2021-2022学年四川省自贡市高三第一次诊断性考试数学试题（理科）（解析版）

2021-2022学年四川省自贡市高三第一次诊断性考试数学试题（理）本试卷共6页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为，而全集，集合，，所以.故选：C2.若，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出角的值，再利用诱导公式可求得结果.【详解】因为，，则，所以.故选：D.3.复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出复数在复平面内所对应的点的坐标，代入，求得，再根据复数的模的公式即可得解.【详解】解：复数在复平面内所对应的点的坐标为，因为点在上，所以，解得，所以，所以.故选：B.4.若的展开式中的系数为15，则（）A.2 B.3. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式通项公式即可求得．【详解】的展开式中的项为，则，故.故选：B5.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级是据震中100千米处的标准地震仪（周期，衰减常数约等于1，放大倍率2800倍）所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式：，其中表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差），是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅．4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的（）倍．A. B.10 C.100 D.【答案】C【解析】【分析】由求得，然后求得6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值.【详解】由于，所以，所以6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为：.故选：C6.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，2枚硬币均正面向上的概率，再利用二项分布的期望公式计算作答.【详解】同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次的不同结果有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，它们等可能，同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，2枚硬币均正面向上的事件A，有一个结果，则，因同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，事件A有发生与不发生两个不同结果，因此，同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，事件A发生次数，则，所以的数学期望是1.故选：A7.已知三角形的三边长为、、，则三角形的面积为（海伦—秦九韶公式），，若，，，则面积的最大值为（）A. B. C.16 D.【答案】A【解析】【分析】根据海伦—秦九韶公式将三角形的面积表示出来，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：在中，由，，则，则，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以面积的最大值为.故选：A.8.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件利用零点存在性定理、由函数式求出函数的零点，再结合图象判断作答.【详解】依题意，，于是得在y轴右侧有零点2，4，排除选项A，C；由于，，则由零点存在性定理知，在上有零点，又当时，，，即，显然选项D不满足，B满足.故选：B9.已知等比数列的公比，前项和为，若，，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列与数列都是等差数列D.数列是公差为的等差数列【答案】C【解析】【分析】利用基本量法求得，即可判断A，再根据等比数列的通项公式即可判断牛B，求出数列前项和为，再根据等差数列的定义即可判断C，D.【详解】解：由，，，得，解得，故A错误；则，所以，故B错误；则，则，，因为，所以数列是以为公差的等差数列，因为，所以数列是以为公差的等差数列，故C正确；，因为，，所以数列不是等差数列，故D错误.故选：C.10.在直角中，，，以为直径半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（）A.4 B.C.2 D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】依题意在直角中，，，以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，设是的中点，则.，所以满足，设（为参数，），依题意，即，，，，所以当时，取得最大值为.故选：C11.已知正实数，，满足，，，则，，之间的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得为函数与函数交点的横坐标，为函数与函数交点的横坐标，为函数与函数交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出四个函数的图像，结合图像即可得出答案.【详解】解：由，得，即，则为函数与函数交点的横坐标，由，得，则为函数与函数交点的横坐标，由，得，则为函数与函数交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数，，，的图像，由图可知.故选：A.12.定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得时，的解析式，结合的奇偶性和对称性画出在区间的图象，由来确定的零点个数.【详解】是定义在上的奇函数，，当时，，，，所以当时，.是奇函数，图象关于原点对称，由于，所以图象关于直线对称，由此画出在区间的图象如下图所示，由图可知有个解，也即有个解，即有个零点.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，满足，则的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，，令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线：，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最小，，所以的最小值是1.故答案为：114.从高三年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在之间，现将测量体重按照从低到高分成六组：，，…，，下图是频率分布直方图的一部分（缺少第四、五组的图），已知第一组和第六组的人数相同，第四组有10人，则第五组的人数为________．【答案】5【解析】【分析】分别求出第一组和第二组以及第三组的人数，即可求得答案.【详解】第一组人数为（人），第二组人数为（人），第三组人数为（人），第四组有10人，第六组的人数和第一组相同，有5人，故第五组的人数为（人），故答案为：515.已知：，对任意在区间上至少存在两个不相等实数、满足，则的最小整数为________．【答案】【解析】【分析】根据判断出区间的长度至少为个周期，由此列不等式求得的取值范围，进而求得的最小整数.【详解】，，要使在区间上至少存在两个不相等实数、满足，则在区间内总能同时出现两个最大值或两个最小值，所以，即，所以的最小整数为.故答案为：16.已知函数，在曲线上总存在两点，，使得曲线在，两点处的切线平行，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】求得函数的导函数，根据两直线平行结合导数的几何意义可得，化简可得，，构造函数，利用导数求得函数的范围，再结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：，因为在曲线上总存在两点，，使得曲线在，相两点处切线平行，所以，且，即，所以，所以，令，则，设，则，当时，，所以函数在上递增，所以所以，又，，又因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围是.

故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.在中，，，．（1）求；（2）求边上的高．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，由此求得.（2）利用余弦定理求的，结合面积法求得边上的高.【小问1详解】由正弦定理得，由于，所以是锐角，所以【小问2详解】由余弦定理得，，，解得或，设边上的高为，则，所以，或.18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值是1，最小值是.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息判断函数在上的单调性，借助单调性求解作答.【小问1详解】函数定义域为R，求导得：，则有，而，所以曲线在点处的切线方程是：.【小问2详解】由(1)知：，当时，，，而，当且仅当时取“=”，则当时，有最小值1，即当时，，因此，函数在区间上单调递减，，，所以函数在区间上的最大值和最小值分别为1和.19.已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，________，，．在以下三个条件中任选一个①，②，③，补充在上面横线上，并作答．（1）求数列，的通项公式；（2）是否存在正整数．使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）条件选择见解析，，（2）存在，且的最小值为【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，求得等比数列的首项和公比，从而求得数列，的通项公式.（2）先求得，由求得的最小值.【小问1详解】设等比数列的公比为，，则解得，所以.，设等差数列的公差为，若选①，则.若选②，则.若选③，则.【小问2详解】由于，所以，，所以，，所以正整数的最小值为.20.下表是弹簧伸长的长度与拉力值的对应数据：长度12345拉力值3781012（1）求样本相关系数（保留两位小数）；（2）通过样本相关系数说明与是否线性相关；若是求出与的线性回归方程，若不是，请说明理由．参考数据和公式：，，，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．【答案】（1）0.98；（2）与是线性相关，回归方程是.【解析】【分析】(1)根据给定数据表求出相关系数公式中的相关量，再代入公式计算作答.(2)由(1)可得与是线性相关，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程.【小问1详解】依题意，，，，，，所以样本相关系数.【小问2详解】由(1)知，接近于1，说明与具有较强的线性相关关系，，，因此，，，所以与是线性相关，回归方程是.21.已知函数．若有两个零点、．（1）求的取值范围；（2）若，证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为有两个不同的根，构造函数，利用导数研究函数的性质，作出大致的图象，由数形结合法求解即可；（2）由题意得到，设，则，构造函数，利用导数研究函数的单调性，确定函数的取值情况，即可证明结论．小问1详解】解：有两个零点，且，则，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当，，且，作出函数的大致图象，如图所示，所以，故实数的取值范围为；【小问2详解】证明：设，，，由已知，，，所以，，设，，则，设，则，当时，，所以函数在上递增，，则，在递增，又，，故．【点睛】本题考查了导数的综合应用，导数与不等式的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的方程为（为参数），现以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设、是曲线上两个动点，且满足，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得曲线的普通方程，然后转化为极坐标方程.（2）求得，