相似原则与缩尺模型试验

相似理论论与模模拟实验验授课对象：研研究生授课教师：姚姚直书二О一一年二月1概述述1.1引言人们在对自然然规律的不倦倦探索过程中中，首先采用用数理分析的的方法对自然然现象进行计计算和分析，，这是人们探探索自然的一一种有力工具具。随后采用用现场测试来来解决一些比比较直观的现现象，推动了了生产的发展展。但自然界界的现象毕竟竟是错综复杂杂的。有许多多实际问题至至今靠高等数数学尚不能全全部解决或根根本无法解决决，于是迫使使人们不得不不走直接实验验的道路。但最先人们采采用直接实验验的方法发现现它有着较大大的局限性，，在于它常常常只能得出个个别量之间的的规律性关系系，难以发现现或抓住现象象的本质（全全部），从而而无法向实验验条件范围以以外的同类现现象推广。但通过人们长长期实践、总总结，一种用用于指导自然然规律研究的的全新理论——“相似理论”便应运而生了了。它是把数数学解析法和和试验法的优优点结合起来来，用来研究究和解决生产产和工程中的的问题。这是是科学研究的的主要方法之之一，也是解解决生产和工工程问题的一一种有效方法法。从而扩展展了人们探索索自然奥秘的的领域。当今，社会生生产在不断发发展，各个产产业部门所提提出问题日益益复杂和繁多多。用数学解解析法（理论论解）来解决决这些课题愈愈来愈感到困困难。有些课课题至今尚未未得到解析解解，或者只作作一些假设或或简化后再求求解，因而带带来了一些误误差。为了解解决生产中和和工程中提出出的问题，人人们开展了模模型试验研究究。各种研究方法法比较：理论分析法——解析解较多。。数值计算——仿真分析——由于土木工程程的一些不确确定因素，输输入参数难以以精确，还有有模型简化等等问题，存在在一定局限性性。现场实测——只有在工程施施工过程中进进行，投入较较大，周期长长。模型实验——可使工程中发发生的现象在在实验室中再再现出来，而而且还可以对对试验中主要要因素进行独独立控制。与与现场实测相相比，可进行行方案的前期期优化，具有有省时、省力力的优点。1.2相似理论相似理论——是说明自然界界和工程中各各种相似现象象相似原理的的学说。它的的理论基础，，是关于相似似的三个定理理。以相似理论为为指导，形成成研究自然界界和工程中各各种相似现象象的新方法，，即所谓的“相似方法”。“相似方法”——是一种可以把把个别现象的的研究成果，，推广到所有有相似的现象象上去的科学学方法。“模拟”——一般情况是指指在实验室条条件下，用缩缩小的（特殊殊情况下也有有放大的）模模型来进行现现象的研究。。“模拟试验”——用人工的方法法再现自然界界的某一现象象。模拟：（a）、原型；(b)、模型。这样，又引伸伸出“模型试验”的概念。模型试验是相似方法的的重要内容。。在研究中起起着很重要的的作用，从相似理论的的角度出发，，“模型”——是与物理系统统密切有关的的装置，通过过对它的观察察与试验，可可以在需要的的方面精确地地预测系统的的性能。这个个被预测的物物理系统，通通常被叫做“原型”。根据这个定义义，为了利用用一个模型，，当然有必要要在模型与原原型间满足某某种关系。这这种关系称为为模型设计条件件，或系统的相相似性要求。。由此可见，相相似理论与模模型试验的关关系是十分密密切的，是整整个问题的两两个组成部分分。1.3模型试验的意意义和现状模型试验的意意义，可从五五个方面加以以说明：①模型试验验作为一种研研究手段，可可以严格控制制试验对象的的主要参数而而不受外界条条件和自然条条件的限制，，做到结果准准确。②模型试验验有利于在复复杂的试验过过程中突出主主要矛盾，便便于把握、发发现现象的内内在联系。并并且有时可用用来对原型所所得结论进行行校验。③由由于于模模型型与与原原型型相相比比，，尺尺寸寸一一般般都都是是按按比比例例缩缩小小的的。。故故制制造造加加工工方方便便，，节节省省资资金金、、人人力力和和时时间间。。①模型型试试验验能能预预测测尚尚未未建建造造出出来来的的实实物物对对象象或或根根本本不不能能直直接接研研究究的的实实物物对对象象的的性性能能。。②当其其它它各各种种分分析析方方法法不不可可能能采采用用时时，，模模型型试试验验就就成成了了现现象象相相似似性性问问题题唯唯一一的的和和更更为为重重要要的的研研究究手手段段。。目前前，，相相似似理理论论和和模模型型试试验验方方法法已已用用于于物物理理、、化化学学、、工工程程结结构构、、热热力力学学、、气气象象、、航航天天等等各各个个领领域域，，并并有有着着广广泛泛的的应应用用前前景景。。1.4物理理模模拟拟和和数数学学模模拟拟模拟拟试试验验———简单单地地说说，，是是用用人人工工的的方方法法再再现现自自然然界界的的某某一一现现象象。。物理理模模拟拟———是指指基基本本现现象象相相同同情情况况下下的的模模拟拟，，也也称称为为同同类类模模拟拟。。这时时模模型型与与原原型型的的所所有有物物理理量量相相同同，，物物理理本本质质一一致致。。区区别别只只在在于于各各物物理理量量的的大大小小比比例例不不同同。。（两两个个现现象象物物理理量量及及其其性性质质相相同同，，只只有有大大小小不不同同））。。数学学模模拟拟———是指指存存在在于于不不同同类类型型现现象象之之间间的的模模拟拟这这时时模模型型与与原原型型的的物物理理过过程程有有本本质质的的区区别别，，但但它它们们的的对对应应量量都都遵遵循循着着同同样样的的方方程程式式，，具具有有数数学学上上的的相相似似性性。。如如二二阶阶运运算算子子:▽▽2=的微微分分方方程程，，它它可可代代表表重重力力场场、、电电势势场场、、温温度度场场等等。。这这时时，，人人们们只只要要对对不不同同的的物物理理量量建建立立起起一一一一对对应应关关系系，，便便可可用用一一个个现现象象去去类类比比另另一一不不同同现现象象的的解解。。在工工程程中中，，常常用用电电场场来来模模拟拟温温度度场场、、材材料料的的应应力力场场和和有有限限自自由由度度的的振振动动系系统统。。下面面以以单单自自由由度度振振动动系系统统的的电电模模拟拟法法为为例例来来说说明明这这个个问问题题。。右边边代代表表一一个个L—R—C串联联电电路路，，现现在在要要由由它它来来模模拟拟左左边边由由k，m，u组成成的的单单自自由由度度振振动动系系统统。。作为为它它们们一一一一对对比比的的量量是是：：电感感L质量量m电阻阻R阻尼尼u电容容C弹簧簧k外加加电电压压E外力力F，电荷荷q位移移y，(———单位位时时间间的的电电荷荷变变化化量量。。)它们们之之间间方方程程式式和和初初始始相相似似性性在在于于：：ky=F(t)t=0时，，y=y0，。。L+Rt=0时,q=q0，。。所以以，，只只要要适适当当地地选选择择各各种种物物理理量量和和初初始始条条件件，，就就能能使使y(t)和q(t)在对对应应的的时时间间内内完完全全成成比比例例地地变变化化因此此，，通通过过测测量量各各种种电电量量就就能能换换算算出出位位移移、、速速度度等等机机械械量量。。类似似这这种种电电路路系系统统，，当当其其适适应应性性很很强强时时，，就就是是通通常常所所说说的的模模拟拟计计算算机机。。（（仿仿真真系系统统））。。物理理模模拟拟和和数数学学模模拟拟各各有有其其特特点点:物理理模模拟拟可可把把具具体体的的现现象象再再现现出出来来，，较较之之数数学学模模拟拟能能更更全全面面地地表表现现被被模模拟拟的的现现象象。。数学学模模拟拟由由于于以以方方程程为为基基础础，，可可较较方方便便地地看看出出各各种种参参量量对对结结果果的的影影响响。。物理理模模拟拟试试验验：：相相似似材材料料模模型型试试验验；；光弹弹性性模模拟拟试试验验；；其它它模模拟拟试试验验：：离离心心模模型型试试验验；；底摩摩擦擦模模型型试试验验（（模模拟拟重重力力场场））。。测试试技技术术：：电电测测光测测声测测测试试系系统统：：传传感感器器→→量量测测仪仪表表→→记记录录分分析析器器。。2量纲纲理理论论2.1量纲纲———物理理量量的的广广义义度度量量单单位位，，相相同同的的物物理理量量具具有有相相同同的的量量纲纲。。如尺尺寸寸（（长长度度））———[L]力[F]时间间[T]它是是表表示示物物理理量量的的种种类类，，不不是是单单位位。。如长长度度单单位位有有m，cm，mm，但但量量纲纲皆皆为为[L]。2.2．基基本本量量纲纲与与导导出出量量力学学系系统统：：[F]、[L]、[T]为基基本本量量纲纲。。基本本量量纲纲具具有有：：(a)、独独立立性性(b)、完完整整基本本量量纲纲不不是是固固定定不不变变的的，，可可根根据据具具体体研研究究问问题题决决定定。。一一般般选选[F]、[L]、[T]较为为方方便便。。v[v]=[L]/[T]导出出量量纲纲：：根根据据定定义义、、定定律律由由基基本本量量纲纲导导出出的的量量纲纲。。F=mam=[M]=导出出量量纲纲：：某一一量量：：[Q]=[La·Fb·Tc][M]=[F][T2]/[L]则a=-1b=1c=2无量量纲纲量量：：如如应应变变ε[εε]=[L0FºTº]=[1]泊松松比比u无量量纲纲量量：：与与单单位位无无关关，，模模型型大大小小可可不不相相同同。。2.3微商商的的量量纲纲s与ds的量纲皆皆为[L]。t与dt的量纲皆皆为[T]。v=，[V]=a=，[a]=2.4量纲的性性质a、相同的的物理量量具有相相同的量量纲，但但相同的的量纲具具有不同同的物理理量。如应力和和弹性模模量，σ、E，b、同量纲纲的物理理量的比比值为无无量纲的的量，此此量与单单位无关关。（ε=σ/E）c、基本量量纲的组组合不能能成为无无量纲的的量，但但基本量量纲与导导出量纲纲的组合合可成为为无量的的量。如，,2．5量纲的齐齐次原则则一个物理理方程各各项的量量纲相同同，称为为量纲齐齐次原则则。对于完全全方程，，除以方方程中的的任一项项，将变变为无量量纲的量量。如：s=v0t+[L]但对于非非完全方方程如P=0.013H(重液公式式)则不成立立。2.6量纲分析析基本量纲纲为:[L][M][T]例1、现在研研究一个个动力学学问题，，即m、t、v、F间相互互关关系，简简写为：：F=f(m,t，v)F=k.ma.tb.vc[F]=k[MaTb]①①[F]=[M.L.T-2]②②两式量纲纲相同：：a=1,b-c=-2c=1所以F=kmt-1v=k(——牛顿准则则。例2：均布荷载载作用下下简支梁梁的跨中中挠度。。[解]y=f(q，EI，L)基本量纲纲：[F][L]静力学问问题，与与时间无无关。[y]=[L]y=kqa(EI)b.Lc[L]=k[FaL-a.(FbL-2b.L4b).Lc][L]：1=-a-2b+4b+c①①[F]：0=a+b②②∴∴y=kq-b[EI]bL1-3b令：d=-b∴∴y=k做二次试试验后解解得：d=1,k=∴y=从上面二二例可以以看出，，采用量量纲分析析法求等等式的关关键在于于：选择的物物理参数数要正确确。量纲分析析法除了了求导相相似准则则外，还还可用于于：（1）、导出出无量纲纲量；（（2）、可简简化方程程，把多多个物理理量减少少等，其其用途较较多。3、相似似理理论3.1相似概论论相似——两种物理理量对应应时刻的的对应点点成比例例，可称称相似。3.1.1几何相似似——对应尺寸寸成比例例。如两个三三角形相相似，对对应边成成比例，，比例值CL称为几何相似似常数。对应角相相等（角角度为无无量纲的的量）。。CL1-2=相似常数数相似常数数——一对相似似现象中中所有对对应点在在对应时时刻上同同一物理理量均保保持其比比值不变变。=idom（相似不不变量））相似不变变量——在对应点点和对应应时刻上上保持相相同的数数值。所有相似似相象的的相似不不变量是是一个常常数，不不变的。。它是一一个无量量纲的量量。一个现象象中的几几个量的的比值，，在所有有与它相相似的现现象中保保持不变变。在所有相相似现象象中，某某一量（（无量纲纲综合数数群）在在相对应应点和相相对应时时刻上保保持相同同的数值值。梁的截截面模模量w=Cw=CI=C3.1.2物理相相似荷载相相似——模型与与原型型在对对应点点上同同一时时刻的的对应应荷载载成比比例。。（荷载载方向向相同同，大大小成成比例例）。。集中荷荷载相相似：：（（集集中荷荷载相相似常常数））。令几何何相似似常数数荷载集集度相相似常常数cq=弯矩相相似常常数cm=自重相相似常常数，，压强强：c密度：：c如果模模型与与原型型在对对应点点的荷荷载相相似（（成比比例）），只只要其其中一一种荷荷载相相似常常数已已定，，则其其它种种荷载载常数数也就就确定定了。。弹性模模量相相似常常数面力：：3.1.3运动相相似时间相相似:时间相相似常常数（距离离相似似）则速度度相似似常数数:研究动动力学学还有有质量量相似似：对于均均质物物体可可用密密度来来表示示：动力学学问题题:F=ma.cF=cmca=cρ.c3L.cL.ct-2∴动力学学相似似指标标3．1．4边界相相似力学：：边界界约束束条件件等。。平面面应力力模型型平面应应模型型模型试试验中中约束束条件件很重重要。。3.1.5起始条条件相相似初始条条件，，如运运动学学中初初始振振动相相位等等3.2相似第第一定定理它是说说明相相似现现象的的性质，模型型与原原型相相似，，那么么应具具有：：a、在对应应点对对应时时刻成成比例例。b、变化规规律相相同，，可用用相同同的关关系方方程式式来描描述。。其中大大多数数的物物理现现象，，其关关系方方程又又可用用微分分方程程的形形式获获得，，如质点点运动动方程程和力力学方方程分分别为为：c、各相似似常数数值不不能任任意选选择，，它们们要服服从于于某种种自然然规律律的约约束。。下面我我们以以速度度公式式为例例具体体说明明：（1）代入有有关相相似常常数得得：（（2）（1）式实实际上上可用用于描描述彼彼此相相似的的两个个现象象。这这时第第一现现象质质点的的运动动方程程为：：（3）第二现现象质质点运运动方方程为为：（（4）将式（（2）代入入式（（4），亦亦即在在基本本微分分方程程中对对参数数作相相似变变换，，可得：：（（5）作相似似变换换时，，为了了保持持基本本微分分方程程（3）、（（5）的一致致性,需使：故以后，我们们把C称为相似指标，其意义在在于：对于于相似现象象，它的数数值为1。同时也说明明，各相似似常数不是是任意选择择的，它们们的相互关关系要受“C值为1”这一条件的的约束。换言之，在在cv、ct、cL三者中，只只有二者可可任意选择择，余者由由上式确定定。这种约束关关系还可以以采取另外外的形式，，将相似常常数cL等代入得：：或不不变变量同理对于f=ma，得：或或不不变量量。上两式的综综合数群和和，，都都是不变量量，它们被被称之为相似准则。应该注意：：相似准则则的概念是是“不变量”，而非“常量”。所说不变变量，是因因为相似准准则这一综综合数群只只有在相似似现象的对对应点和对对应时刻上上才相等。。如果由微分分方程说明明的现象，，取同一现现象的不同同点，则因因其物理变变化过程的的不稳定性性，有：所以，相似似准则只能能说成是不不变量，不不能说成是是常量。相似第一定定理：两相似现象象的相似指指标为1，相似准则则相同。相似指标——相似现象的的比例常数数。相似准则——相似现象应应遵守的规规律。相似准则与与相似常数数是不同的的，它是总总合地而不不是个别地地反映单个个因素的影影响，能更更清楚地显显示过程的的内在联系系。当用相似第第一定理指指导模型研研究时，首首先重要的的是导出相相似准则，，然后在模模型试验中中测量所有有与相似准准则有关的的物理量。。当微分方程程较简单时时，找出相相似准则并并不困难。。但当方程无无从知晓时时，或是很很复杂时，，应采用其其它的方法法。当现象的相相似准则数数超过一个个时，问题题便进入了了相似第二二定理的范范畴。3.3相似第三定定理相似的充分分必要条件件。相似现象应应遵守的条条件：①两相似现象象一定能用用一个方程程组来描述述。②单值条件相相似。几何条件（（几何相似似）物理条件：：荷载介质的E、μ、R（强度）。。运动条件：：t、v边界条件始初条件(3)由单值量组组成的相似似准则要相相等。——充分必要条条件（而不是任任意的相似似准则要相相等）。单值量——是指单值条条件下的物物理量。而而单值条件件是将一个个个别现象象从同类现现象中区分分开来。相似第一定定理是从现现象已经相相似这一事事实出发来来考虑问题题的，它说说明是相似似现象的性性质。设有二现象象相似，它它们都符合合质点运动动的微分方方程V=，如图所示示的两组相相似曲线（（实线）。。得到：图中“1”、“2”为两现象的的对应点。。现在，设想想通过第二二现象的点点1和点2，找出同类类的另一现现象——第三现象，，图中虚线线所示。显然，第二二、第三现现象的曲线线并不重合合，故第三三现象与第第一现象并并不相似，，说明通过过点1、点2的现象并不不都是相似似现象。为了使通过过点1、点2现象取得相相似，必须须从单值条条件上加以以限制。如如在这种情情况下，加加入初始条条件：t=0，v=0，L=0。这样，既有有初始条件件的限制，，又有单值值量组成的相似准则则值值一致，两两个现象便便必相似。。由此看来，，同样是值值相相等，相似似第一定理理未必能保证现现象的相似似，而第三三定理从单单值条件上上对它它进行补充充，保证了了现象的相相似。因此，第三三定理是构构成相似的的充要条件件。严格地地说，这也也是一切模模型试验应应遵循的理理论基础。。3.4相似第二定定理（π定理）相似第二定定理可表述述为：设一个物理理现象如果果含有n个物理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=0，其中有m个为基本物物理量（其其量纲是相相互独立的的），那么么这n个物理量可可表示成是是（n-m）个相似准准则π1、π2、…πn-m之间的函数数关系：f(π1、π2、…πn-m)=0(1)准则方程。。π定理的作用用：对于彼此相相似的现象象，在对应应点和对应应时刻上相相似准则都都保持同一一值，所以以它的π关系式也应应当是相同同的。一般般用下标“p”和“m”分别表示原原型和模型型，则π关系式分别别为：f1(π1、π2、…πn-m)p=0f2(π1、π2、…πn-m)m=0(2)其中：π1m=π1pπ2m=π2p(3)π(n-m)m=π(n-m)p(4)由（4）式可见，，如果把某某现象的实实验结果整整理成（1）式所示的的无量纲的的π关系式，则则该关系式式便可推广广到与它相相似的所有有其它现象象上去。而在推广的的过程中，，由式（4）可知，并并不需要列列出各π项间真正的的关系方程程（不论该该方程发现现与否）。。基本物理量量：具有基基本量纲的的物理量。。而准则方程程是无量纲纲量。我们们不能由基基本物理量量组成n个准则方程程。如设想n=m的特殊情况况，这时所所有参量的的量纲是相相互独立的的，故其自自身便无法法构成任一一个无量纲纲组合的相相似准则。。（否则，，如何将其其量纲消去去）。当由n个物理量、、构成n-m个π项，每个π项中必定要要有一个物物理量区别别于其它π项的独立变变量。定性准则——由单值条件件组成的相相似准则。。非定性准则则——由非单值条条件组成的的相似准则则。有时，可由由定性准则则导出非定定性准则。。由此可见，相似第二二定理是十十分重要的的，它可用用于多相似似准则之间间的模拟。。但是，在在它的指导导下，模型型实验结果果能否正确确推广，关关键又在于于是否正确确地选择了了与现象有有关的物理理量。对于一些复复杂的物理理现象，由由于缺乏微微分方程的的指导，问问题较难。。4、相似准则的的导出方法法作为相似第第二定理的的补充，必必须找到相相似准则的的导出方法法。相似准则的的导出方法法常用有：：定律分析析法、方程程分析法、、量纲分析析法三种。。从理论上说说，三种方方法可得到到同样的结结果，只是是用不同的的方法来对对物理现象象（或过程程）作数学学上的描述述。4.1用定律分析析法导出相相似准则这种方法要要求人们对对所研究的的现象运用用已掌握的的全部物理理定律，并并能辨别其其主次。一一旦这个要要求得到满满足，问题题的解决并并不困难，，而且还可可获得数量量足够的、、反映现象象实质的π项。但这种方法法的缺点是是：①只是是就事论事事，看不出出现象的变变化过程和和内在联系系，故作为为一种方法法，缺乏典典型意义。。②由于必必须要找出出全部物理理定律，所所以对于未未能全部掌掌握其机理理的、较为为复杂的物物理现象，，运用这种种方法是不不可能的。。关于这方面面内容，大大家可参考考有关资料料。4.2用方程分析析法导出相相似准则这里所说的的方程，主主要是指微微分方程，，此外，也也有积方程程，积分—微分方程。。这种方法法的优点是：①结构严严密，能反反映对现象象来说最为为本质的物物理定律，，故结论可可靠。②分析过过程程序明明确，不易易出错。③各种因因素的影响响地位一览览无遗，有有利推断、、比较和检检验。缺点：在方程尚尚处于建立立阶段时，，需要人们们对现象的的机理有深深入的认识识。求解方方程有时难难以得到完完整解。用方程分析析法求相似似准则时，，主要有：：相似转换换法和积分分类比法。。作为实例例，现在考考察图右的的“弹簧—质量—阻尼”系统。研究y的函数关系系。系统有7个变量：变量：量量纲纲位移L质量FL-1T2阻尼系数FL-1T弹簧刚度FL-1初始速度v0LT-1初始距离y0L时间tT显然，表中中除位移y外，均为独独立变量因因此，，如考虑基基本量纲数数为3，则独立相相似准则为为：（7-1）-3=3个。4.2.1相似转换法法其步骤为：：①写出现现象的基本本微分方程程。质量的位移移方程为：：m(1)②写出全部单单值条件，，第一现象象用“′”表示，第二二现象用“″”表示，因此此可得各参参量的相似似常数为：：考虑物理条条件相似时时：cm=,cu=,ck=考虑边界条条件相似时时：cy=,考虑起始条条件相似时时(此时t=0)cv0=,cy0=(2)③将微分方程程按不同现现象写出：：m′(3)m″(4)④进行相似转转换。将“″”参量用“′”参量代替，，式（4）按（2）的关系代代入得：（5）作相相似似变变换换时时，，为为了了保保证证基基本本微微分分方方程程的的一一致致性性，，各各项项系系数数必必须须彼彼此此相相等等，，即即：：故得得两两相相似似指指标标方方程程如如下下：：(6）（7）另一一个个相相似似指指标标方方程程要要由由分分析析起起始始条条件件建建立立，，即即当当t=0时，，，y=y0,若这这时时考考虑虑二二现现象象，，可可得得：：，，y′′=y,y″″=y也进进行行相相似似转转换换，，得得：：cy=cy0（8）⑤将式（2）所表示的相相似常数值代代入（6）（7） （8）式，可得相相似准则式为为：不变量=π1不变量=π2不变量=π3此处，即即为独独立的相似准准则。非独立相似准准则为：y/y0，综合以上，可可构成π关系式为，π方程式：4．2．2积分类比法积分类比法是是一种比较简简单的办法，，一般都用它它来代替相似似转换法。其其步骤如下：：m(1)①写出现象的基基本方程（或或方程组）及及其全部单位位条件。。同前。②用方程中的任任一项除其它它各项（如前前例中）：③将各项项中涉及的导导数用相应量量比值，即所所谓的积积分类比来代代替。就是说说，将所有微微分符号去掉掉，仅留下量本身的的比值，就是是以则则：U,ky/m,对于统统一代替物v/L。④上面两式的相相似准则由于于只利用了物物理和边界两两种单值条件件的参量，故故利用起始条条件，可另立立二式如下，，即t=0时：y=y0，对前式进行积积分类比得：：不变量由后式则可得得因变量л项为：。。⑤至此，各л项全部求得：：其л关系式为：上式中给出的的л关系式并不合合理，因为在在自变л项中中带有待测测因变参量y，不利于模型型试验的进行。。为此可将初初始条件代入入л项，使之改换成而而л关系式也因此此变为：4．3用量纲分析法法导出相似准准则量纲分析法是是在研究现象象相似性问题题的过程中，，对各种物理理量的量纲进进行考察时产产生的。它的的理论基础是是量纲的齐次次原理。量纲分析法的的优点：对于于一切机理尚尚未彻底弄清清，规律也未未充分掌握的的复杂现象来来说，尤其明明显。它能帮帮助人员迅速速通过相似性性实验核定所所选参量的正正确性，并在在此基础上不不断加深人们们对现象机理理和规律的认认识。在定律分析法法、方程分析析法和量纲分分析法三种中中，后二种方方法用得较多多，其中又以以量纲分析法法为多。它是是解决近代工工程技术问题题的重要手段段之一。当所研究的物物理现象较为为复杂时，要要通过量纲方方程来说明问问题就很困难难，往往会遗遗漏、错选与与现象有关的的主要参量。。这就要求人人们通过实践践不断摸索，，抓住主要参参量，得出近近似的结果，，即“近似模拟”。通过相似理论论证明，在复复杂现象中，，因量纲分析析法的弱点而而产生的近似似模拟，常常常是比较合理理的。相似准则的导导出：当用量纲分析析法决定相似似准则时，我我们需知道现现象所包含的的物理量就可可以了。但当当物理量很多多时，л项的数目也会会多起来，决决定它们并不不容易。下面面从简单例子子说起。例一：自由落落体参量为s,g,t,如果参量选择择正确，即相相似准则可取取如下形式：：л=sagb.tc将量纲代入：：[л]=[L0t0]=[L]a[LT-2]b[T]c两边量量纲相相等：：L：a+b=0T:-2b+c=0上式为为二个个方程程，三三个未未知数数，故故无法法解出出a、b、c具体值值。为为此需需设定定其中中一个个值。。若设设a=-1，可得得：b=1，c=2，便可可求得得：л=如设a=1，b=-1，c=-2，则可可得：：л′=也是相相似准准则。。例二、、质点点的力力学方方程参数为为f，m，v，t，则相相似准准则可可取如如下形形式：：л=fambvctd[л]=[F0L0T0]=[F]a[FL-1T2]b[LT-1]c[T]dF:a+b=0L:-b+c=0T:2b-c+d=0得л=上面二二例，，都符符合相相似第第二定定律关关于相相似准准则数数的论论述，，即3-2=1，4-3=1。上面为为单个个相似似准则则，如如为多多个相相似准准则，，可采采用量纲矩矩阵的方法法，它它为人人们求求取具具体相相似准准则提提供了了一种种更为为直观观的形形式。。方法法如下下：对于我我们前前面用用方程程分析析法导导出相相似准准则的的例子子（此此为“弹簧—质量—阻尼”系统））：该系统统有7个变量量分别别为y、m、u、k、v0、y0、t。如果我我们不不知道道它们们的关关系式式如何何，可可令其其为：：f(y，m，u，v0，y0，t)=0其准则则关系系式为为：л=将量纲纲矩阵阵的上上方加加上各各参量量的指指数就就行了了。a1a2……a7即为指指数，，则量量纲矩矩阵如如下所所示。。它们的的量纲纲矩阵阵是：：（上式中中：m：FL-1/T2，u：FL-1T，k：FL-1）按此矩阵阵，可得得三个线线性齐次次代数方方程如下下：F：L：T：三个方程程无法解解出7个未知数数，故应应使未知知数中的的三个转转化为其其余4个未知数数的函数数关系。。设a4、a5、a7为三个方方程中的的任意假假定的已已知量，，则a1、a2、a3分别为：：(1)因本例中中相似准准则数为为：7-3=4个，（独独立的为为3个）。故故a4、a5、a6、a7应前后设设定四套套数值。。最简单单的为办办法是设设其中一一个值为为1，而其余余值为0，因此：：当a4=1,a5=a6=a7=0时，可得得：a1=0a2=1a3=-2；当a5=1,a4=a6=a7=0时，可得得：a1=-1a2=1a3=-1；当a6=1,a4=a5=a7=0时,可知：a1=-1a2=0a3=0；当a7=1,a4=a5=a6=0时,可得：a1=0a2=-1a3=1。此解可简简明地列列矩阵形形式，取取名为π矩阵：从上面π矩阵可以以看出，，第一、、二、三三列所代代表的四四行恰好好是式（（1）各方程程中等号号右侧a4、a5、a6、a7的系数。。而四、、五、六六、七列列则构成成单位矩矩阵。掌掌握了这这个特点点，可以以很快地地将π矩阵写出出。在π矩阵中，，每一行行代表无无量纲乘乘积的一一组指数数。据此此，可建建立起数数目与行行数相同同的各独独立π项来。分分别为：：π1=mu-2k=π2=y-1mu-1v0=π3=y-1y0=π4=m-1ut=因为位移移π项作为因因变π项，式（（2）的不合合理处在在于参量量y包含在独独立π项的π2中。为使使模型试试验得以以进行，，需以π2除π3改造成π2′；这样便建建立起π关系式为为：（3）在前面关关于方程程分析法法一节，，我们得得到这一一系统的的π关系式为为：（4）比较式（（3）和式（（4）可知，，前者各各独立π项分别以以独立变变量k、v0、t相区别，，后者各各独立π项分别以以独立变变量u、t、v0相区别。。但从性性质上说说，两个个π关系式都都是一致致的。因因为式（（3）各π项的代数数转变，，可得式式（4）结果。。补充：π关系式的的特性：：任何两个个（或多多个）π项的代数数转变，，如加、、减、乖乖、除、、提高或或降低幂幂次，仍仍不改变变原关系系式的函函数性质质。但条条件是：：①幂次不得得升、降降至零。。②π项总数不不得增加加或减少少（因π项总数是是由物理理量总数数和基本本量纲之之差决定定，是个个定值））。具体为：：若相似似准则分分别为π1、π2、……πr，则：a、πiaib、πc、πa11±πd、πi±ae、aπi这是因为为经过转转换后的的π项仍是无无量纲综综合数据据。这也说明明相似准准则形式式的可转转换性。。为了利于于模型设设计，在在求相似似准则时时，可考考虑以下下几点：：①第一个应应为因变变量（第第一个为为所求量量）。然然后对所所求量影影响大和和容易控控制的越越在前。。②π矩阵越简简单越好好。③准则的个个数=物理量-基本物理理量。④每个准则则中至少少有一个个物理量量其它准准则中没没有，才才是独立立的，否否则不独独立。⑤准则最好好有一定定的物理理意义。。⑥准则尽量量应容易易满足，，即准则则包括的的物理量量越越少少越好，，最多为为m+1。⑦需要被测测量的物物理量最最好在非非定性准准则中出出现。并可通过过代数转转换，去去掉相似似准则中中无法测测量或难难测量的的量。我们求准准则的目目的在于于指导模模型，那那么，有有了准则则，可根根据相似似指标为为1来设计模模型。再根据相相似准则则将模型型结果还还原到原原型上去去。5模型设计计5.1模型设计计模型设计计的理论论基础是是相似理理论，我我们这里里所说的的相似是是指物理理模拟（（同类模模拟）。。在模型试试验中，，首要问问题是如如何设计模型型，以及如如何将模模型试验验的结果果推广到到原型实实体对象象中。一般情况况下，模模型设计计程序为为：（1）根据试验验任务、、目的，，选择模模型类型型。物理模拟拟、数学学模拟。。如按模型型试验研研究范围围可分为为：弹性性模型试试验、强强度模型型试验。。如按试验验模拟的的程度分分类：断断面模型型试验（（平面）），半整整体模型型，整体体模型试试验。如按试验验加载方方法分类类：静力力结构模模型试验验，动力力结构模模型试验验，等等等。（1）对研究对对象进行行理论分分析，用用方程分分析法或或量纲分分析法求求相似准准则。（2）确定几何何相似常常数CL，定出模模型的几几何尺寸寸。CL取选是一一个关键键一步，，主要应应考虑：：a、模型的尺尺寸大小小要适中中，可行行，对于于与结构构物相互互作用问问题，应应考虑影影响范围围。b、测量手段段，应考考虑传感感器的大大小和精精确度要要求。当当传感器器精度不不够时应应加大模模型尺寸寸。c、试验待求求量应方方便、可可以实施施。常用模型型的缩尺尺比例结构类型型弹弹性性模型强强度模模型壳体板构桥梁砼坝所以在结结构模型型试验中中，其几几何尺寸寸的确定定需要综综合考虑虑模型类类型、材材料、制制作条件件、加载载能力、、测点布布置以及及设备条条件等等等，才能能确定出出一个最最优的几几何尺寸寸。小尺寸模模型所需需载荷小小，但制制作困难难，加工工精度高高，对量量测仪器器要求也也高。尺尺寸大的的模型所所需荷载载大，但但制作方方便，对对量测仪仪器一般般无特殊殊要求。。通常，线性模模型尺寸较小小。而非线性性、强度破坏坏模型，特别别是钢筋砼结结构模型尺寸寸较大。具体体如上表。（1）根据相似准则则，计算各参参数在模型试试验中的数值值——模型设计。（2）绘制模型制造造、测点布置置和载荷分置置图。（3）安排试验顺序序。（4）进行试验和量量测。（5）数据整理。并并把模型数据据转换到原型型上去。或确确定试验结结果可以应用用的条件。例1静态应力模型型这是一个弹性性模型，可求求解静态应力力问题。a、求导准则平衡方程：几何方程：，物理方程：单值条件：几几何相似：物理相似：体力相似：边界条件：非定性量（被被测量）：应力：应变：位移：采用方程分分析法求相相似准则：：对于平衡方方程：相似指标：：,相似准则π1=①①由几何方程程：，，л2=②②由物理方程程：,л3=③③cu=1лл4=u④④由面力边界界：л5=⑤⑤由于上面5个准则是由由5个不同方程程求得的，，故是相互互独立的。。b、对于为为广义义相似对于c时，为严格格相似，最最好。对于一些相相似材料模模型试验，，当c=2～8时，在小变变形情况下下所引起的的应力误差差<5%，这在工程程上是允许许的。但在在大变形情情况下，不不精确。对于严格相相似（c）时，有：：如对对于于一一个个软软弱弱岩岩体体高高边边坡坡问问题题，，原原型型为为20m高，，试试验验室室内内可可采采用用相相似似材材料料模模型型试试验验，，取取1m，则则cL=20/1=20,可采采用用石石膏膏作作相相似似材材料料，，通通过过试试验验可可知知：：CE=，由由得得：：即（（石石膏膏的的混混合合料料比比岩岩石石大大10倍，，很很难难，，找找不不到到这这种种材材料料。。））为此此：：取取≠≠1而是是=5，则，，故故可可在在石石膏膏中中加加铁铁屑屑即即可可。。这就就是是说说，，不不是是非非取取1不可可，，在在小小变变形形范范围围内内，，可可取取对于于相相似似材材料料试试验验：：Cl=20，Cr=2，CE=20，Cu=1则有有：：Cε=CrCl/CE=2Cδ=CεCl=2*20=40但对对于于大大多多数数结结构构试试验验，，采采用用严严格格相相似似，，则则=1，这这时时不不考考虑虑自自重重应应力力场场5.3试验验方方法法5.3.1模型型材材料料（一一））模型型材材料料的的选选择择对模模型型材材料料，，一一般般要要求求为为：：a、对于于研研究究应应力力状状态态，，模模型型材材料料必必须须保保证证具具有有良良好好的的线线弹弹性性特特性性。。对对于于强强度度模模型型，，则则模模型型材材料料应应接接近近或或等等于于原原型型结结构构的的材材料料强强度度，，才才有有可可能能进进行行破破坏坏试试验验。。b、满满足足相相似似指指标标要要求求，，如如E、u、ρ等均均应应符符合合相相似似条条件件。。c、满足足必必要要的的测测量量精精度度。。为了了提提高高测测试试精精度度，，宜宜采采用用E较低低和和容容重重较较大大的的材材料料，，但但也也应应防防止止材材料料的的非非线线性性特特性性。。另外外，，用用于于结结构构模模型型试试验验的的材材料料，，从从试试验验技技术术的的角角度度出出发发，，需需考考虑虑如如下下具具体体问问题题：：a、弹弹性性模模量量E大，，获获得得足足够够的的变变形形，，增增加加荷荷载载，，模模型型支支座座的的刚刚度度要要强强，，不不如如降降低低E。E过小小，，结结构构刚刚度度过过低低，，测测量量仪仪器器的的刚刚性性又又可可能能妨妨碍碍模模型型结结构构的的变变形形，，影影响响试试验验结结果果。。b、泊泊松松比比无量量纲纲量量，，应应相相同同才才能能满满足足相相似似指指标标。。如如不不相相同同，，产产生生试试验验误误差差。。c、徐徐变变即变变形形是是时时间间、、温温度度和和应应力力的的函函数数。。一一切切合合成成材材料料几几乎乎都都有有徐徐变变。。为为提提高高试试验验精精度度，，应应选选用用徐徐变变小小的的材材料料。。d、导导热热性性目前前，，结结构构模模型型试试验验中中测测量量多多用用电电阻阻应应变变片片测测量量，，所所以以模模型型材材料料导导热热系系数数有有重重要要的的影影响响，，应应选选项项导导热热性性好好的的材材料料。。e、可可加工工性。。∴应综综合考考虑。。（二））常用用结构构模型型试验验材料料常用材材料如如下：：a、金属属金属的的力学学特性性大多多符合合弹性性理论论的基基本假假定，，如如果原原型结结构为为金属属结构构且对对测量量值的的准确确度有有严格格要求求时，，则它它是最最适宜宜的模模型材材料，，最常常见的的是钢和铝铝。最近，，铝合合金材材料用用得较较多，，因为为它有有较低低的E和良好好的导导热性性。b、塑料有双氧氧树脂脂、聚聚乙烯烯和有有机玻玻璃等等。和钢材材、砼砼、石石膏相相比较较，其其优点点是强强度高高而弹弹模低低（约约是金金的0.1～0.02倍），，便于于加工工。缺点是是徐变变大、、E随温度度、时时间而而变化化。塑料被被大量量地用用来制制作板板、壳壳、框框架、、桥梁梁以及及形状状复杂杂的结结构模模型，，其中中有机机玻璃璃和环环氧树树脂用用得最最多。。（光光弹模模型材材料））。c、石膏石膏用用作结结构模模型材材料已已有40多年的的历史史，它它的的性性质和和砼较较接近近，常常用来来模拟拟砼或或钢筋筋砼。。其优点点是成成型方方便、、性能能稳定定、易易于加加工等等。且且可以以石膏膏作基基本胶胶结材材料，，通过过掺加加不同同外加加料的的方方法改改善其其力学学和变变形特特性。。如加加入岩岩粉、、砂、、水水泥、、浮石石、铁铁砂等等。d、水泥砂砂浆e、微砼用作砼砼或钢钢筋砼砼结构构的相相似模模型。。（石石子直直径≤≤5mm）。其其力学学性能能与砼砼相接接近。。模型用用钢筋筋一般般是采采用细细钢丝丝。f、地基基基础础结构构模型型相似似材料料相似材材料一一般常常以砂砂为基基本材材料，，以石石膏、、石灰灰、、粘土土作为为粘结结料，，来组组成模模型土土体相相似材材料。。通常cL=20～50时，采采用石石膏和和砂为为主的的混合合料，，或或加入入适当当的掺掺加料料。5.3.2加荷方方法（一））集中力力加荷荷通常采采用挂挂重法法、杠杠杆加加载和和千斤斤顶加加载等等。挂重法法：数数值稳稳定、、载荷荷值不不自动动下降降，其其缺点点是能能产生生的载载荷值值较小小，一一般≯≯200KN，加、、卸载载不方方便。。千斤顶顶加载载方便便、数数值大大小可可调，，缺点点是设设备较较贵。。（二））面力力加载载单位面面力强强度为为常数数，如如均布布堆载载、为为线性性变化化，如如水、、土压压力。。面力加加载方方法有有：重重堆堆堆载、、挂载载，液液压加加载、、气压压加载载、千千斤顶顶加载载等。。液压多多用水水和水水银，，用液液压加加载可可利用用液压压作用用力沿沿高度度呈三三角形形分布布的特特点来来模拟拟水压压力。。（三））体力力加载载在结构构模型型试验验中，，体力力是一一项重重要的的荷载载，它它是指指结构构、基基础结结构及及其地地基岩岩土的的自重重。通常施施加体体力的的方法法有：：①、用用分散散集中中载荷荷代替替自重重②、用用面力力代替替体力力的方方法③、选选高容容重、、低强强度模模型材材料。。a、用分分散集集中力力代替替体力力方法法将模型型划分分成许许多部部分，，找出出每一一部分分重心心，然然后施施加等等于该该部分分模型型自重重的集集中载载荷。。b、用面力力代替替体力力的方方法。。对于常常体力力弹性性模型型，可可采用用以面面力代代替体体力。。c、选择高高容重重、低低强度度模型型材料料的方方法由相似似原理理，，当时时，，即模模型与原原型材材料容容重相相同，，不需需另加加模型型自重重荷载载。但但c,c,即弹模模小，，∴强强度低低。d、预应应力加加载对于预预应力力钢筋筋砼或或其它它预应应力结结构，，预应应力产产生的的载荷荷在模模型在在施加加的方方法一一般有有两种种。一一是采采用锚锚头和和张拉拉设备备；另另一种种方法法是施施加外外载，，但应应在弹弹性范范围内内。e、动力力加载载（1）激振振法小尺寸寸模型型的激激振可可采用用声波波（扬扬声器器）或或压电电晶晶体体激振振模型型，强强迫模模型振振动的的激振振。大尺寸寸模型型可采采用冲冲撞形形式施施加。。（2）电磁磁振动动法电磁振振动台台是结结构模模型试试验中中常用用的加加载方方法。。（3）电液液伺服服法这是目目前最最先进进的动动力加加载方方法。。精度度高。。6离心模模拟试试验6.1基本原原理岩土工工程问