【知识点解析】《利用向量方法证明空间中的垂直关系》课堂探究2

利用向量方法证明空间中的垂直关系指点迷津

1．线线垂直

设直线l1，l2的方向向量分别是

，

，若要证明l1⊥l2，只要证

，即证明

．

2．线面垂直

（2）根据线面垂直的判定定理．

（1）设直线l的方向向量为

，平面α的法向量是

，若要证l⊥α，只需证∥．指点迷津

3．面面垂直

（1）根据面面垂直的判定定理．

（2）证明两个平面的法向量垂直，则可证明两个平面垂直．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．分析：可以从几何的角度或向量运算的角度进行证明．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG，A1B，活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．则FG∥A1D1，EG∥A1B．∵A1D1⊥平面A1B，∴FG⊥平面A1B．∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．证法一：由三垂线定理，得EF⊥AB1．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．同理EF⊥B1C．又∵AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．证法二：∴在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．证法二：∴在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．同理，EF⊥B1C．又∵AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．证法二：∴，即EF⊥AB1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）．证法三：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．＝（－1，－1，1），＝（0，2，2），证法三：∴＝（1，1，2）－（2，2，1）

＝（2，2，2）－（2，0，0）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．＝（－2，2，0），＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，证法三：＝（0，2，0）－（2，0，0）∴＝（－1，－1，1）·（0，2，2）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．活动与探究求证：EF⊥平面B1AC．∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又∵AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC．证法三：＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，小结（1）解决本题时，有3种证明方法．证法一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线．证法二：选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．证法三：建立