尔滨工程2010全国赛

储油罐的变位识别与罐容表标摘本文研究了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题根据几何及微积分等知识，2%-3%，证明可行性较高。度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）间函数关系。再根据微分知识，利用等进行计算，求解出=2.2。并对照自己绘制的函数关系图，利用图解法求解出=1.81%-3%，比较合理可靠。0.3%左右。使模型的实用性更强。整个建模过程中，充分展现了应用了等进行计算的能力，化解了关键字—问题的提。对罐容表进行重新标定要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标。位后油位高度间隔为1cm3 31储油罐正面示意3油α2储油罐纵向倾斜变位后示意

油油油油（a）无偏转倾斜的正截面 （b）横向偏转倾斜后正截面3储油罐截面示意油位油位探注油出油浮m油α水平小椭圆油罐4小椭圆型油罐形状及尺寸示

二问题分本题主要研究了储油罐的变位识别和容量标定的问题，通过题给的附表，分析无在着差异，这就给做变位的识别提供了可靠的依据，通过绘图，可将其实和罐体变位参数关系的数学模型。首先，要采用纯数学的理论，微积分思想对罐计算罐体变位参数

三模型假设与符号说冠状球柱体的纵向倾斜角度和横向偏转角度LD1：椭圆筒平均内竖直D2L1FHH1H2S：表示所求图形的面积V：表示罐内液体的体积R1：表示椭圆的长轴R2：表示椭圆的短轴

四模型的建线可以读出无变位和倾斜变位进油时，储油罐液面的高度随着油量的变化关系，由此可以清晰地看出二者差异。为了更明了的表示出而这的差异，我组用拟图 储油罐的液高随油量的变化关系对比曲模型一由解析几何分析可知，罐内总油量与高度关系应分三种情 计算如图6所示椭圆筒以液面高端截面为参考面，罐的倾斜角为L，D1，D2，FL1求解出最终结果，即可进行标定。以下为具体建立模型方法。图 轴向切面区段（H2

图 中心轴向切 WPFPFW

D

(DH1cos

(DH1cosH1

Dtan

利用矩形面积等于梯形面积的方法，求出H2与H的关系。AB为倾斜时的液面SEKOCH2L。在梯形ABOCBOH1L1tanACBOL

，梯形面积

1(BOAC)L，令BO=NHLtan，则

1(NNLtan)L1(2NLtan)L。 SEKOCSABOC，HL1(2NLtan)L HNLtan

V[R2cos1RH2(RH)R2(R

)2

1CM1HH（H2NL，Ncot，矩形面积S

H2Ncot，直角三角形面积

1NNcot，因

H1

L'Ncot，用'L

8椭圆筒截R2R22椭圆方程为

1y

。液高为H（CD

，即 y(R

)，即直线AB的直线方程。将y代入椭圆方程得x H(2RH)

1微元面积dAydx22

y

1H2

)R2

R2X2220

Rx2x2R2x2R22

H(2RH

R)x1

2 )]|

2

R)H2(2R1H2(2R1H2

1

2

H2(2R1-H2H2(2R1-H2

H2(2R1-H2)R2-2(2R1H2-H2)+2 ] R2

H(2R

R)|R

|]RRsin-H2(2R1-H2 H2(2R1-H2

H(D

)(H

R)LRRsin-

1 式（5）NR1Ltan，即水平液高

RH （2（4）

NLtan

H1NL'Ncot 当LtanNR1Ltan时，则HN1Ltan ND（即水平液高HR的情况）时，用H'DH 替式（5）中的H2，则这部分容积计算式为VRRL[ (DH)(DDH)(DHR)R1 1 H2(D1H2RRL[ (DH)H(RH)H2(D1H2

1 1 式（6）

NLtan2N>D1，而H1D0（下尺点内竖直径）（D1H1H，用（LL）LN=DH+(LL)tan

1N

L'NcotVRRL[ (DH)H(HR)RRsin-

H2(D1H21 H2(D1H2 模型二体各变位参数的关系函数。以此来确定和的数值。考虑到横向偏转角度9。如下：9圆筒横向偏转角度9，CD，GHH1,FIH1H2。H1cosH1，hH2，H2=H1+L1tanLtan得2h=H1cos+L1tan-Ltan 2算公式。应用模型如下图：图 体积计算的模（1）11R2R2hR2h

LS

计算截面面积S

R2h2

S截面

dh

R2R2R2hR2

h2R2], V1(h)LS截面

h2R2

（２）计算两端球缺部分所剩余油料的体积12hV2(h0S

r2r2

，S（h）=rhr2r2r2s2

r2h2s2r2Hrh2S（h=(Hh)2Hrh2H2+1r2h2s2r2Hrh2 hV2(h)=0S 2

=0(Hh)2Hrh则图（13）

2

h

r)arctan V(h)

(rH)2R2r2R2rR2r2 R2 [LR2

2r22r2

2

)]arctan

3

r2 34 hr2

R2

R2 rarctan rR2

h（与图（10）h）,V满V(hR),

V满V(hR),hR

满 R2L满

3

R2L r2R2)2(3rr r2R2R2L2(r3

r2R2)2(2r

r2R2)

(r1)2R2r2r=1.625mV(h)

1.6252(h3h(h1.5)314.8623h

2(h1.5)35.28125(h1.5)

r2Hrh2r2Hrh2

（11h(0,2R)。将倾斜液高(H(H1)H1hHcos(L1L)tan2

(L1Ltan可视为定值，hH2hHcos

由公式V(h)

1.6252(h3h(h1.5)314.8623h 2(h1.5)35.28125(h1.5)

5.7213arctan0.625(h

可得Vh（13（14）（14（15）cos的值，从而确定横向偏转角度H1H2。h=h2-h1，H=H2-H1，coshH。h=H1cos+L1tan-Ltan2经处理得到h与tan的关系曲线图和V与tan的关系曲线根据已给的h和V的值，确定tan的值，最终确定出罐体的倾斜角度。五模型的求解与验在模型一中，小椭圆储油罐的实验数据给出无变位情况下累加进油量变化范围CM1CM2（H1CM1H1=BO-L1tan=2450×tan4.1-CM2H1=BO-L1tan=1200-A（423.45,1035.36）mm（5（6根据公式（2

HNLtanNHLtan两式联立消去N，得 H2=H1+L1tanLtanH1、H22 水平液高HR时，所求体积公式为（5）式；水平液高HR时，用H'DH 代替式（5）中的H2，则这部分容积计算式为式(6)（5水平液高H2R1时：V[2.45

0.0592.450.890.6

(H10.059)(1.20.059H1)[3.6342(H10.059)(1.259H1)(H1

(H10.059)(1.259H1)

水平液高H2R1V0.890.62.451000[3.6342(H10.059)(1.259H1)(0.659

(H10.059)(1.20.059H1)=4110.15[3.6342(H10.059)(1.259H1)(0.659

(H10.059)(1.20.059H1) 1液面液体体积液面液体体积液面液体体积液面液体体积液面液体体积447717953973937445424719157992593731751213426127698611318294873672377h=4.5dm时，标称液体体积V=1141.598L,实际液体体积为V=1112.86L，Er=1141.5981112.86当h=8.8dmV=2995.784L,实际液体体积为V=2912.73L,Er=2995.7842912.732%-3%5.2h1、h2（16）V1、V22V1、V2H1H2。h=h2-h1，H=H2-H1，coshH。 处理大量H和V数据，根据公式（11）和(16),画出了V与cos的14Vcosh=0.132-0.06176=0.07024m=70.24mm，查附表二可知，V1,V2对应的H=在该图上取坐标（0.06176,3.4*10^5）（0.132,3.6*10^5）H1H2=1626.92-1556.62=70.3mm，cosh=0.999146514,因此此时的=2.36在该图上取坐标（0.2906,4.0*10^5）和坐标（0.3551,4.2*10^5）此时的h=0.3550-0.29061=0.06439m=64.39mmV3V4对应的H=H3-H4=1841.92-1777.51=64.41mm，cos=1.74

=

=0.999534233经大量的取点验算确定2.2当确定之后，公式（11）可以写成h=0.999263*H-2tan，由此公式与（16）公式联立，分别得到h和V与tan的关系，用 分别绘出h与tan和V与tan15h与tan16V与tan与h的对应关系，找出在对应关系下基本相同的值，即为的真实值。在一个区所以，综合考虑，法，但因方面能力有限，时间过于匆忙，未能够实现。确定完之后，由公式（11）和（16）可建立VH之间的函数关系式，进而excel2h=5.5dm时，标称液体体积V=7464.78L,实际液体体积为V=7696.2L，相对误差Er=7696.27464.78当h=23.5dm时，标称液体体积V=55403.01L,实际液体体积为V=54750.4L,Er=55403.0154750.4六模型的改进与评模型一，在高度转化关系式H2=H1+L1tan

Ltan=4.1，计算出2与实际测量值的偏差。发现，若将0.059向上调，其得到的结果就会精确一些，当调到0.073时，精度达到最大，为0.3%左右。这种上调实