年级奥数-等差数列求和(一)课件

四年级竞赛班奥数等差数列求和四年级竞赛班奥数等差数列求和一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识什么是数列？按一定规律排列的数是一列数，可以有限，可以无限1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30什么是数列？认识数列观察：1，3，5，7，9，……，19第一项第二项第四项第三项第五项第十项首项末项项数认识数列观察：1，3，5，7，9，……，19第一项第二项第四（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

（公差=1）（公差=2）（公差=5）

通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……二、等差数列的项二、等差数列的项数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2首项+公差×1（2-1）第3项：5=1+2×2首项+公差×2（3-1）第4项：7=1+2×3首项+公差×3（4-1）第5项：9=1+2×4首项+公差×4（5-1）第6项：11=1+2×5首项+公差×5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）等差数列的首项=末项-公差×（项数-1）适用条件：该数列一定要为等差数列数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项=2公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29

（2）第98项：2+3×（98-1）=293

等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？

分析：

被除数=余数+除数×商等差数列的某一项=2+3×（项数-1）规律：等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。这个数列每1项除以3都余2。

等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。

等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、例2已知数列2、5、8、11、14、17……302，这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。

等差数列的项数=公差个数

+1=（末项-首项）÷公差+1这个数列的项数=（302-2）÷3+1=101例2已知数列2、5、8、11、14、17……302，这个小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×（项练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25项是多少?（2）这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、……199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第2练习答案：1、它的第21项=1+2×（21-1）=41；这个数列的项数=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25项=2+2×（25-1）=50；这个数列的项数=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30项=101+1×（30-1）=130；这个数列的项数=（199-101）÷1+1=994、它的第60项=7+5×（60-1）=302；这个数列各项被5除有相同的余数。（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）练习答案：1、它的第21项=1+2×（21-1）=41；二、等差数列的和二、等差数列的和例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6

444444444444444444两数列之和=（6+38）×9解：原数列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2例：6+10+14+18+22+26+例：计算1+6+11+16+21+26+......+276分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

？等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1解：等差数列的项数：（276-1）÷5+1=56（项）

原数列之和=（1+276）×56÷2

=277×28

=7756例：计算1+6+11+16+21+26+.练习1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+......+403（3）9+19+29+39+......+99（4）1+3+5+7+......+99练习1、计算练习答案：解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3,

项数=（37-7）÷3+1=11

和=（7+37）×11÷2=242（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4，项数=（403-7）÷4+1=100

和=（7+403）×100÷2=20500（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10，项数=（99-9）÷10+1=10

和=（9+99）×10÷2=540（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2，项数=（99-1）÷2+1=50

和=（1+99）×50÷2=2500练习答案：解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，例1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195例1998+1997-1996-1995+1994+1例计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)例计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+例例例例例计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

例计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+例计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

例计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+四年级竞赛班奥数等差数列求和四年级竞赛班奥数等差数列求和一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识什么是数列？按一定规律排列的数是一列数，可以有限，可以无限1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30什么是数列？认识数列观察：1，3，5，7，9，……，19第一项第二项第四项第三项第五项第十项首项末项项数认识数列观察：1，3，5，7，9，……，19第一项第二项第四（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

（公差=1）（公差=2）（公差=5）

通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……二、等差数列的项二、等差数列的项数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2首项+公差×1（2-1）第3项：5=1+2×2首项+公差×2（3-1）第4项：7=1+2×3首项+公差×3（4-1）第5项：9=1+2×4首项+公差×4（5-1）第6项：11=1+2×5首项+公差×5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）等差数列的首项=末项-公差×（项数-1）适用条件：该数列一定要为等差数列数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项=2公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29

（2）第98项：2+3×（98-1）=293

等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？

分析：

被除数=余数+除数×商等差数列的某一项=2+3×（项数-1）规律：等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。这个数列每1项除以3都余2。

等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。

等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、例2已知数列2、5、8、11、14、17……302，这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。

等差数列的项数=公差个数

+1=（末项-首项）÷公差+1这个数列的项数=（302-2）÷3+1=101例2已知数列2、5、8、11、14、17……302，这个小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×（项练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25项是多少?（2）这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、……199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第2练习答案：1、它的第21项=1+2×（21-1）=41；这个数列的项数=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25项=2+2×（25-1）=50；这个数列的项数=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30项=101+1×（30-1）=130；这个数列的项数=（199-101）÷1+1=994、它的第60项=7+5×（60-1）=302；这个数列各项被5除有相同的余数。（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）练习答案：1、它的第21项=1+2×（21-1）=41；二、等差数列的和二、等差数列的和例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6

444444444444444444两数列之和=（6+38）×9解：原数列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2例：6+10+14+18+22+26+例：计算1+6+11+16+21+26+......+276分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

？等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1解：等差数列的项数：（276-1）÷5+1=56（项）

原数列之和=（1+276）×56÷2

=277×28

=7756例：计算1+6+11+16+21+26+.练习1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（