等差数列的前项求和公式

关于等差数列的前项求和公式第1页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五复习1、等差数列的通项公式2、等差数列的性质数列{a}中m+n=p+q，则am+an=ap+aq若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项第2页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五

分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？问题：1＋2＋3＋……＋100＝？引入首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，……第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：高斯算法第3页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五高斯的问题，可以看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?如果令Sn=1+2+3+...+（n-2）+（n-1）+n颠倒顺序得Sn=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1则倒序相加法将两式相加2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）第4页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五推导下面对等差数列前n项公式进行推导设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+..由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

第5页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首项a1和公差d表示，即

Sn=na1+n(n-1)d/2

所以，等差数列的前n项求和公式是或第6页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五例题例1

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？例2

已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220.求等差数列的前n项和的公式例3求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m<100}的元素个数,并求这些元素的和.第7页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4设数列的前n项和为54，即Sn=54根据等差数列的前n项求和公式代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0解得n1=9,n2=－3(舍去)因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.第8页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220根据等差数列的前n项求和公式得解得a1=4，d=6因此，等差数列的前n项和的公式是将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n第9页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五解:根据题意，由7n<100得n<100／7由于满足它的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98这是一个等差数列,各项的和是因此，集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735第10页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五由于Sn=n(a1+an)/2

整理可得

Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均为已知数若令A=d/2,B=a1-d/2，则S=An2+Bn将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:

a1<0,d>0

a1>0,d<0极大值无有极小值有无nsnnsna1<0,d>0,极小值

a1>0,d<0,极大值探究第11页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五例1.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和的.问此数列前多少项的和最大?分析：S3=S11,这里可以找出a1与d的关系,则Sn是d的函数由等差数列构成的函数图象，可知n=（3+11）/2=7时，Sn最大即n=7第12页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五第13页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五练习1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0的n的最小值第14页，共17页，2022年，5月20日，15点16分，星期五总结

1.推导等差数列前n项和公式的方法-------倒序相加法2.公式的应用中的数学思想.

-------方程、函数思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知