数值代数课件

《数值线性代数》复量大学区将尔雄等编《数值线性代数》复量大学区将尔雄等编1数值代数主讲：焦争鸣，申培萍数值代数主讲：焦争鸣，申培萍2第一章绪论第二章求方程根的近似方法第三章线性代的方程组解法第四章矩阵特征值和特征向量计算第五章插值法数值代数第一章绪论数值代数3§1.1计算方法的任务与特点第一章:

绪论实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析数值代数

§1.1计算方法的任务与特点第一章:绪论实际问题数学问4基本的数学问题:1.大型线性代数方程组Ax=b求解;2.矩阵A的特征值和特征向量计算;3.非线性方程求解(求根);4.积分计算;5.常微分方程初值问题求解;6.其它。基本的数学问题:1.大型线性代数方程组Ax=b求解;5求精确解(值)一般非常困难。例如：

1.方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度

1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年;

好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性问题。2.特征值定义

求精确解(值)一般非常困难。例如：1.方程组阶数n很大63.形式复杂时求根和求积分很困难。4.线性微分方程易解，如

非线性方程难解，如

希望：求近似解，但方法简单可行，行之有效（计算量小，误差小等）。以计算机为工具，易在计算机上实现。计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只进行加，减，乘，除等基本运算——

数值方法。3.形式复杂时求根和求积分很困难。希7§1.2误差基础知识一.误差来源（分类）

1.模型误差。

2.观测误差。

3.截断误差，如

右端是截断误差。§1.2误差基础知识一.误差来源（分类）右端是截84.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。4.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产9二．误差基本概念1．绝对误差。设——准确值，——近似值。称为的绝对误差。为的绝对误差限。

2．相对误差。称为的相对误差。实用中，常用表示的相对误差。称为的相对误差限。二．误差基本概念1．绝对误差。设——准确值，—103．有效数字设若(1.1)则说具有n位有效数字，分别是若，则称为有效数。3．有效数字11例1.1

设=0.0270是某数经“四舍五入”所得，则误差不超过末位的半个单位，即：又,故该不等式又可写为由有效数字定义可知,有3位有效数字，分别是2,7，0。例1.112例1.2

=32.93,=32.89,

故有3位有效数字，分别是3,2，8。由于中的数字9不是有效数字，故不是有效数。

例1.213三、有效数位与误差的关系1.有效数位n越多，则绝对误差越小

(由定义1.1)2.

定理1.1若近似数具有n位有效数字，则

(1.2)

反之，若则至少有n位有效数字。三、有效数位与误差的关系1.有效数位n越多，则绝对误差14

两边除以得

(1.3)和（1.4）给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。四、数值运算的误差估计

1.一元函数情形设则，由Taylor展开公式

(1.4)

（1.3）两边除以得四、数值运算的误差估计(1152.多元函数情形

设，则，由多元函数的Taylor展开公式类似可得

（1.5）

（1.6）在（1.6）式中，分别取,可得同号)（1.7）

（1.8）

（1.9）(,2.多元函数情形则，由多元函数的Taylor展开公式类似可16例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。试求近似面积s*=a*b*

的绝对误差限与相对误差限。

解:面积s=ab,在公式（1.5）中,将换为s=ab,则

相对误差限为例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的17

§1.3选用算法应遵循的原则1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数.

例如，计算多项式通常运算的乘法次数为若采用递推算法,

则乘法次数仅为n.又如§1.3选用算法应遵循的原则1.尽量简化计算步骤，减少乘182.防止大数“吃掉”小数当|a|>>|b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制数，则3.尽量避免相近数相减例如，当x很大时，应

，

当x接近于0时，应2.防止大数“吃掉”小数，当x接近于0时，应194.避免绝对值很小的数做分母当|b|<<|a|时，应尽量避免。5.选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速增长例如若（误差）则计算时误差扩大了倍,而

（n=1,2,…）

是稳定的。4.避免绝对值很小的数做分母（n=1,2,…）20基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念；3.熟悉公式（1.2）--（1.9）；4.熟悉选用算法应遵循的原则；作业：

作业集（A）第一章1，2，3，4，5，6，7，8基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计21数值代数

f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。

第二章求方程根的近似方法

§2.1区间二分法理论:f(x)∈C[a,b],单调，f(a)f(b)<0f(x)=0在(a,b)有惟一根。根分离：画草图，试算.多项式方程根的模的上下界。数值代数f(x)=0根或f(x)零点，当22

例2.1用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过解：

f(1)=-5<0有根区间中点

f(2)=14>0-(1,2)+

f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)

f(1.5)>0(1,1.5)例2.1用二分法求23

优点：条件简单.缺点：收敛慢.

不易求偶数重根.

如图，则

（事后估计）xy

24§2.2迭代法

一.迭代法的建立与收敛性§2.2迭代法

一.迭代法的建立与收敛25数值代数课件262.收敛定理（定理2.2）2.收敛定理（定理2.2）27数值代数课件28(2)，故收敛。

(＊)1(2)，故收敛。(＊)129(3)

注：L越小，收敛越快。(3)注：L越小，收敛越快。303．编程停机判断（取定初值）计算，当时，由（＊）3

式知

比较小，此时停机，二、迭代加速公式（略）

由3．编程停机判断（取定初值）计算，当时，由（＊）3式知31§2.3

Newton迭代法一Newton迭代法

1.迭代公式建立

在

点Taylor展开

——Taylor展开线性化（重要思想）近似于解出记为，则

将§2.3Newton迭代法在点T322.Newton迭代法的几何意义过

切线

与求交点，解出,则2.Newton迭代法的几何意义切线与333.Newton迭代法收敛定理（定理2.6）在有根α，且在（1）连续，且分别不变号；,使则Newton迭代法（2.1）产生的数列的收敛到根α。

为例证明（其它情况类似）（2）取初值设

证：以3.Newton迭代法收敛定理（定理2.6）在有根α，且34将

处Taylor展开

说明数列

有下界α

又

故单调递减。收敛。设则由（2.1），，将处Taylor展开说明数列有下界α又故单调35例2.2

解：设取，则由（2.1）用Newton迭代法求例2.2解：设取，则由（2.1）用Newton迭代法求36基本要求熟悉区间＝分法；熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。作业：

作业集（B）第二章1、2、3、4、6基本要求37数值代数二.迭代法的收敛阶(收敛速度)1.定义:设

若有实数p>0,使

则称p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别,p=1时叫线性收敛,p=2时叫平方收敛.p越大越好(why?)数值代数二.迭代法的收敛阶(收敛速度)若有实数p>0,382.定理2.7

2.定理2.739

所以，此时Newton法至少二阶收敛.(2)由2.6的证明有：所以，此时Newton法至少二阶收敛.(2)由2.6的403.Newton法改进：§2.4弦截法——(略)3.Newton法改进：§2.4弦截法——(略)41第三章线性代数方程组解法解线性方程组第三章线性代数方程组解法解线性方程组42一、Gauss消去法设有线性代数：方法不好时工作量非常大，工作量小的方法是Gauss消去法。消元：§3.1直接法一、Gauss消去法设有线性代数：方法不好时工作量非43二列主元素消去法---计算结果可靠二列主元素消去法---计算结果可靠44到此原方程组化为

到此原方程组化为45

到此原方程组化为数值代数课件46（3.3)是回代过程。(上三角方程组)（3.2)(n)回代求解公式

(n-1)原方程组化为以上为消元过程。

（3.3)(上三角方程组)（3.2)(n)回代求解公式(n-1)47三、Gauss全主元消去法：优点------计算结果更可靠；缺点------挑主元花机时更多，次序有变动，程序复杂。说明：

(1)也可采用无回代的列主元消去法(叫Gauss---Jordan消去法)，但比有回代的列主元消去法的乘除运算次数多。

(2)有回代的列主元消去法所进行的乘除运算次数为，量很小。三、Gauss全主元消去法：说明：48

四、应用

（1）求行列式（2）求逆矩阵(以上过程都应选主元)四、应用(49

记，则

（三角因子分解）Gauss消元，初等行变换，化原方程组为上三角型。五．矩阵三角分解法记，则（三角因子分解）50定义3.1

叫的三角（因子）分解，其中是是上三角。下三角,为单位下三角阵（对角元全为1），为上三角阵，则称

为Doolittle分解;若是下三角，

是单位上三角，则称定理3.1n阶阵

有唯一Doolittle分解(Crout）

的前n-1个顺序主子式不为0.（证略）三角分解不唯一,为此引入定义3.2若

为Crout分解。定义3.1叫的三角（因子）分解，其中是是上三角。51

为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实现三角分解

，则容易回代求解为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实，则52回代求解很容易，如

回代求解很容易，如53基本要求：

1.熟悉收敛阶的定义；

2.熟悉Newton法及改进方法的收敛阶；

3.熟悉列主元消去法解线性方程组的计算过程；

4.熟悉矩阵三角分解中Doolittle分解和

Crout分解定义；

5.熟悉利用三角分解来求解线性方程组的思路；作业：作业集（A）第三章1，2．

基本要求：54数值代数1．直接三角分解法（以Doolittle分解为例）设

＝数值代数＝55由矩阵乘法………由矩阵乘法………56(k)(k)57数值代数课件58数值代数课件59例3．1选主元的三角分解法（略）例3．1选主元的三角分解法（略）602．平方根法定理3.2

设A对称正定，则有非奇异下三角阵L，使----理论基础(证略）分解方法：设(choleskey分解)2．平方根法----理论基础(证61数值代数课件62数值代数课件63六、解三对角方程组——追赶法(Crout分解)六、解三对角方程组——追赶法(Crout分解)64数值代数课件65

,故有

(3.1)

,故有66解解

(3.1)—(3.3)叫追赶法，工作量小，非常有效。(3.2)（3.3）解解(3.1)—(3.3)叫追赶法，工67基本要求1.会矩阵的直接三角分解法的过程（不记公式）；2.熟悉平方根法的计算过程（不记公式）及其优缺点。作业：

作业集（A）第三章3.基本要求68一.简单迭代法

1.迭代法建立.考虑(矩阵B不唯一)对应写出§3.2解线性方程组的迭代法数值代数产生向量序列若收敛,记一.简单迭代法(矩阵B不唯一)对应写出§69则于(3.4)两端取极限有：上式说明：

是解向量,从而当k充分大时注意:迭代阵B不唯一,影响收敛性。

解向量(1)叫简单迭代法,B叫迭代矩阵。2.收敛性.

定义3.3称

为矩阵B的谱半径。定理3.3简单迭代法

则于(3.4)两端取极限有：上式说明：是解向量,从而70

定理3.4

定理3.471

收敛列解(i=1,2,…,n)即=0,

例3.2设有方程组(其中)Ax=b,即

(3.5)

作等价变形(3.6)即=0,例3.2设有方程组(其中)72----------Jacobi迭代法于是有迭代公式(k=0,1,2,…)(3.7)----------Jacobi迭代法于是有迭代公式(k=073矩阵形式为：矩阵形式为：74(3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即：

或按列严格对角占优，即二、迭代法设有简单迭代法即(3.8)

(3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即：75

称如下迭代法(3.9)

为与(3.8)对应的迭代法，其迭代矩阵可用“代入法”求得。称如下迭代法(3.9)为与(3.8)对应的76

（1）迭代法(3.9)对任意收敛（2）若则迭代法(3.9)对任意收敛；（3）若简单迭代法(3.8)的迭代矩阵满足或，则相应的Seidel迭代法

(3.9)对任意收敛（证略）

迭代法(3.9)的收敛性迭代法(3.9)的收敛性77

例3.3迭代方法

（3.10）

称为与Jacobi迭代法（3.7）对应的Seidel方法,

其收敛情况如下：(1)使用一般的Seidel方法（3.9）的收敛性判别法(2)若系数矩阵A对称正定，则求解方程组（3.5）的与Jacobi迭代法对应的Seidel方法（3.10）对任意收敛。（证略）例3.3迭代方法（3.10）称为与78

—

松弛因子,=1即Seidel方法(3.10)(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则求解（3.5）的与Jacobi方法对应的Scidel方法（3.10）对任意收敛.（练习）(3.11)是一种加权平均。三.逐次超松弛迭代法(SOR法) —松弛因子,=1即Seidel方法(3.10)79SOR方法的收敛性如下（不加证明）：(1)SOR方法对任意都收敛的必要条件是：(2)若系数矩阵A对称正定，则时SOR方法求解对任意收敛；(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则时SOR方法对任意收敛。最佳松弛因子选取问题。SOR方法的收敛性如下（不加证明）：(1)SOR方法对任意80

例3.4用Seidel迭代法求解方程组解：因为系数矩阵严格对角占优，故Seidel方法对任意收敛。取初始向量,要求

时迭代终止。Seidel迭代格式为例3.4用Seidel迭代法求解方程组解：因为系数矩阵81计算结果可列表如下

注意：未必Seidel方法一定比Jacobi方法好。计算结果可列表如下注意：未必Seidel方法一定比Jac821熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用；2熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代法的计算公式以及它们的收敛条件；3

熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件；作业：作业集(A)第三章4，5，6，7基本要求：1熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用；作业：基本要求：83

复习：线代：

1.定义：若则叫A的特征值，叫其相应的特征向量。

说明还是特征向量。

2.求法十分困难;应寻求近似解法,且简单、可行、有效。数值代数

第四章矩阵特征值和特征向量计算数值代数第四章矩阵特征值和特征向量84设A的特征值特征向量§4.1乘幂法与反幂法一．乘幂法——求A的主特征值（按模最大者）及其相应的特征向量

（假定线形无关）设A的特征值§4.1乘幂法与反幂法一．乘幂法——求A的主特征85数值代数课件86数值代数课件87说明:

有算法：说明:有算法：88数值代数课件89数值代数课件90数值代数课件916.几何解释6.几何解释92

解：解：93

二．反幂法——求A的按摸最小的特征值。

设A可逆，由二．反幂法——求A的按摸最小的特征值。设A可逆，由94对实对称矩阵A的全部特征值及特征向量

——Jacobi旋转法基本思想：求一般矩阵全部特征值和特征向量的QR方法

——参考书。§4.2Jacobi旋转法对实对称矩阵A的全部特征值及特征向量求一般矩阵全部特征值和特951.熟悉特征值和特征向量的定义；2.熟悉乘幂法求主特征值的计算过程；3.了解反幂法的思路；基本要求：作业：作业集（A）第四章1.1.熟悉特征值和特征向量的定义；基本要求：作业：作业集（A96

数值代数

第五章插值法数值代数第五章插值法97数值代数课件98注:不用待定系数法---(1)计算量大;(2)不易讨论误差;

二次多项式插值---过两点直线;

三次多项式插值---过三点抛物线;3.几何意义注:不用待定系数法---(1)计算量大;(2)不易讨论误99一.插值基函数.

§5.1Lagrange插值公式一.插值基函数.§5.1Lagrange插值公式100二.Lagrange插值多项式二.Lagrange插值多项式101三截断误差：三截断误差：102一．差商§5.2Newton插值公式1.定义一．差商§5.2Newton插值公式1.定义1033.造差商表(实用)

3.造差商表(实用)104二．Newton插值公式二．Newton插值公式105数值代数课件106数值代数课件107数值代数课件108解：先造差商表解：先造差商表109

由Newton公式得四次插值多项式为：由Newton公式得四次插值多项式为：1101.熟悉插值法的含义及其几何意义；2.熟悉Lagrange插值公式及其余项的使用；3.会造差表，并熟悉Nenton插值公式的使用；4.熟悉差商与导数的关系式(5.5)。基本要求：作业：作业集（B）第五章

1，2，4，5．基本要求：作业：作业集（B）第五章111

牛顿基本插值公式对结点是否等矩没有限制.不过当结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.为此先介绍差分概念.

数值代数§5.3等矩结点插值公式

1121.定义设

为

在的以h为步长一阶向前差分

……m阶一.差分叫步长称……

一般:一阶

二阶1.定义设为在的以h为步长一阶向前差分113(1)差分可表为函数值的线性组合(证略)

(2)(3)2.性质:(2)(证明用归纳法,略)3.差分表(实用)(1)差分可表为函数值的线性组合(证略)114二等矩结点插值公式:将Newton插值公式

中的差商用性质(2)换为差分,可整理为如下的Newton向前插值公式设（5.6）二等矩结点插值公式:将Newton插值公式中的差商用性质(115截断误差可表示为(5.7)Newton向后插值公式及Bessel

插值公式

——参考文献截断误差可表示为(5.7)Newton向后插值公式及B116§5.4Hermite插值简介前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在结点取相同值,Lagrange型插值条件

然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步有共同切线:插值条件为:求一次数多项式,使之满足给定的Hermite型插值条件

(5.8)§5.4Hermite插值简介前述插值问题:要求被插函数117求不用待定系数法.可设

其中，且——插值基函数表示法（5.9）（5.10）

（5.11）求不用待定系数法.可设其中，且——插值基函数表示法118满足条件（5.10）和（5.11）的多项式（5.9）一定满足（5.8），故即为所求所以主要是求插值基函数可借用Lagrange插值基函数得公式（5.37）——有规律余项易验证：满足条件（5.10）和（5.11）的多项式（5.9）一定满119例5.3给定函数值表如下:例5.3给定函数值表如下:120数值代数课件121数值代数课件122问题：结点增多，多项式次数增高，逼近精度越好？未必！多结点高次插值往往在局部误差更大——kunge现象。实用：采用分段低次插值有分段线形，分段二次插值等，几何上……5.5三次样条插值简介分段插值法：缺点：分段插值函数只能保证连续性，不能保证光滑性。折线代替曲线问题：结点增多，多项式次数增高，逼近精度越5.5三次样条插值123

分段插值可以得到整体连续函数，但在连接点处一般不光滑，而Hermite插值虽然在连节点处一阶光滑，但整体插值由于结点多，次数高而有可能发生龙格现象。2.三次样条插值既想分段插值，又想在结点处保持光滑，甚至二阶光滑——三次样条。

希望：

样条来源：分段插值可以得到整体连续函数，但在连2.三次样条插值既想124定义：在[a,b]上取n+1个点

若函数S(x)满足：

——此时S(x)叫插值函数；(3)在内结点或在整个区间上具二阶连续导数。则称S(x)为y=f(x)的三次样条插值函数。(2)在每个小区间

上是三次多项式；2.构造：有两种方法，导出三对角方程组，用追赶法。(1)定义：在[a,b]上取n+1个点若函数S(x125熟悉差分的定义，会造差分表；熟悉等距节点的Newton插值公式的运用及等距节点的插值余项公式的运用；熟悉简单的带导数条件的插值（如例5.3）；熟悉分段插值法的含义。基本要求：作业：作业集(B)第五章6，7熟悉差分的定义，会造差分表；基本要求：作业：作业集(B)第126谢谢，再见！！！谢谢，再见！！！127《数值线性代数》复量大学区将尔雄等编《数值线性代数》复量大学区将尔雄等编128数值代数主讲：焦争鸣，申培萍数值代数主讲：焦争鸣，申培萍129第一章绪论第二章求方程根的近似方法第三章线性代的方程组解法第四章矩阵特征值和特征向量计算第五章插值法数值代数第一章绪论数值代数130§1.1计算方法的任务与特点第一章:

绪论实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析数值代数

§1.1计算方法的任务与特点第一章:绪论实际问题数学问131基本的数学问题:1.大型线性代数方程组Ax=b求解;2.矩阵A的特征值和特征向量计算;3.非线性方程求解(求根);4.积分计算;5.常微分方程初值问题求解;6.其它。基本的数学问题:1.大型线性代数方程组Ax=b求解;132求精确解(值)一般非常困难。例如：

1.方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度

1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年;

好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性问题。2.特征值定义

求精确解(值)一般非常困难。例如：1.方程组阶数n很大1333.形式复杂时求根和求积分很困难。4.线性微分方程易解，如

非线性方程难解，如

希望：求近似解，但方法简单可行，行之有效（计算量小，误差小等）。以计算机为工具，易在计算机上实现。计算机运算:只能进行加，减，乘，除等算术运算和一些逻辑运算。计算方法：把求解数学问题转化为按一定次序只进行加，减，乘，除等基本运算——

数值方法。3.形式复杂时求根和求积分很困难。希134§1.2误差基础知识一.误差来源（分类）

1.模型误差。

2.观测误差。

3.截断误差，如

右端是截断误差。§1.2误差基础知识一.误差来源（分类）右端是截1354.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。4.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产136二．误差基本概念1．绝对误差。设——准确值，——近似值。称为的绝对误差。为的绝对误差限。

2．相对误差。称为的相对误差。实用中，常用表示的相对误差。称为的相对误差限。二．误差基本概念1．绝对误差。设——准确值，—1373．有效数字设若(1.1)则说具有n位有效数字，分别是若，则称为有效数。3．有效数字138例1.1

设=0.0270是某数经“四舍五入”所得，则误差不超过末位的半个单位，即：又,故该不等式又可写为由有效数字定义可知,有3位有效数字，分别是2,7，0。例1.1139例1.2

=32.93,=32.89,

故有3位有效数字，分别是3,2，8。由于中的数字9不是有效数字，故不是有效数。

例1.2140三、有效数位与误差的关系1.有效数位n越多，则绝对误差越小

(由定义1.1)2.

定理1.1若近似数具有n位有效数字，则

(1.2)

反之，若则至少有n位有效数字。三、有效数位与误差的关系1.有效数位n越多，则绝对误差141

两边除以得

(1.3)和（1.4）给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。四、数值运算的误差估计

1.一元函数情形设则，由Taylor展开公式

(1.4)

（1.3）两边除以得四、数值运算的误差估计(11422.多元函数情形

设，则，由多元函数的Taylor展开公式类似可得

（1.5）

（1.6）在（1.6）式中，分别取,可得同号)（1.7）

（1.8）

（1.9）(,2.多元函数情形则，由多元函数的Taylor展开公式类似可143例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。试求近似面积s*=a*b*

的绝对误差限与相对误差限。

解:面积s=ab,在公式（1.5）中,将换为s=ab,则

相对误差限为例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的144

§1.3选用算法应遵循的原则1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数.

例如，计算多项式通常运算的乘法次数为若采用递推算法,

则乘法次数仅为n.又如§1.3选用算法应遵循的原则1.尽量简化计算步骤，减少乘1452.防止大数“吃掉”小数当|a|>>|b|时，尽量避免a+b。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制数，则3.尽量避免相近数相减例如，当x很大时，应

，

当x接近于0时，应2.防止大数“吃掉”小数，当x接近于0时，应1464.避免绝对值很小的数做分母当|b|<<|a|时，应尽量避免。5.选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速增长例如若（误差）则计算时误差扩大了倍,而

（n=1,2,…）

是稳定的。4.避免绝对值很小的数做分母（n=1,2,…）147基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念；3.熟悉公式（1.2）--（1.9）；4.熟悉选用算法应遵循的原则；作业：

作业集（A）第一章1，2，3，4，5，6，7，8基本要求：1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位，熟悉计148数值代数

f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。

第二章求方程根的近似方法

§2.1区间二分法理论:f(x)∈C[a,b],单调，f(a)f(b)<0f(x)=0在(a,b)有惟一根。根分离：画草图，试算.多项式方程根的模的上下界。数值代数f(x)=0根或f(x)零点，当149

例2.1用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过解：

f(1)=-5<0有根区间中点

f(2)=14>0-(1,2)+

f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)

f(1.5)>0(1,1.5)例2.1用二分法求150

优点：条件简单.缺点：收敛慢.

不易求偶数重根.

如图，则

（事后估计）xy

151§2.2迭代法

一.迭代法的建立与收敛性§2.2迭代法

一.迭代法的建立与收敛152数值代数课件1532.收敛定理（定理2.2）2.收敛定理（定理2.2）154数值代数课件155(2)，故收敛。

(＊)1(2)，故收敛。(＊)1156(3)

注：L越小，收敛越快。(3)注：L越小，收敛越快。1573．编程停机判断（取定初值）计算，当时，由（＊）3

式知

比较小，此时停机，二、迭代加速公式（略）

由3．编程停机判断（取定初值）计算，当时，由（＊）3式知158§2.3

Newton迭代法一Newton迭代法

1.迭代公式建立

在

点Taylor展开

——Taylor展开线性化（重要思想）近似于解出记为，则

将§2.3Newton迭代法在点T1592.Newton迭代法的几何意义过

切线

与求交点，解出,则2.Newton迭代法的几何意义切线与1603.Newton迭代法收敛定理（定理2.6）在有根α，且在（1）连续，且分别不变号；,使则Newton迭代法（2.1）产生的数列的收敛到根α。

为例证明（其它情况类似）（2）取初值设

证：以3.Newton迭代法收敛定理（定理2.6）在有根α，且161将

处Taylor展开

说明数列

有下界α

又

故单调递减。收敛。设则由（2.1），，将处Taylor展开说明数列有下界α又故单调162例2.2

解：设取，则由（2.1）用Newton迭代法求例2.2解：设取，则由（2.1）用Newton迭代法求163基本要求熟悉区间＝分法；熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。作业：

作业集（B）第二章1、2、3、4、6基本要求164数值代数二.迭代法的收敛阶(收敛速度)1.定义:设

若有实数p>0,使

则称p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别,p=1时叫线性收敛,p=2时叫平方收敛.p越大越好(why?)数值代数二.迭代法的收敛阶(收敛速度)若有实数p>0,1652.定理2.7

2.定理2.7166

所以，此时Newton法至少二阶收敛.(2)由2.6的证明有：所以，此时Newton法至少二阶收敛.(2)由2.6的1673.Newton法改进：§2.4弦截法——(略)3.Newton法改进：§2.4弦截法——(略)168第三章线性代数方程组解法解线性方程组第三章线性代数方程组解法解线性方程组169一、Gauss消去法设有线性代数：方法不好时工作量非常大，工作量小的方法是Gauss消去法。消元：§3.1直接法一、Gauss消去法设有线性代数：方法不好时工作量非170二列主元素消去法---计算结果可靠二列主元素消去法---计算结果可靠171到此原方程组化为

到此原方程组化为172

到此原方程组化为数值代数课件173（3.3)是回代过程。(上三角方程组)（3.2)(n)回代求解公式

(n-1)原方程组化为以上为消元过程。

（3.3)(上三角方程组)（3.2)(n)回代求解公式(n-1)174三、Gauss全主元消去法：优点------计算结果更可靠；缺点------挑主元花机时更多，次序有变动，程序复杂。说明：

(1)也可采用无回代的列主元消去法(叫Gauss---Jordan消去法)，但比有回代的列主元消去法的乘除运算次数多。

(2)有回代的列主元消去法所进行的乘除运算次数为，量很小。三、Gauss全主元消去法：说明：175

四、应用

（1）求行列式（2）求逆矩阵(以上过程都应选主元)四、应用(176

记，则

（三角因子分解）Gauss消元，初等行变换，化原方程组为上三角型。五．矩阵三角分解法记，则（三角因子分解）177定义3.1

叫的三角（因子）分解，其中是是上三角。下三角,为单位下三角阵（对角元全为1），为上三角阵，则称

为Doolittle分解;若是下三角，

是单位上三角，则称定理3.1n阶阵

有唯一Doolittle分解(Crout）

的前n-1个顺序主子式不为0.（证略）三角分解不唯一,为此引入定义3.2若

为Crout分解。定义3.1叫的三角（因子）分解，其中是是上三角。178

为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实现三角分解

，则容易回代求解为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实，则179回代求解很容易，如

回代求解很容易，如180基本要求：

1.熟悉收敛阶的定义；

2.熟悉Newton法及改进方法的收敛阶；

3.熟悉列主元消去法解线性方程组的计算过程；

4.熟悉矩阵三角分解中Doolittle分解和

Crout分解定义；

5.熟悉利用三角分解来求解线性方程组的思路；作业：作业集（A）第三章1，2．

基本要求：181数值代数1．直接三角分解法（以Doolittle分解为例）设

＝数值代数＝182由矩阵乘法………由矩阵乘法………183(k)(k)184数值代数课件185数值代数课件186例3．1选主元的三角分解法（略）例3．1选主元的三角分解法（略）1872．平方根法定理3.2

设A对称正定，则有非奇异下三角阵L，使----理论基础(证略）分解方法：设(choleskey分解)2．平方根法----理论基础(证188数值代数课件189数值代数课件190六、解三对角方程组——追赶法(Crout分解)六、解三对角方程组——追赶法(Crout分解)191数值代数课件192

,故有

(3.1)

,故有193解解

(3.1)—(3.3)叫追赶法，工作量小，非常有效。(3.2)（3.3）解解(3.1)—(3.3)叫追赶法，工194基本要求1.会矩阵的直接三角分解法的过程（不记公式）；2.熟悉平方根法的计算过程（不记公式）及其优缺点。作业：

作业集（A）第三章3.基本要求195一.简单迭代法

1.迭代法建立.考虑(矩阵B不唯一)对应写出§3.2解线性方程组的迭代法数值代数产生向量序列若收敛,记一.简单迭代法(矩阵B不唯一)对应写出§196则于(3.4)两端取极限有：上式说明：

是解向量,从而当k充分大时注意:迭代阵B不唯一,影响收敛性。

解向量(1)叫简单迭代法,B叫迭代矩阵。2.收敛性.

定义3.3称

为矩阵B的谱半径。定理3.3简单迭代法

则于(3.4)两端取极限有：上式说明：是解向量,从而197

定理3.4

定理3.4198

收敛列解(i=1,2,…,n)即=0,

例3.2设有方程组(其中)Ax=b,即

(3.5)

作等价变形(3.6)即=0,例3.2设有方程组(其中)199----------Jacobi迭代法于是有迭代公式(k=0,1,2,…)(3.7)----------Jacobi迭代法于是有迭代公式(k=0200矩阵形式为：矩阵形式为：201(3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即：

或按列严格对角占优，即二、迭代法设有简单迭代法即(3.8)

(3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即：202

称如下迭代法(3.9)

为与(3.8)对应的迭代法，其迭代矩阵可用“代入法”求得。称如下迭代法(3.9)为与(3.8)对应的203

（1）迭代法(3.9)对任意收敛（2）若则迭代法(3.9)对任意收敛；（3）若简单迭代法(3.8)的迭代矩阵满足或，则相应的Seidel迭代法

(3.9)对任意收敛（证略）

迭代法(3.9)的收敛性迭代法(3.9)的收敛性204

例3.3迭代方法

（3.10）

称为与Jacobi迭代法（3.7）对应的Seidel方法,

其收敛情况如下：(1)使用一般的Seidel方法（3.9）的收敛性判别法(2)若系数矩阵A对称正定，则求解方程组（3.5）的与Jacobi迭代法对应的Seidel方法（3.10）对任意收敛。（证略）例3.3迭代方法（3.10）称为与205

—

松弛因子,=1即Seidel方法(3.10)(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则求解（3.5）的与Jacobi方法对应的Scidel方法（3.10）对任意收敛.（练习）(3.11)是一种加权平均。三.逐次超松弛迭代法(SOR法) —松弛因子,=1即Seidel方法(3.10)206SOR方法的收敛性如下（不加证明）：(1)SOR方法对任意都收敛的必要条件是：(2)若系数矩阵A对称正定，则时SOR方法求解对任意收敛；(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则时SOR方法对任意收敛。最佳松弛因子选取问题。SOR方法的收敛性如下（不加证明）：(1)SOR方法对任意207

例3.4用Seidel迭代法求解方程组解：因为系数矩阵严格对角占优，故Seidel方法对任意收敛。取初始向量,要求

时迭代终止。Seidel迭代格式为例3.4用Seidel迭代法求解方程组解：因为系数矩阵208计算结果可列表如下

注意：未必Seidel方法一定比Jacobi方法好。计算结果可列表如下注意：未必Seidel方法一定比Jac2091熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用；2熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代法的计算公式以及它们的收敛条件；3

熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件；作业：作业集(A)第三章4，5，6，7基本要求：1熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用；作业：基本要求：210

复习：线代：

1.定义：若则叫A的特征值，叫其相应的特征向量。

说明还是特征向量。

2.求法十分困难;应寻求近似解法,且简单、可行、有效。数值代数

第四章矩阵特征值和特征向量计算数值代数第四章矩阵特征值和特征向量211设A的特征值特征向量§4.1乘幂法与反幂法一．乘幂法——求A的主特征值（按模最大者）及其相应的特征向量

（假定线形无关）设A的特征值§4.1乘幂法与反幂法一．乘幂法——求A的主特征212数值代数课件213数值代数课件214说明:

有算法：说明:有算法：215数值代数课件216数值代数课件217数值代数课件2186.几何解释6.几何解释219

解：解：220

二．反幂法——求A的按摸最小的特征值。

设A可逆，由二．反幂法——求A的按摸最小的特征值。设A可逆，由221对实对称矩阵A的全部特征值及特征向量

——Jacobi旋转法基本思想：求一般矩阵全部特征值和特征向量的QR方法

——参考书。§4.2Jacobi旋转法对实对称矩阵A的全部特征值及特征向量求一般矩阵全部特征值和特2221.熟悉特征值和特征向量的定义；2.熟悉乘幂法求主特征值的计算过程；3.了解反幂法的思路；基本要求：作业：作业集（