线性代数与解析几何矩阵

关于线性代数与解析几何矩阵第1页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五§2.1

矩阵与矩阵的运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵的运算第2页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入第3页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.第4页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第5页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五数域定义：对于一个至少含有0，1的复数集合的子集合F，如

果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）

仍在F中，那么F称为一个数域．所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数域、复数域），分别记为所有的奇数（偶数）都不能构成数域.第6页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五构成一个数域.通常用表示这个数域.例

集合证显然包含0,1并且对于加减法是封闭的.另外因为a,b,c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数.从而说明对乘法也是封闭的.设，则知对除法也封闭.第7页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作二、矩阵的定义（定义在数域F上）第8页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.第9页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式第10页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.第11页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如第12页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).2.元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：三、特殊的矩阵第13页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五3.行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.称为方阵的主对角线元素，所有主对角线元素的和称为方阵的迹，记为

第14页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五形如的方阵称为对角阵．

特别的，方阵称为单位矩阵．记作记作．第15页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义

设，称是A的负矩阵，其中第16页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例

某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第

j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j

种货物的数量．第17页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量第18页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五1、矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.第19页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五知识点比较第20页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)（A的负矩阵）．显然第21页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第22页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第23页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五2、数与矩阵相乘定义：数

k是复数域中的一个数，它与矩阵

A

的乘积记作

kA

或

Ak

，规定为第24页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.第25页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五知识点比较第26页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．第27页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．第28页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五可用矩阵表示为一般地，第29页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五4、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．第30页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：设则第31页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.第32页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例P.34例1.2

结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．第33页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律证明？

(3)

乘法对加法的分配律(2)

数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即矩阵乘法不一定满足交换律!!!第34页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五(5)

设A是一个n阶方阵，f(x),g(x)为复系数的多项式，则矩阵A的多项式f(A)和g(A)的乘法满足交换律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).第35页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：如果AB=BA,我们就称矩阵A，B可交换.证明和对角矩阵可交换的只能是对角矩阵.其中证设矩阵B可以和A可交换.其中第36页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五则第37页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五即依次比较两边矩阵的第一行，第二行，…….,可以得到故结论成立第38页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然,定义思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立第39页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五5、矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例第40页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五转置矩阵的运算性质第41页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：已知解法1第42页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五解法2第43页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义：设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵第44页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．第45页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五6、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.

显然，复矩阵A是实矩阵当且仅当.

第46页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例第47页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五（设A，B

为复矩阵，l为复数，且运算都是可行的）：性质第48页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五作业习题二1(3)(4)，5,7,11第49页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五§2.2

矩阵的分块第50页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？第51页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些水平线和垂直线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.这是2阶方阵吗？第52页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例分块矩阵第53页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五把矩阵A用水平线和垂直线分割成若干个小矩阵.如下图第54页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.第55页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分块矩阵的加法第56页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有形式上看成是普通矩阵的加法！第57页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分块矩阵的数乘第58页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五若l是数，且

则有形式上看成是普通的数乘运算！第59页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分块矩阵的乘法一般地，设A为ml矩阵，B为ln矩阵

，把A、B分块如下：第60页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分块矩阵的转置若，则例如：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．第61页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分块对角矩阵（补充）定义：设A

是n

阶矩阵，若

A

的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称A

为分块对角矩阵．例如：第62页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质第63页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五证明：要使得|AB|=|A||B|

有意义，A、B

必为同阶方阵，假设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我们以

n=3为例，构造一个6阶行列式第64页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第65页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第66页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五令，则

C=(cij)=AB．第67页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五从而．第68页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五§2.3

矩阵的秩一、矩阵的初等变换二、矩阵的秩第69页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五引例：求解线性方程组①②③④一、矩阵的初等变换第70页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五①②③④①②③÷2①②③④第71页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④第72页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④第73页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五④－2×③③④①②③④①②③④第74页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五取x3

为自由变量，则令x3=c

，则恒等式①②③④第75页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，记作；一个方程加上另一个方程的k倍，记作.

其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj第76页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：交换矩阵中的两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换第77页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．第78页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.阶梯形矩阵若某行中每个元素都为0，则位于该行下面各行元素也全为0.若有非零元素且非零元素出现于前r行，而对于i=1,2,…,r,第i行中左起第1个非零元素为,则.第79页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例是阶梯形矩阵，而不是阶梯形矩阵.第80页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五证设m×n

矩阵A

若所有的均为0，则显然A是阶梯形矩阵.定理任意一个矩阵都可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵.第81页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五否则，设A的第列的元素均为0，而第列有非零元素.利用矩阵的初等变换其中.依次类推.

第82页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例把化成阶梯形矩阵.

第83页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五解

第84页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五（续）考虑列初等变换

第85页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定理任意一个m×n矩阵A都可与一个形如的矩阵等价.为A的等价标准形.第86页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五任何矩阵阶梯形矩阵等价标准形矩阵一系列初等行变换一系列初等列变换一系列初等变换结论第87页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五二、矩阵的秩的概念定义：在m×n

矩阵A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2

个元素按原来的顺序组成的k

阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式第88页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A

的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式第89页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．第90页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

数r

称为矩阵

A

的秩，记作r(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．第91页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A

中有某个s

阶子式不等于零，则r(A)≥s； 若矩阵A

中所有t

阶子式等于零，则r(A)<t

．若

A为n阶矩阵，则A的n

阶子式只有一个，即|A|． 当|A|≠0时，r(A)=n;

（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．

当|A|=0时，r(A)<n;

（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若

A为m×n

矩阵，则0≤r(A)≤min(m,n)．r(AT)=r(A)．第92页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五矩阵A的一个2阶子式矩阵AT

的一个2阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而r(AT)=r(A)．第93页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求矩阵A

和B

的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此r(A)=2．第94页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此r(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？第95页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论：阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．第96页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五证明

只需证明A经过一次初等变换化成,有定理初等变换不改变矩阵的秩.下面以列变换为例，按三种初等列变换分别论证.第97页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五设.要证的任意k(k>r)阶子式

D全为零，为此对A按列分块，设经过初等变换后变为取B的任意一个k(k>r)阶子式D,记是D中分别对应于的列.则D有三种情形.第98页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五(1)

D中不含B的第i列，这时D就是A的子式.则D=0.(2)D中含B的第i列，但不含B的第j列,这时(3)D同时含B的第i列和第j列,第99页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五B中高于r阶的子式都为0，所以，同理可得

.结论成立.第100页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分析

比较矩阵A、B的等价标准形.性质1两个矩阵A、B等价的条件是当且仅当它们有相同的秩.性质2阶梯形矩阵的秩等于它非零行的数目.第101页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求矩阵A

的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．第102页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？第103页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求矩阵的秩。第104页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五解：第一步先用初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵．阶梯形矩阵有3个非零行，故r(A)=3

．第105页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五分析：对B

作初等行变换变为阶梯形矩阵，设B

的阶梯形矩阵为，则就是A

的阶梯形矩阵，因此可从中同时看出r(A)及r(B)．例：设，求矩阵A

及矩阵B=(A,b)的秩．解：r(A)=2r(B)=3第106页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五§2.4

矩阵的逆第107页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是n阶方阵.

从乘法的角度来看，n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位类似于1在复数中的地位．一个复数a

≠0的倒数a－1可以用等式aa－1

=1来刻划.类似地，我们引入对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A，都有第108页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义：

n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的（如果有的话）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵， 记作A－1.第109页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：已知,则例：已知,求其逆矩阵.第110页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五性质：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且第111页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A－1

？第112页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：已知,则A不存在逆矩阵.假设存在逆矩阵则而,矛盾.第113页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义设矩阵称矩阵为矩阵A的伴随矩阵。元素的代数余子式位于第i行第j列第114页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定理

矩阵Ａ可逆的充要条件是，且当Ａ可逆时，有：

证明若可逆，第115页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五由定义得第116页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求二阶矩阵的逆矩阵.第117页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：求3阶方阵的逆矩阵.解：|A|=52，则第118页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例：设方阵A满足,证明A,A+2E都可逆.

第119页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五方阵A可逆此时，称矩阵A为非奇异矩阵容易看出：对于n阶方阵A、B，如果那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.第120页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例

的系数矩阵是一个n阶方阵A

，若A可逆,则线性方程组有唯一的解.第121页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五证明：记则上述线性变换可记作AX=b．存在性:由于A可逆,则，于是唯一性:假设有另一解,则第122页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例设其中为可逆矩阵,为可逆矩阵，求A的逆.第123页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五§2.5

初等矩阵第124页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.互换单位矩阵的两行（列）；(2)以常数

k≠0

乘单位矩阵的某一

行（列）；(3)以

k

乘单位矩阵的某一

行（列）加到另一

行（列）

．一、初等变换与矩阵乘法的关系第125页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五(第I种类型的初等矩阵)n阶单位矩阵的第

i,j行（i>j）互换，记为P(i,j).第i行第ｊ行第126页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五记作

P(3,5)第127页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第128页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第129页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五(2)(第II种类型的初等矩阵)以常数

k≠0

乘单位矩阵第

i行,

记为P(i(k)).第i行第130页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五记作

P(3(k))第131页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第132页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五(3)(第III种类型的初等矩阵)以

k

乘单位矩阵第

j行加到第

i行,记作

P(i,j(k))．第i行第ｊ行第133页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五记作

P(3,5(k))第134页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第135页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五结论把矩阵A的第i行与第j行对换，即.把矩阵A的第i列与第j列对换，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i行，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.第136页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定理(定理5.1)

设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.第137页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例已知求P(3,1(2))A,AP(2,3).P(3(3))A.第138页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五初等变换初等变换的逆变换初等矩阵?第139页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五所以．一般地，．第140页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五所以．一般地，．?第141页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五所以．一般地，．?第142页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?第143页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五定理

任意一个矩阵A都和一形如

的矩阵等价。（P45）第144页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五由上述定理可得定理

对任意矩阵,r(A)=r,存在一系列和n阶初等矩阵使得第145页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五推论1

若矩阵A为n阶可逆矩阵，则存在n阶初等阵，使从而推论2

若矩阵A为n阶可逆矩阵，则存在n阶初等矩阵Q1,Q2,…,Ql，使AQ1

Q2…,Ql=E．从而第146页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五初等变换的应用若矩阵A为n阶可逆矩阵，则存在n阶初矩阵使，从而即对矩阵(AE)执行初等行变换,当把A变成E时，原来的E变成.第147页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五

解例１第148页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第149页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五即初等行变换第150页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五例２解第151页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第152页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五第153页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五列变换行变换第154页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五作业习题二16,20,24第155页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五概念特殊矩阵

m×n个数aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

构成的数表.单位距阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵.对角矩阵:主对角元素是其余元素都是零的n阶方阵.对称矩阵:矩阵主要知识网络图AT=A.反对称矩阵:

AT=－A.矩阵2第156页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五运算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij).AB=C其中A与B同型.的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必须是方阵.伴随矩阵

n阶行列式的|A|所有元素的代数余子式构成的矩阵.AT:AT第157页，共170页，2022年，5月20日，23点9分，星期五逆矩阵概念求法证法如果AB=BA=E,则A可逆，B是A的逆矩阵.用定义.用伴随矩阵分块对角矩阵|A|

≠0,A可逆

.|A|=0,A不可逆

.AB=E,A与B互逆.