2018年上海市青浦区高考数学一模试卷

试卷第试卷第页，总17页【考点】柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角【解析】（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；（2）由于BC//AD,可得乙ECB或其补角为异面直线EC和4D所成的角0,由P4丄平面ABCD,可得丄PB,再利用直角三角形的边角关系即可得出.【解答】•••P4丄平面励CD,底面是矩形，高PA=2,BC=AD=2,AB=1,••S^abc=-x2xl=l.故^P-ABC=3XSabCXPA=-X1X2=-.•••BCHAD,厶ECB或其补角为异面直线EC和肋所成的角8,又•••P4丄平面•••PA丄BC,又BC丄BC丄平面P48,BC丄PB,于是在RtACEB中，BC=2,BE=-PB=22异面直线EC和仙所成的角是arctan4【答案】•••y2=2px过点P(l,1),•••l=2p,解得P=p・•・y2=x,・•・焦点坐标为（》0）,准线为%=-i,证明：设过点（0待）的直线方程为y=kx+M(Xpy)AT(x2/y2)t・•・直线OP^jy=x9直线ON为：由题意知4（%i，%i）,B（%!，*严），由fy=fc%+2,可得上2送+仏_中+扌=0,W=%・.i-fci…帀+%2=苛，%1%2=丽•••力+泸=畑+扌+进卫=2kx1+^=2kx1+-^=2kx,+（1-/c）•X22X2ZX22X乔云2%j=2%jf•••4为线段BM的中点.【考点】抛物线的求解直线与抛物线的位置关系【解析】(“根据抛物线过点P(l,1).代值求出p,即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程：⑵设过点(0,》的直线方程为),=心+扌，Mg,yi),N(x2fy2),根据韦达定理得到帀+%2=存，帀恋=占,根据中点的定义即可证明•【解答】y2=2px过点P(l,1),1=2p»解得P=py2=x,•••焦点坐标为(扌，0),准线为%=~\证明：设过点(0,》的直线方程为y=kx+pM(g,yi),AT(x2,y2),•••直线OP^}y=x,直线ON为：)心存，由题意知4(xv%i),B(xlt三严),

可得/c2x2+(k-l)x+i=0,・.i-fci…xl+可得/c2x2+(k-l)x+i=0,・.i-fci…xl+x2=百，X1X2=乔注芳w+丹进耳如+筈亠“怎xx+x22x2=2kx±+(1—/c)•2%j[=2%i9・•・4为线段BM的中点・【答案】在肮△4BC中，AB=2,BC=2將所以ZC=3O°,在ZiPBC中PC=1,BC=2翻、由余弦定理可得BP2=BC2+PC2-2BC・PCcos30°=(2V3)2+1-2x2V3X1x^=7，即BP=苗;在中，BA=2,BC=2翻,AC=y[BA2+BC2=4*设甲出发后的时间为十小时，则由题意可知0<t<4,设甲在线段C4上的位置为点M,贝MM=4-t,①当OStMl时，设乙在线段上的位置为点Q,贝UQ=2t,如图所示，在Q中，由余弦定理得MQ?=(4-t)2+(2t)2-2-2t-(4-t)cos60°=一16t+16>9,所以0<t<8-x/15■7②当时，乙在值班室B处，在△4BM中，+12>9,由余弦定理得MB?=(4-t)2+4-2・2t・(4一t)cos60°=t2-6t解得t<3-V6或十>3+屈，又1<t<4.不合题意舍去・+12>9,综上所述OStS寻空时，甲乙间的距离大于3「米,所以两人不能通话的时间为耳至小时.O【考点】余弦定理【解析】（1）由解直角三角形可得乙C=30。，在'BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知设甲在线段C4上的位置为点M,贝iAM=4-t,讨论OStSl时，当1<t<4时，分别在Zk4MQ和△4MB中，运用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求结论.【解答】在中，AB=2,BC=2翻、所以ZC=3O°,在NPBC中PC=1,BC=2晶由余弦定理可得BP2=BC2+PC2-2BC・PCcos30°=(275)2+!_2x2^3xlx—=7,2即BP=V7:在RMABC中，BA=2,BC=2屆AC=^BA2+BC2=4.设甲出发后的时间为十小时，则由题意可知0<t<4,设甲在线段C4上的位置为点M,贝IL4M=4—t,①当OStMl时，设乙在线段4B上的位置为点Q,贝UQ=2t,如图所示，itAAMQ中，由余弦定理得MQ2=(4-t)2+(2t)2-2-2t-(4-t)cos60°=7t2-16t+16>9,所以ok冷竺②当时，乙在值班室B处，在中，由余弦定理得MB2=（4-t）2+4-2・2t・（4一t）cos60°=t2-6t+12>9,解得t<3-V6或t>3+VS，又1<t<4,不合题意舍去.综上所述O<t<宇时，甲乙间的距离大于3「米,所以两人不能通话的时间为上异小时.【答案】

TA+B={a+b\aEAfbEB}；当A={Qf1,2},B={-lf3}时，A+B=[-lf0,lf3f4,5}：在71>2时表示双曲线,曲线乂2n在71>2时表示双曲线,曲线乂2n2-n+l+y2l-n2一小3n2+n122A+B中的所方元素之和为»=3(Q]++如+・・・+务)+n(—g——)=3•n2+n,z122X7丁+M-厂厂S・•・Sm・•・Sm4-Sn—ASk>0恒成立oA<晋=響恒成立,m+n=3k,且mHn,92mn>刁m2+n2-k2(m+n)292mn>刁m2+n2-k2(m+n)21+故实数A的最大值为话【考点】函数恒成立问题【解析】(1)根据新定义A^B={a^b\aEA,bEB},结合已知中的集合4,B,可得答案:(2)=土，在n>2时表示双曲线，进而可得an=|n,Sn=n2,(3)由Sm+Sn->0恒成立等价于；Iv遗耳=气夢恒成立，结合m+n=3k,且m^n,及基本不等式，进而得到答案【解答】•・•A+B={a+b\aEAfbEB}；当A={Qf1,2},B={-lf3}时，A^B={-1,0,1,3,4,5}：曲线-^+2L=1,即2L=1,在n>2时表示双曲线，n2-n+ll-n9n2-n+ln-19••Q]+Q2+••Q]+Q2+血+・・・+°八=A+B中的所有兀素之和为Sn=3(aj++偽+・・・+轴)+^(—g—g—g)=3•n2+n92mn

n2+n92mn

m2+n29>PX由％>0时，V^+1<1n2•••Sm+SSQ0恒成立0久<瞥=气护恒成立,m+n=3k,且m=#n,m2+n2_9(m2+n2)k2~(m+n)2故实数2的最人值为！【答案】“、/、2x2+9x+11s(u、1沧)-能)=—-(2"5)=朿‘可得y=/(%)-g(x)在[0,+8)递减，且x+2>2,0<^<^,可得存在p=|,函数y的值域为(0,日，则函数g(x)=2%+5是函数/•(%)=注+9：+11,%g[o,+8)的“逼进函数";•Ai厶证明：—g(%)=(护—弱,由y=(护，y=~lx在［o’+8)递减,则函数y=/(%)-g(x)在［0,+8)递减，则函数y=/(%)-g(Q在［0,+8)的最人值为1：由％=!.时，y=#_#=0，x=2时，y=*-l=-；v0,则函数y=y(X)—g(Q在［o,+8)的值域为(—8,1］,即有函数g(x)=昇不是函数/•(；<)=(护，%e［0,+8)的“逼进函数";g(x)=处是函数/'(%)=%4-V%2+1»xe［0,+8)的"逼进函数"，可得y=%4-y/x2+1-ax为［0,+8)的减函数，可得导数y‘=l~a+<0在［0,+8)恒成立，则a—1>1,即a>2；又y=%+V%2+1-ax在［0,+8)的值域为(0,1］,则V%2+］>(a—1)%,a-1<x=0时，显然成立；a-1<x>0时,可得a-1<1,即a<2.则a=2.【考点】函数与方程的综合运用【解析】由/g(x)，化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断：由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；⑶由新定义，可ny=x+>J^Tl-ax为［0,+8)的减函数，求得导数由不等式恒成立思想，町得a的范I枕再由值域为(0,1］,结合不等式恒成立思想可得a的范围，即可得到a的值.【解答】沧)-能)=竺拦竺-(2%+5)=吕’可得y=/(%)-g(x)在［0,+8)递减，且%+2>2,0<^<i,可得存在p=|,函数y的值域为(0,扌］,则函数^(x)=2%+5是函数/•(%)=xg［o,+8)的“逼进函数"；证明：@)-9(刃=(护-齐,由y=(》x,y=在［0,+8)递减，则函数y=/(%)-g(x)在［0,+8)递减，则函数y=/(%)-g(Q在［0,+8)的最人值为1：由％=1时，y=¥_¥=0,x=2时，y=j-1=-j<0,则函数y=/(%)-g(Q在［0,+8)的值域为(一8,1］»即有函数=齐不是函数/'CO=(护，%e［0