2018-2019学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷

广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）（2012•聊城）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件2．（3分）（河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9＝0 B．x2＝x C．x2+3＝2x D．（x﹣1）2+1＝03．（3分）（2002•宁夏）当x＜0时，函数y的图象在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（3分）（长沙模拟）下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形5．（3分）（2012•哈尔滨）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）（2018秋•黄埔区期末）已知点M（﹣2，3）在双曲线y上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）7．（3分）（2018秋•黄埔区期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．88．（3分）（2011•无锡）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm29．（3分）（晋江市）若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（）A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞010．（3分）（衢州）抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝﹣6 B．b＝2，c＝0 C．b＝﹣6，c＝8 D．b＝﹣6，c＝2二、填空题（本大题共6小题，每小3分，满分18分．)11．（3分）（2018秋•黄埔区期末）圆的半径为5cm，如果圆心到直线的距离为3cm，那么直线与圆有公共点的个数是．12．（3分）（2018秋•黄埔区期末）函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝．13．（3分）（2019•徐州）方程x2﹣4＝0的解是．14．（3分）（2018秋•黄埔区期末）若抛物线y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，则a的值是．15．（3分）（郑州模拟）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为．16．（3分）（2018秋•黄埔区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的面积为．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（9分）（2009•武汉）解方程：x2﹣3x﹣1＝0．18．（9分）（2018秋•黄埔区期末）如图1，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2．19．（10分）（2019•天山区校级三模）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？20．（10分）（北塔区模拟）已知反比例函数y（k为常数，k≠1）．（1）其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为点P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．21．（12分）（2019•杭州模拟）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要通过抽签从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．22．（12分）（滨州）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．23．（12分）（呼伦贝尔）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．24．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．25．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知正方形OEFG的顶点O与正方形ABCD的中心O重合，若正方形OEFG绕O点旋转．（1）探究：在旋转的过程中线段BE与线段CG有什么数量关系及位置关系？证明你的结论；（2）若正方形ABCD的边长为a，探究：在旋转过程中四边形OMCN的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．

广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）（2012•聊城）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件【考点】随机事件．【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．故选：B．【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．2．（3分）（河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9＝0 B．x2＝x C．x2+3＝2x D．（x﹣1）2+1＝0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．解：A、x2+6x+9＝0△＝62﹣4×9＝36﹣36＝0，方程有两个相等实数根；B、x2＝xx2﹣x＝0△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0两个不相等实数根；C、x2+3＝2xx2﹣2x+3＝0△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，方程无实根；D、（x﹣1）2+1＝0（x﹣1）2＝﹣1，则方程无实根；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．（3分）（2002•宁夏）当x＜0时，函数y的图象在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数图象的性质可得．k＜0，x＜0时图象是位于第二象限．解：因k＝﹣3＜0，所以函数y的图象在二、四象限，又∵x＜0时，∴函数y的图象在第二象限．故选：C．【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．4．（3分）（长沙模拟）下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形【考点】轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（3分）（2012•哈尔滨）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．解：从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是．故选：B．【点评】本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．6．（3分）（2018秋•黄埔区期末）已知点M（﹣2，3）在双曲线y上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k进行分析即可．解：∵M（﹣2，3）在双曲线y上，∴k＝﹣2×3＝﹣6，A、3×（﹣2）＝﹣6，故此点一定在该双曲线上；B、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故此点一定不在该双曲线上；C、2×3＝6≠﹣6，故此点一定不在该双曲线上；D、3×2＝6≠﹣6，故此点一定不在该双曲线上；故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是反比例函数y经过的点横纵坐标的积是定值k．7．（3分）（2018秋•黄埔区期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】勾股定理；垂径定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，关键勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB＝2CA，代入求出即可．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：AC4，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AB＝2AC＝8，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出AC的长，题目比较典型，难度不大．8．（3分）（2011•无锡）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．解：圆锥的侧面积＝π×2×5＝10πcm2，故选：C．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．9．（3分）（晋江市）若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（）A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象的增减性做出正确的判定．解：∵反比例函数解析式中的2＞0，∴该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的增大而减小．又∵点P1（2，y1）和P2（3，y2）都位于第一象限，且2＜3，∴y1＞y2＞0．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析式．10．（3分）（衢州）抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝﹣6 B．b＝2，c＝0 C．b＝﹣6，c＝8 D．b＝﹣6，c＝2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．解：函数y＝（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2＝﹣1，﹣4+3＝﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移前的抛物线为y＝（x+1）2﹣1，即y＝x2+2x，∴b＝2，c＝0．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．二、填空题（本大题共6小题，每小3分，满分18分．)11．（3分）（2018秋•黄埔区期末）圆的半径为5cm，如果圆心到直线的距离为3cm，那么直线与圆有公共点的个数是2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直接根据直线到圆心的距离与半径之间的数量关系确定位置关系后，再判断公共点的个数．解：∵圆的半径为5cm，圆心到一条直线的距离是3cm，3＜5，即半径大于圆心到直线的距离，∴直线与圆的位置关系是相交，即直线与圆有2个交点．故2【点评】此题考查直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d＝r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．12．（3分）（2018秋•黄埔区期末）函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝2．【考点】二次函数的最值．【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其定点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．故2．【点评】本题考查二次函数的最值问题，二次函数是初中数学最重要的考点之一，掌握其顶点公式是解决问题的关键．13．（3分）（2019•徐州）方程x2﹣4＝0的解是x＝±2．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．解：x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，故x＝±2．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．14．（3分）（2018秋•黄埔区期末）若抛物线y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，则a的值是﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式求对称轴，即可求出a的值．解：∵抛物线y＝x2+2ax+3的对称轴是直线x＝1，∴1，解得，a＝﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握，知对称轴．15．（3分）（郑州模拟）若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为6．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设反比例函数解析式为y，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3×（﹣4）＝﹣2m，然后解关于m的方程即可．解：设反比例函数解析式为y，根据题意得k＝3×（﹣4）＝﹣2m，解得m＝6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．16．（3分）（2018秋•黄埔区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的面积为4π．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后根据圆面积公式即可得出结果．解：∵∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，∴AB10，∴△ABC的内切圆的半径（6+8﹣10）＝2，∴△ABC内切圆的面积＝π×22＝4π；故4π．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理以及圆面积公式；记住直角三角形内切圆半径的计算方法是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（9分）（2009•武汉）解方程：x2﹣3x﹣1＝0．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，∴x1，x2．【点评】此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．18．（9分）（2018秋•黄埔区期末）如图1，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2．【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．【分析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．解：（1）如图所示：A1（3，0），B1（1，﹣1），C1（2，2）；（2）如图所示：【点评】本题考查了利用轴对称、旋转变换作图等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．19．（10分）（2019•天山区校级三模）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价＝原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润＝第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，解得：x＝10，或x＝190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．20．（10分）（北塔区模拟）已知反比例函数y（k为常数，k≠1）．（1）其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为点P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（2）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y＝x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y的图象上，所以2，解得k＝5；（2）由于在反比例函数y图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取值范围即可；（3）反比例函数y图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2；解：（1）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y＝x的图象上，∴2＝m，即m＝2．∴点P的坐标为（2，2）．∵点P在反比例函数y的图象上，∴2，解得k＝5．（2）∵在反比例函数y图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得k＞1．（3）∵反比例函数y图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x2．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．21．（12分）（2019•杭州模拟）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要通过抽签从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：（1）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的只有2种情况，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为；（2）∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，∴恰好选到乙的概率是：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（12分）（滨州）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，所以顶点C的坐标是（2，﹣1），当x＜2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）解方程x2﹣4x+3＝0得：x1＝3，x2＝1，即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），过C作CD⊥AB于D，∵AB＝2，CD＝1，∴S△ABCAB×CD2×1＝1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．23．（12分）（呼伦贝尔）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．【考点】勾股定理；切线的判定．【分析】（1）在△AME中，由于AM2＝ME2+AE2，根据勾股定理的逆定理得到∠AEM＝90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；（2）连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OAr，ME＝1，OM＝r，根据勾股定理得到r2＝12+（r）2，然后解方程即可得到⊙O的半径．（1）证明：∵在△AME中，AM＝2，ME＝1，AE，∴AM2＝ME2+AE2，∴△AME是直角三角形，∴∠AEM＝90°，又∵MN∥BC，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，而AB为直径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OAr，ME＝1，OM＝r，∵OM2＝ME2+OE2，∴r2＝12+（r）2，解得r即⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．24．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．【考点】垂径定理；圆周角定理；切线