安培力和洛伦兹力的关系资料

24.(20分)对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。liiJ一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e。该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为V。liiJ(a)求导线中的电流I；(b)将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安=〃。l=Jl=J

wl=J

w正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为血，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为V，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。l=Jl=J

wl=J

w(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)IAqneSvAt、

AtAt(b)IAqneSvAt、

AtAt(b)每个自由电子所受的洛仑兹力：F=evB洛设导体中共有N个自由电子：N=n・Sl导体内自由电子所受洛仑兹力大小的总和：F=NF&洛=nSlevB由安培力公式，有：F=BlI=Bl-neSv安得：F：F女（2）一个粒子每与器壁碰撞一次，给器壁的冲量为：AI=2mv如答图3，以器壁上的面积S为底，以vAt为高构成柱体，由题设可知，其内的粒子在At时间内有1/6与I器壁S发生碰撞，碰壁粒子总数为："\同L_6”At时间内粒子给器壁的冲量为:<，…Vi。"I=NAl=—nSmv2At面积为At时间内粒子给器壁的冲量为:器壁单位面积所受粒子压力为：f器壁单位面积所受粒子压力为：fF1—=一nmv2S3运动电荷在磁场中受到洛仑兹力，通电导线在磁场中受到安培力，导线中的电流是由大量自由电子的定向移动形成的，安培力与洛仑兹力之间必定存在密切的关系，可以认为安培力是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观实质，但不能认为安培力是导线上自由电子所受洛仑兹力的合力，也不能认为安培力是通过自由电子与导线的晶格骨架碰撞产生的.图中，通电导线置于静止的磁场之中，导线通有电流I，长为dl的导线元，所受的安培力为IdlxB.从微观的角度看，导线中的自由电子以速度v向右运动，在洛仑兹力f=-evXB的作用下，以圆周运动的方式向导线下方侧向偏移，使导线下侧出现负电荷的积累；在导线中产生侧向的霍耳电场，霍耳电场对自由电子有作用力，阻碍自由电子作侧向运动.经过一段时间后，自由电子受到的洛仑兹力与霍耳电场力N平衡，自由电子只沿导线方向作定向运动，此时，-eE+<-evXB)=0，霍耳电场的场强E=-vxB导线内有带负电的自由电子和带正电的晶格，均匀导线内部的电荷体密度为零，自由电子所带电量与晶格骨架所带电量等量异号，若单位体积内自由电子的个数为〃，导线的横截面积为S，则在导线元dl中，自由电子电量为-enSdl，晶格骨架所带的电量为Q=nes-dl在讨论安培力时，可以认为品格均匀分布，排列有序.霍耳电场在导线元dl内也是均匀的，在导线元dl通有电流I时，晶格骨架所受的力为dF=QE将(3.13.5)、(3.13.6)两式代入，有dF=-nes-dl(vxB)考虑到自由电子的定向运动与电流元的关系—nes-dl-v=Idl可将(3・13.7)式改写为df=IdlxB，即为(3・13.3)式.如果通电导线在静磁场运动，运动速度为u(图3.13-3).在导线中的自由电子，相对于参考系的速度为“+羽，受洛仑兹力-e(u+v)xB,同样令在导线中产生霍耳电场.当霍耳电场的场强为E=-(u+v)XB时，自由电子没有侧向偏移，仍沿导线方向作定向运动，通电导线运动时，晶格骨架随之运动，也受到洛仑兹力，晶格骨架受到的力为XK即XdF=QvxB+Q[—(u+v)xB]=—QvxB=—neS-dl(vxB)=IdlxB通过上面的论述可以看出：无论磁场中的通电导线是否运动，导线中作定向运动的自由电子均在洛仑兹力的作用下，使导线表面的电荷分布发生变化，在导线内产生霍耳电场，平衡时，自由电子在侧向受到的合力为零，仍沿导线方向作定向运动，没有偏向偏移，不会在侧向与晶格碰撞产生安培力.带正电的晶格所受合力不为零，导线的晶格骨架所受到各力的合力即为安培力.5.2洛仑兹力与安培力的关系赵凯华比较一下洛仑兹力公式(4.41)和安培力公式(4.34)，可以看出二者很相似。这里的qv与电流元Idl相当。这并不是偶然的，因为运动电荷就是一个瞬时的电流元。载流导线中包含了大量自由电子，下面我们来证明，导线受的安培力就是作用在各自由电子上洛仑兹力的宏观表现。如图4-50所示，考虑一段长度为△，的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中（在图中用“X表示磁感应线方向）。设导线中通有电流I，其方向向上。从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为“，导体单位体积内的自由电子数（叫做自由电子数密度）为"，每个电子所带的电量为-e（e=1.60x10-19库仑）。按照定义，电流强度是单位时间内通过导线截面的电量。现在我们看看，在时间间隔△，内通过导线某一截面B的电量有多少。因为在时间△t内每个电子由于定向运动而向下移动了距离〃△，.我们可以在截面S之上相距«△t的地方取另一截面S’・在这两个截面之间是一段体积^V=Su^t的柱体（这里心又代表截面的面积）.不难看出，凡是处在这个柱体内的电子，在时间间隔△t后都将通过截面，;凡是位于这个柱体之外的电子，在时间间隔△t内都不会通过S・所以在时间间隔&内通过S的电子数等于这个柱体内的全部电子数，它应是n^V=nSu^t而在时间间隔△/内通过S的电量^q应等于上述这个数=1liiJl=jliiJliiJ目再乘以每个电子的电量e（这里只考虑数值，暂不管它的正负），即Aq=enAV=enSUKt子是电流强度1=翌=ensuAt°由于这里电子的定向速度u与磁感应强度B垂直，sir0=1，每个电子由于定向运动受到的洛仑兹力为feuB=euui=J

w虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子总是与金属的晶体点阵不断碰撞的，自由电子获得的动量，最终都会传递给金属的晶格骨架。宏观上看起来将是金属导线本身受到这个力。整个长度为△l的这段导线的体积为S^l，共中包含自由电子的总数为nS△l，每个电子受力f=euB，所以这段导线最终受到的总力为F=nsAlf=nSAleuB=B(ensu)Ali=J

w根据式(4.43),上面括弧中的量刚好是宏观的电流强度I,故最后得到力的大小为F=B1Al这正好与安培力的公式符合。请读者自己验证一下，力的方向也是符合的。应当指出，导体内的自由电子除定向运动之外，还有无规的热运动。由于热运动速度V朝各方向的几率相等，在任何一个宏观体积内平均说来，各自由电子热运动速度的矢量和日为0.而洛仑兹力与V和B都垂直，由热运动引起的洛仑兹力朝各方向的几率也是相等的。传递给晶格骨架后迭加起来，其宏观效果也等于0・即对于宏观的安培力F来说，电子的热运动没有贡献，所以在上述初步的讨论中我们可以不考虑它。梁灿斌328电流是由电荷的定向运动产生的，因此磁场中的载流导体内的每一定向运动的电荷，都要受到洛伦兹力.由于这些电荷（例如金属导体中的自由电子）受到导体的约束，而将这个力传递给导体，表现为载流导体受到一个磁场力，通常称为安培力，下面我们从运动电荷所受的洛伦兹力导出安培力公式.卜匕，-1二二^图5-45表示一固定不动的电流元，其电流强度为I，横截面为dS，长为dl，设在电流元范围内有相同的磁感应强度B，则金，人属载流导体内每一定向运动的电子所受到的洛伦兹力为f=-evxBv为电子定向漂移速度，与电流密度矢量J反向（j=~nev，n为导体单位体积的自由电子数），电流元内作定向运动的自由电子数N=-ndSdl，因而电流元内作定向运动的电子所受的合力为dF=N(-evxB)=dsdl（-nevxB）=dsdljxB在电流元的条件下，我们用dl来表示其中电流密度的方

向，并注意到电流强度I=dS,于是上式表示为：dF=1dlxBliiJ式(5.57)为电流元Idl内定向运动的电子所受到的合磁场力，如前所述，这个力被传递给载流导体，表现为电流元这个载流导体所受到的磁场力.通常称式(5.517)为安培力公式.liiJ式(5・57)由式(5.4)推导而得.但在历史上式(5.57)首先是由实验得出的，因此不少作者将式(5.57)做为基本实验定律.由式(5-57)原则上可以求得任意形状的电流在磁场中所受的合力，即求积分F=ilId1xBl为在磁场中的导线长度.如果有兴趣的话，我们来探讨一下金属载流导体(例如金、铜、铝、银、镍等)中，定向运动的电子所受到的洛伦兹力是怎样成为载流导体的安培力的.现设有如讲述“霍尔效应’’时的图5-44b所示的载流导体，以及如图所示的电流I,所加的外磁场B,因为载流导体中每一个定向运动的电子，都要受到一个洛伦兹力fLf=-evxB显然，。沿+z方向，这导至导体的A侧出现负电荷，而在A’侧出现正电荷的堆积，结果将在载流导体上下两侧产生一个UAA,<0的电位差，以及一个沿+z的横向电场Et.最后，当E=vB之后，导体中定向运动的电子所受到的横向电场力与磁场力（洛伦兹力）平衡，这时，载流导体中作定向运动而形成电流的电子的运动状况，与外磁场B不存在时相同（沿-z方向运动）.与外磁场B不存在时的区别，在于载流导体内部出现了横向电场Ee我们来分析一下受力关系.载流导体中定向运动的电子在z轴方向受到两个力的作用，一为洛伦兹力，f-evn，沿+Z方向；一为稳恒电场Et所给予的电场力L1f=eEt，沿-z方向。两者等值反向，使电子不出现z轴方向的位移.我们知道稳恒电场力遵从牛顿第三定律，因此，该电子将给A，A’两侧的负、正电荷以一个指向+z的反作用力.显然这个力的数值和方向正好等于外磁场给予运动电子的洛伦兹力，也就是说，外磁场作用在运动电上的洛伦兹力，通过横向电场的作用，