声，取值概率为(3.1.35)g(t)是零均值、方差为的独立于b(t)的Gaussian白噪声。2022/11/118可用反卷积（Deconvolution2022/11/159卷积模型(3.1.32)和(3.1.33)可表为如下状态空间模型：(3.1.36)(3.1.37)石油地震勘探白噪声反卷积滤波问题是：基于传感器接收到的观测数据求输入白噪声的估计。2022/11/119卷积模型(3.1.32)和(3.1.32022/11/1510滤波问题：从被噪声污染的观测信号中过滤噪声，求未知真实信号的估计。最优滤波(估计)：求信号真值与估值的误差方差最小的估计。应用领域：信号处理、通信、目标跟踪和控制等领域。2022/11/1110滤波问题：从被噪声污染的观测信号中过2022/11/1511发展状况：1.Wiener(维纳)滤波方法对象：单变量平稳随机信号，定常系统的稳态滤波问题。方法：频域法，谱展式。工具：维纳-霍夫方程。缺点：非递推，要求存储全部历史数据，计算量和存储量大。2.Kalman滤波方法对象：多变量(非)平稳随机过程，时变系统的最优滤波问题。方法：时域法，状态空间方法。工具：Riccati方程。优点：递推，计算量和存储量小，便于计算机实现。缺点：系统参数和噪声统计精确已知。3.现代时间序列分析方法对象：多变量(非)平稳随机过程，定常系统的稳态滤波问题。方法：时域法。工具：ARMA新息模型，白噪声估值器。优点：便于处理模型参数未知的自校正滤波问题。缺点：适用于定常系统的稳态滤波。2022/11/1111发展状况：2022/11/1512本章主要内容：射影理论Kalman滤波器、预报器和平滑器白噪声估值器信息滤波器稳态Kalman滤波时域Wiener滤波器2022/11/1112本章主要内容：

3.2射影理论3.2.1线性最小方差估计和射影

Kalman滤波器是线性最小方差估值器，也叫最优滤波器，在几何上Kalman滤波估值可看做是状态变量在由观测生成的线性空间上的射影。因此射影理论是求解Kalman滤波器的关键技术。

定义3.2.1

由维随机变量的线性函数估计维随机变量，记估值为3.2射影若估值极小化性指标为

则称为随机变量的线性最小方差估计。定理3.2.1随机变量对随机变量的线性最小方差估值为其中假设均存在。性质：1.无偏性，即2.正交性，即若估值极小化性指标为则称为随机变量的线性最小方差估计。定理与不相关，即正交，并记为在上的射影,记为定义3.2.2，称定义3.2.3张成的线性流形定义为如下由随机变量形式随机变量的集合：4.，记为。3.与不相关。与不相关，即正交，并记为在上的射影,记为定义3.2.2，称定2022/11/1516第三章状态与信号的最优估计

——经典Kalman滤波与时域Wiener滤波2022/11/111第三章状态与信号的最优估计

——2022/11/1517例3.1.1船舶GPS导航定位问题3.1引言2022/11/112例3.1.1船舶GPS导航定位问题

例3.1.1

船舶GPS导航定位问题假定船舶出港沿直线方向航行，以码头出发点为坐标原点，采样周期为，表示船舶在采样时刻的真实位置，表示采样时刻处GPS定位的观测值，观测模型为：

其中表示定位误差（观测噪声），可假设它为零均值、方差为的白噪声。

船舶航行的速度和加速度分别为由匀加速运动公式有而加速度可由机动加速度和随机加速度分组成，即两部定义系统的状态为船舶的位置和速度，即船舶航行的速度和加速度分别为由匀加速运动公式有而加速度可由

合并上述公式可得状态空间模型为

即系统的状态空间模型为

其中定义(3.1.1)(3.1.2)合并上述公式可得状态空间模型为即系统的状态空间模型为称(3.1.1)和(3.1.2)分别为状态方程和观测方程。求船舶在时刻处位置的最优估计。船舶GPS导航定位Kalman滤波问题：基于GPS观测数据称(3.1.1)和(3.1.2)分别为状态方程和观测方程。求2022/11/1522例3.1.2石油地震勘探白噪声反卷积滤波问题2022/11/117例3.1.2石油地震勘探白噪声反卷2022/11/1523可用反卷积（Deconvolution）模型描述石油地震勘探系统：(3.1.32)(3.1.33)通常可用Bernoulli-Gaussian白噪声描写：(3.1.34)其中b(t)为仅取值0和1的Bernoulli白噪声，取值概率为(3.1.35)g(t)是零均值、方差为的独立于b(t)的Gaussian白噪声。2022/11/118可用反卷积（Deconvolution2022/11/1524卷积模型(3.1.32)和(3.1.33)可表为如下状态空间模型：(3.1.36)(3.1.37)石油地震勘探白噪声反卷积滤波问题是：基于传感器接收到的观测数据求输入白噪声的估计。2022/11/119卷积模型(3.1.32)和(3.1.32022/11/1525滤波问题：从被噪声污染的观测信号中过滤噪声，求未知真实信号的估计。最优滤波(估计)：求信号真值与估值的误差方差最小的估计。应用领域：信号处理、通信、目标跟踪和控制等领域。2022/11/1110滤波问题：从被噪声污染的观测信号中过2022/11/1526发展状况：1.Wiener(维纳)滤波方法对象：单变量平稳随机信号，定常系统的稳态滤波问题。方法：频域法，谱展式。工具：维纳-霍夫方程。缺点：非递推，要求存储全部历史数据，计算量和存储量大。2.Kalman滤波方法对象：多变量(非)平稳随机过程，时变系统的最优滤波问题。方法：时域法，状态空间方法。工具：Riccati方程。优点：递推，计算量和存储量小，便于计算机实现。缺点：系统参数和噪声统计精确已知。3.现代时间序列分析方法对象：多变量(非)平稳随机过程，定常系统的稳态滤波问题。方法：时域法。工具：ARMA新息模型，白噪声估值器。优点：便于处理模型参数未知的自校正滤波问题。缺点：适用于定常系统的稳态滤波。2022/11/1111发展状况：2022/11/1527本章主要内容：射影理论Kalman滤波器、预报器和平滑器白噪声估值器信息滤波器稳态Kalman滤波时域Wiener滤波器2022/11/1112本章主要内容：

3.2射影理论3.2.1线性最小方差估计和射影

Kalman滤波器是线性最小方差估值器，也叫最优滤波器，在几何上Kalman滤波估值可看做是状态变量在由观测生成的线性空间上的射影。因此射影理论是求解Kalman滤波器的关键技术。

定义3.2.1

由维随机变量的线性函数估计维随机变量，记估值为3.2射影若估值极小化性指标为

则称为随机变量的线性最小方差估计。定理3.2.1随机变量对随机变量的线性